人們經常說，不要讓孩子輸在起跑線上，我贊成這個說法。同時，我們每個家長其實就是釘在起跑線上的起跑器踏板。我們這些起跑器要想穩固，靠的是我們不斷地讀無字之書，拜無言之師。
撰文 | 吳進遠
編輯 | 小賽
最近讀了一個兒童教育公號某某媽頻道中的一篇文章，非常生動地記錄了作者被幾位海淀家長“碾壓”，“狂虐”的故事。除了“東羅馬帝國”，“孔雀王朝”，“孩子上小學前一定要明白核聚變原理”這些詞語和句子之外，最吸引我注意的是這麼一個場面：
說到奧賽，這四個海淀中年老父老母親，居然還興奮得像中學生一樣，清華爸爸隨手扯了張餐巾紙，給大家出了一道奧賽題，沒想到他們幾個還衍生出多種解題思路。
這幾十個字，資訊量很大，也許所謂“碾壓”，“狂虐”的原因，就藏著其中。成年人應該繼續學習，多數人都同意，但這似乎又是句無比正確的廢話。遇到實際，人們潛意識中仍然認為學習僅僅是孩子的事，自己管掙錢做飯，把孩子餵飽就行了。
我在工作單位經常接待公眾訪客參觀，華人家庭都很重視孩子教育，家長開車很遠送孩子來。但對參觀的科學內容很多家長覺得聽不懂，沒有興趣。還有過學生參觀，帶隊老師在大廳坐著刷手機的情形。相比之下，美國家長自己對科學內容感興趣的程度就要高得多，這是一個值得重視的差距。
成年人的繼續學習，並不一定都要扯張餐巾紙來做題，但是對於知識，卻一定要像中學生一樣興奮。其實，不論對於中學生還是成年人，對於知識，都應該有一種興奮，好奇，如飢似渴的熱情。成年人的繼續學習，實際上應該遠遠不限於讀書，而應該是時時刻刻向實際學習，讀無字之書，拜無言之師。
這種讀無字之書，拜無言之師，不僅提高家長自身的知識水準，更重要的是為孩子樹立了榜樣，潛移默化地影響到他們的將來。同時，這樣與孩子一起學習，很有可能會對孩子提高學習成績，起到現實的作用。
錢去哪兒了？
經常能夠聽到有的朋友，痛心疾首地檢討自己看手機沉迷上癮，浮躁，碎片化閱讀等等，但就是改不了。當然，看手機上癮確實應該改，但碎片化閱讀也是閱讀，總比不閱讀好。關鍵是要從閱讀中得到營養，除了要尋找有營養的內容閱讀，更重要的是把閱讀到的內容，不管有沒有營養，都分解消化成為有營養的。
我自己也刷手機，前一陣，刷到網上流傳了一個雞湯段子：
思維很重要！某同學為了證明錢縮水，做了一道題，把數學老師逼瘋了！
這是個高階數學題：
求證：1元=1分
解：1元=100分=10分×10分
=1角 ×1角=0.1元×0.1元
=0.01元
=1分
證明完畢。
數學老師哭了！因為，毫無破綻。稀裡糊塗地錢就沒了。
這個段子還挺長，還煞有介事地講“老闆思維”如何，“網際網路思維”如何。我開始以為就是大家逗逗樂，不用認真，但後來才感覺有些轉帖的網友真的以為是“毫無破綻”。因此，有必要認真聊聊這個事情。
記得看到過一個學物理的同學在網上說，談論資料不說明單位都是耍流氓。這個話雖然有點過激不雅，但道理是對的。
大多數物理量都是有單位的，這些單位與數字一起構成一個完整的資料。在做物理題的時候，大家都會套公式，當物理量代入這些公式時，在本質上我們是把數字與單位一同代入的。從資料到結果，這些單位始終存在，既不能無中生有，也不能隨意改變或丟棄。上面雞湯段子的問題就是胡亂增減單位，家長讀到這段，完全可以和孩子一起討論一下物理量單位的重要性。
大多數情況下，物理量的單位是一個乘數，它與物理量的數值是乘在一起的。一般來說，不同的物理量有不同的單位。因此，物理公式中互相相加的物理量必然是同類的物理量。而在實際運算時，必須將這些物理量的單位轉換成統一的單位才能相加。
