不存在。因為你這表述違背了函式的基本定義，換句話你所說的這個東西稱不上是函式。函式（function）在數學中為兩不為空集的集合間的一種對應關係：輸入值集合中的每項元素皆能對應唯一一項輸出值集合中的元素。不管是一對一，還是多對一的關係，總有一個輸入對應著唯一一個輸出。也就是說總有一個x或者多個x對應著唯一一個y。綜上，不可能存在有x但沒有y的情況。

很多偏微分方程是得不出精確解（是函式）的，比如氦原子電子方程，連函式都沒有精確式，當然更沒有精確的函式值了。

有的，很多微分方程的解無法精確求出，還有很多用無窮級數如冪級數、三角級數等表示的函式，可以是在每個點處都收斂，就是有函式值，但是無法求出這個值(和函式收斂域可以是一個區間，避免0之類的特殊自變數)。

這種情況是存在的。我可以給你舉一個確切的例子y=tree(x) (x>2，x為整數)

這個函式我們是確實知道他是有解的，但是客觀上求不出它的解

十七世紀伽俐略在《兩門新科學》一書中，最早提出了函式的概念，他用函式代表變數關係。在接下來的三百多年間，萊布尼茲、伯努利、尤拉等大咖們，不斷改進和完善函式的概念。二十世紀初，函式被定義為兩個集合的對映關係。（這裡省略了數學術語的定義）這個定義中有一個要點，就是函式未必是一個公式，只要有確定的對應關係就是函式。因此，題主所說的函式可以非常容易的構建出來，比如，f(任意圓)=圓周率。

一定有人會問圓周率不是可以算出來的嗎？事實上，圓周率無論怎麼算都是近似值。這涉及到連續還有變數的概念，就不細說了。我們還可以構造一個婚姻的函式f(男，女)=家庭。這種函式沒有算式只有對應關係，這也算求不出數值了吧。（我本人更傾向於認為圓周率不算數值，而家庭雖然不是個數值，但是具體的存在，用個數字代表它也很容易。比如，結婚登記編號）。

即便是在傳統的用到公式的函式中，數值也不重要，因為函式可以看成是一組變數對另一組變數的關係。因此，對變數的描述是非常重要的事。連續、間斷、極值、導數（變化的快慢）這些東東都是用來描述變數用的。而家庭那個例子，算是離散函式的例子，對那些離散的變數，人們一般會用偏差、分佈等方法進行描述。