100x+10y+z=99x+9y+(x+y+z)。前面兩項都是3的倍數，所以只要和是3的倍數，那這個數就一定是3的倍數。

一個整數abc……z，等於a✘10（k）＋b✘10（k-1）……＋z=（a＋b＋c＋……＋z）＋a✘99……9＋b✘99……9＋……

後面肯定是3和9的倍數，也就是說，只需要各位數字之和是3或者9的倍數，就可以被3和9整除。

爪機打不出來那些公式，將就一下吧

假設a,b,c,d,…任意整數的各個位數，

令a+b+c+d+……=3X

任意整數可寫成

a+10b+100c+1000d+……

=a+(b+9b)+(c+99c)+(d+999d)+……

=a+b+c+d+…+9*(b+11c+111d+……）

=3X+3*3*(b+11c+111d+……）

=3*{X+3*（b+11c+111d+……）}

即可被3整除。

結果為網路摘抄。。

用數學歸納法證明。

當只有一位數時，成立。

設n位數也成立。

這n位數是3的倍數，這n個數字之和也是3的倍數。

假設一個n位數是a並且是3的倍數，則可以構造出n+1位數10*a+b，b必須也是3的倍數，並且這n+1個數字的和也是3的倍數。

假設一個n位數是a，並且除以3的餘數是1，那麼這n個數字之和也是除以3餘1。因為把最後一位數減1,能夠被3整除，並且這n個數字的和也被3整除，再加1餘數就是1。因為大於10小於20且能夠被3整除的數只有12,15,18，所以構造的n+1位數的個位數只能是2,5,8，所以這個數能被3整除，且這n+1個數字的和能被3整除。

假設一個n位數是a ，並且餘數是2,同樣的原因，這n個數字的和也是餘數是2。因為大於20小於30的數只有21,24,27，所以構造的n+1位數的個位數只能是1,4,7，這個數能被3整除，且這n+1個數字的和也能被3整除。

綜上所述，n+1位數也成立。證明完畢。

任意位數都可以寫成位數乘以位的和的形式。

例：342＝3×100＋4×10+2

即：100×a＋10×b+c

即：99a＋a＋9b＋b＋c

即：99a+9b＋a＋b＋c

即：9×（11a＋b）＋a＋b＋c

9×（11a＋b）已經是3的倍數，若a＋b＋c也為3的倍數，則上式等於：

3×（3×（11a+b）＋x），即為3的倍數。

所以一個數是否為3的倍數關鍵就是各位上的數的和是否為3的倍數。

一個整數可以寫成a0+a1*10^1+a2*10^2+...+an*10^n= a0+a1+a1*(10^1-1)+a2+a2*(10^2-1)+...+an+an*10^(10^n-1)

如果3可以整除a0+a1+a2+...+an，而且3可以整除10^n-1，所以3可以整除原數

以三位數為例，100x+10y+z=（99+1）x+（9+1）y+z=99x+9y+x+y+z，99x和9y無疑是3的倍數，剩下的x+y+z就是各位之和了，四位數五位數等道理相同。

有一個簡單的證明，十的N次方減一可以被三整除，任意個的十的任意整數次方的和都可以變化成可以能被三整除的部分加餘下的一的和，當餘下的一的和和可以被整除時，整式也可被三整除。

這個有個前提，首先要有10^n-1（即9，99，999）可以被3整除。（可自證）。

然後任何一個整數都可被分解成各位數之和加上各位數與（10^-1）之和，因為10^-1可被3整除，則，當各位數之和可被3整除時，此數可被3整除。

以123為例，可表示成1+2+3+（1*（10^2-1））+（2*（10-1）），也就是1+99+2+18+3……因為後邊可，所以當1+2+3可時即可。

已知一個三位數abc，a+b+c能被3整除，求證：abc能被3整除。證明：abc＝a×100+b×10+c＝99a+a+9b+b+c＝99a+9b+(a+b+c)三部分都能被3整除∴abc能被3整除

一個整數的值，等於其各個位數乘以不同的數量級之和，比如123=1*100+2*10+3*1，這個等式可以換算成123=1*（1+99）+2*（1+9）+3，十位數及以上的每個數量級減去1都能被3整除（9，99……），所以，只要剩下的位數之和能被3整除，那這個數就能被3整除。如果要書面證明，列等式就可以了。