比如某農家有耕地3畝，房屋宅基地400平方米，要想計算他家的佔地總面積，就必須將兩個面積的單位統一，或者都換算成畝，或者都換算成平方米。
又如我們把一個220歐姆的電阻與一個2.2k歐的電阻並聯，其阻值為：
R = R1*R2/（R1+R2）
=220歐*2200歐/（220歐+2200歐）
=200歐
其中在做分母中的加法前，必須將R1與R2的單位統一。
在物理量的單位是一個乘數的情況下，不同的物理量之間是可以互相乘除的，這些乘除在一起的單位往往組合成一個新單位。比如（公斤*米/秒^2）是一個力的單位，名為牛頓（N）。而（牛頓/米^2）是壓強單位，名為帕斯卡（Pa）。
在很多情況下，需要轉換的單位之間是百千萬這樣的簡單比值，這種情況下，只要將數值部分的小數點相應移動即可，如：
2.2 k歐 = 2200 歐
75 cm = 0.75 m
不過也有不少需要認真做個乘法的單位轉換，比如：
12 （公斤力） = 12 x （9.80665 N）
1.4 （大氣壓） = 1.4 x （101325 Pa）
有的物理量的單位不簡單地是一個乘數，而是隱含了這個物理量0點的資訊，這種情況下，單位換算要格外留心。我們學過的溫度就是這樣一個例子。
日常生活中，我們多使用攝氏度（°C）這個溫度單位，但在討論理想氣體的熱脹冷縮時，我們就必須使用絕對溫標（K）。它們之間的轉換關係是：
T(K) = T(°C) + 273.15
除了攝氏溫標，很多國家日常生活中還使用華氏溫標，他們之間的轉換關係是：
T(°F) = T(°C) × 1.8 + 32
這種情況下作單位轉換時，就需要又做乘法又做加法。
不過，如果我們換算的溫度值是一個差值，就只需要做乘法而不能隨意亂加32這個數。比如攝氏溫度從10°C 變到11°C，增加了1°C，華氏溫度相應從50°F 變到51.8°F，增加1.8°F。
有個在新聞報道中出現的笑話。2015年巴黎聯合國氣候變化大會達成協議，把全球平均氣溫較工業化前水平升高控制在2攝氏度之內，併為把升溫控制在1.５攝氏度之內而努力。有的新聞媒體為了方便使用華氏溫標的受眾，在這兩個溫度值的後面加了括號，寫成：2°C（35.6°F）和 1.5°C（34.7°F）。這些記者估計就是把攝氏度的數字敲進谷歌單位換算，壓根不管這個數字是不是差值。
物理單位裡面的學問非常大，不小心也很容易混淆。不要覺得孩子今後反正搞文科，半懂不懂也不要緊。大家已經看到了前面這則誤導受眾的新聞，也看到了那個喜感滿滿的雞湯段子，大家不想讓孩子今後成為這類作品的作者吧。
唱出電話號碼的名偵探
既然大家整天捧著手機，我們就再用手機做個實驗。打電話要撥號，按下號碼鍵時，電話裡會傳來很刺耳的尖叫聲。按下不同號碼鍵，尖叫聲也不同，電話交換機系統通過這樣的尖叫聲，來傳遞撥號資訊。
電話號碼按鍵用的是雙頻訊號（Dual-tone multi-frequency signaling, DTMF）來傳輸撥號資訊。按下一個鍵，電話就會產生上圖相應的行列裡兩個頻率的聲頻訊號，互相疊加輸出。
怎樣才能直觀地看到這兩個頻率呢？我在手機上下載安裝了一個叫Spectrum View的APP，用這個軟體可以對聲頻訊號做頻譜分析。
我們用另一個手機產生撥號音。為了避免撥錯號打擾他人，比較好的做法是撥通一個自己家人的電話，然後再做撥號音測試，（這樣總共需要三個手機，正好是一個全家的親子活動）。
按下一個鍵，比如 1 ，我們得到這樣一個頻譜，每個尖峰對於一個頻率成分。
按下 8，得到這樣一個頻譜。尖峰的位置不同了。
由此可見，撥號音確實是兩個頻率的聲頻訊號疊加而成。不同的號碼，對應不同的頻率組合。
如果我們把頻譜分析軟體設定成譜圖顯示模式，然後逐次按下 1 到 9，以及 *，0，# 這樣12個鍵，就可以得到下圖。
這個圖中橫座標是時間，縱座標是頻率，頻率成分的強度用顏色來標示。我們可以看出，在每一橫排三個鍵中，對應三個縱列的三個高頻成分1209Hz，1336Hz 與 1477Hz逐個出現。而對應於四個橫行的四個低頻成分，在四組按鍵過程中逐步增加。
經過這樣一個實驗，我們就真實地見到了撥號音，確切直觀地了解到了撥號音的組成。
現在，我們假設自己是當年設計撥號音的工程師，進一步問自己一個問題：為什麼每個號碼要用兩個頻率，而不是一個呢？
可能我們最容易想到的一個原因是防止誤操作。如果撥號音是單頻率的，那麼一個歌唱家拿起電話唱一通歌，就有可能接通一個電話。
（圖源：《名偵探柯南：戰慄的樂譜》）
而使用雙頻訊號系統，通過唱歌撥打電話就很不容易了。偵探柯南必須和一位女高音一起合作，才能用唱出電話號碼。從這個角度看，編劇讓他們一起陷入困境，除了藝術上的考慮，還有科學上的原因。如果我們開開腦洞設想一下，只有偵探一個人陷入困境該怎麼辦呢？辦法還是有的，那就是唱“呼麥”。呼麥演唱家可以一個人同時唱出兩個音調來。當然，這樣的偵探就太超天才了。
當然，採用雙頻訊號，一個顯著的好處，是可以減少需要生成與識別的頻率的個數。現在這個方案共有四個低頻與四個高頻，對應於四橫行與四縱列，可以支援16個按鍵（當然現在很多電話只用了三個縱列共12個按鍵）。而如果使用單頻方案，就必須生成與識別16個（或12個）頻率。在幾十年前，積體電路密度很低的情況下，處理十多個頻率是不很方便的。
另外，大家還可以看到，所有這些頻率之間都沒有整倍數的關係。具體講，所有橫行低頻頻率的二倍頻，都與縱列對應的高頻頻率有足夠大的差別。躲開整倍頻的關係有什麼好處呢？好處是可以防止另一種誤操作。
通常一個物體在週期性振動時，存在多種頻率成分。比如作者發出的一個拖腔，頻譜如下圖所示。
在頻譜中的這些尖峰，對應於基頻和它的整數倍頻。自然存在的大多數聲源都有這種倍頻成分。而電話系統有時會有一定的非線性失真，這種非線性失真也會使單一頻率的正弦波變形，從而生成多種倍頻成分。
因此，在我們設計雙頻訊號所使用的頻率系列時，避開整數倍關係，是非常重要的。當然，沒有簡單整倍數關係的兩個正弦波往往非常難聽刺耳。
無字之書與無言之師既然是無字無言的，就不太會主動提供給我們資訊。有很多時候，要我們去動手實驗，才能從中獲得知識。
這些知識往往存在於世間各個角落，家長要有發現的目光，隨時指給孩子看，這樣孩子也會養成敏銳的觀察習慣。
湯勺和魚缸
比如去逛雜貨店，不鏽鋼湯勺就是一個很好的光學儀器。正面是凹面鏡，背面是凸面鏡。可以讓孩子看看反射的成像，想想和物理書裡講的是不是一樣。
想買條魚回家做湯，到海鮮部去一看，養著生猛海鮮的魚缸，前部的透明塑料是向外凸的。
那裡面的魚和龍蝦放大了不少，當然海鮮是論斤賣的，但至少魚缸裡的海鮮賣相好了不少。這算不算凸透鏡的應用？
假設我們懶得自己做飯了，去餐館吃飯。餐館裡也經常能看到魚缸，有時是養生猛海鮮，但也可能是養觀賞魚類。在魚缸前仔細看看，就能發現魚缸的側壁反射率相當高，像鏡子一樣。
我們知道，這是全反射現象。金魚身體發出的光，照射到魚缸側壁，當入射角大於水與空氣介面的臨界角，光就會全部反射回來。這似乎看不出有什麼奇怪。
不過，我們仔細看看，在照片左上部有一個彩色的光弧，這是什麼呢？如果把手機靠近魚缸前面的玻璃，則這個光弧可以拍攝得更清楚。
我們知道，水的折射率是1.33，對應的臨界角為48.8度。由於這個臨界角大於45度，從魚缸側壁射入的光線，有可能從前壁射出，這樣我們就可以“看穿”魚缸的兩個直角玻璃壁圍成的空間。我們利用下圖說明這個性質。
設想魚缸外的光線從A處射入魚缸，經過折射，光線照到B處。只要光線的入射角足夠大（對於水和空氣介面，這個角度範圍為61.3到90度，請讀者自證），光線到了B處的入射角就會小於臨界角（48.8度），從而射出魚缸。在B處的觀察角如果大於61.3度，就可以看到透過來的光。反之如果觀察角小於61.3度，則只能看到魚缸側壁全反射回來的光。
透過光與全反射光的分界，對應於在A處內壁的臨界角。水是有色散的，因此不同波長的光，其臨界角也是不同的，所以這個分界線是彩色的。另外，魚缸的前壁是用厚玻璃做的，這個彩色的臨界角分界線會在玻璃的兩個表面來回反射，這就使我們看到多個彩色的分界線。
有的讀者可能會問，為什麼這個分界線是弧形的？這和彩虹為什麼是圓弧形道理是類似的。我想，還是在此處略去1000字，留給大家討論吧。
如果增加折射率，則臨界角變小，當臨界角小於45度時，就沒有這種“看穿”現象了，而臨界角45度時對應的折射率是1.414（根號2）。
所以，如果用乙醇來養魚，就照不出上面的照片了。
月牙與日食
向無字之書與無言之師學習，有個很重要的方法是向自己提問，把自己問住。這樣才能對司空見慣的事物去深思熟慮，從中獲得更深刻的理解。這個方法，其實在我們平時的科研工作中也經常用到。
我們大家都知道，月亮每個月圓缺變化一次。這是由於，太陽只能照亮月亮的半個球面，而我們在每個月中的大部分時間，只能看到一部分亮的球面和一部分暗的球面。比如在新月的時候，可以看到下圖這樣的景象。
而另外一種天文現象日食，雖然不是經常發生，但很多人在一生中可能會見過至少一次日偏食。日食是月球處在太陽和地球之間，將太陽遮擋造成的。
在比較深度的日偏食發生時，太陽看上去似乎也有點兒像月牙。
這就出現了一個問題，我們憑什麼認為，日食形成的機制是月球遮擋，而月牙形成的機制是月亮半亮半暗呢？當然，我們可以說，這是科學家告訴我們的。但我們為什麼要認可科學家說的呢？
我們可以不可以開一下腦洞，把這兩個機制對調一下？比如我們想象在地球和月球之間，有個煤黑無光的衛星，每個月把月球遮擋一次，從而出現月亮的圓缺變化。而對於日食，我們可以想象太陽只有一半是燃燒的，另一半是黑的，日食的時候，黑的這面轉到了面向我們。
這個奇怪的理論當然是錯的，但為什麼是錯的呢？僅僅是由於和科學家說的不同並不作數，即使科學家來了，也必須告訴我們為什麼是錯的。
我們可以有許許多多的論證，來說明前面這個理論是錯的。但最有力的一個論證方法是通過觀測結果，來證偽這個理論。我們前面的兩個照片本身就是觀測結果，但僅僅看這兩個照片，似乎看不出我們這個理論有什麼不對。這就需要我們獲得更多的觀測取樣點。比如在有光面積比較大的情況下，我們可以進一步比較月相與日食之間的差別。
從這兩張照片，我們可以看出二者的顯著不同。當然，我們在對此作出科學論證的時候不能簡單地寫上一句“你看”就完了，而應該用數學語言把我們看到的情景描述出來。
月亮上的明暗分界線是空間中的一個圓，這個圓與月球有一個公共的直徑。而日食裡的明暗分界線也是一個圓，但這個圓與太陽並沒有一個共同的直徑。這樣兩種明暗分界線，分別與半球亮半球暗以及圓球遮擋相互自洽，而不是相反。所以，科學家說的確實是對的，但我們並沒有盲從，而是通過我們自己的觀測與思考，把問題想清楚了。
人們經常說，不要讓孩子輸在起跑線上，我贊成這個說法。同時，我們每個家長其實就是釘在起跑線上的起跑器踏板。我們這些起跑器要想穩固，靠的是我們不斷地讀無字之書，拜無言之師。