哥德巴赫猜想要證偽很容易只需要找反例。但是現今最強大的計算機也沒有找到反例。如果用哥德爾不完備定理，公理體系記憶體在既不能證明也不能證偽，如果確定哥德巴赫猜想就是這樣的命題，就像理髮師悖論裡理髮師究竟剪不剪自己的頭髮一樣。那也變相證明了。問題是，現在的邏輯系統也沒有發現，哥德巴赫猜想就是這樣的。離證明最近的是陳景潤，他證明了一個足夠大的合數可以寫成一個素數和兩個素數乘積和也就是“1+2”。被稱為離王冠只差一步，但是就是這一步也已經困住了數學界很多年。其實，比起哥德巴赫猜想，黎曼猜想的證明對於數學界意義尤其是素數分佈有相當重要的意義。素數理論及其高深，需要有如伽羅瓦、格羅滕迪克一樣的天才對於數學理論有新的創新。因為，就如費馬大定理證明一樣。沒有”比——丘”流型，那些困擾數百年的難題無法提供理論基礎。這些看似窮極一生的數學難題就像是黑洞，我們為什麼一定要證明它們呢？因為它就在那裡。

哥德巴赫猜想相當困難。直至今日，數學家對於哥德巴赫猜想的完整證明沒有任何頭緒。事實上，從1742年這個猜想正式出現，到二十世紀初期，在超過160年的時間裡，儘管許多數學家對這個猜想進行了研究，但沒有取得任何實質性的進展，也沒有獲得任何有效的研究方法。二十世紀以前對哥德巴赫猜想的研究，僅限於做一些數值上的驗證工作，提出一些等價的關係式，或對之做一些進一步的猜測。1900年，希爾伯特在第二屆國際數學家大會上提出的著名的二十三個希爾伯特問題之中的第八個問題，就包括了哥德巴赫猜想和與它類似的孿生素數猜想。希爾伯特的問題引發了數學家的極大興趣，但對於哥德巴赫猜想的研究仍舊毫無進展。1912年第五屆國際數際數學家大會上，德國數論專家愛德蒙·朗道曾經說過，即使要證明每個偶數能夠表示成K個質數的和，不管K是多少，都是數學家力所不及的。1921年，英國數學家戈弗雷·哈羅德·哈代曾經在哥本哈根數學會議的一次演講中聲稱：“哥德巴赫猜想的困難程度可以與任何一個已知的數學難題相比”。

分成兩個：弱哥德巴赫猜想和強哥德巴赫猜想

弱哥德巴赫猜想於2013年5月13日，法國國家科學研究院和巴黎高等師範學院的數論領域的研究員哈洛德·賀歐夫各特，線上發表了論文《論哥德巴赫定理的優弧》（Major arcs for Goldbach"s theorem）宣佈徹底證明了弱哥德巴赫猜想[6][5]。賀歐夫各特生於1977年，秘魯籍，2003年獲得普林斯頓大學博士學位。2010年開始擔任法國國家科學研究院和巴黎高等師範學院的研究員。2012年5月，賀歐夫各特發表論文《論哥德巴赫問題的劣弧》（Minor arcs for Goldbach"s problem）中給出了劣弧積分估計的一個更優上界[6]。在這個更優估計的基礎上，賀歐夫各特在2013年的論文中將優弧估計的條件放寬，把維諾格拉多夫定理中的下限降低到了1029左右，賀歐夫各特和同事David Platt用計算機驗證在此之下的所有奇數都符合猜想，從而完成了弱哥德巴赫猜想的全部證明。

強哥德巴赫猜想：布朗方法與陳氏定理

到現在使用布朗方法的最好結果是中國陳景潤得到的。他在1973年發表了“1+2”的證明，其中對篩法作出了重大的改進，提出了一種新的加權篩法。因此“1+2”也被稱作是陳氏定理。現今數學家們普遍認為，陳景潤使用的方法已經將篩法發揮到了極致，以篩法來證明最終的“1+1”的可能性已經很低了。布朗方法似乎在最後的一步上停止了下來。如今數學界的主流意見認為：證明關於偶數的哥德巴赫猜想，還需要新的思路或者新的數學工具，或者在現有的方法上進行重大的改進，也有認為僅僅基於現有的方法上的改進無法證明偶數哥德巴赫猜想。

在1900年巴黎國際數學家代表大會上，德國著名數學家希爾伯特發表了題為《數學問題》的著名講演，提出了23個最重要的數學問題，這些問題通稱希爾伯特問題，後來成為許多數學家力圖攻克的難關，對現代數學的研究和發展產生了深刻的影響。 2000年初美國克雷數學研究所的科學顧問委員會選定了七個“千年大獎問題”，克雷數學研究所的董事會決定建立七百萬美元的大獎基金，每個“千年大獎問題”的解決都可獲得百萬美元的獎勵，其中著名的龐加萊猜想已俄國數學家佩雷爾曼證明。可見數學猜想在數學發展中佔有重要的地位，數學猜想是怎樣的一種方法論呢？

在自然辯證法這一哲學領域，數學猜想就是科學假說這一概念，即根據已有的科學知識和新的科學事實，對所研究的問題作出的猜測性說明和嘗試性解答。它既有邏輯的成分，又含有非邏輯的成分，因此它具有一定的科學性和很大程度的假定性。這樣的假定性命題是否正確，尚需透過驗證和論證。比如數學猜想有的被驗證為正確的(如費馬猜想、卡塔蘭猜想、龐加萊猜想等)，併成為定理；有的被驗證為錯誤的(如尤拉猜想、馮·諾伊曼猜想等)；還有一些正在驗證過程中(如黎曼假設、孿生素數猜想、哥德巴赫猜想等)。雖然數學猜想的結論不一定正確，但它作為一種創造性的思維活動，是科學發現的一種重要方法。

數學猜想由前提和結論兩部分組成。它以已有的部分事實和正確的數學知識（公理、定理、公式等）為前提, 一般都是經過對大量事實的觀察、驗證、類比、歸納、概括等而提出來的。數學猜想可分為存在性猜想（比如費馬大定理），狀態性猜想（比如龐加萊猜想），關係型猜想（比如哥德巴赫猜想），方法型猜想（尺規作圖猜想）等。既然數學猜想就是科學假說，它存在於數學這一科學領域，因此具有以下特點：﹙1﹚科學性與假定性的統一，（2）抽象性與形象性的統一，（3）挑戰性與廣泛性的統一。具體含義為希爾伯特問題和七個“千年大獎問題”中的是在一定的科學事實和已有的科學理論基礎上建立的，並需要經過一系列的科學論證才能提出。因此，它與毫無事實根據的主觀臆測或缺乏科學論證的簡單猜想有著本質的區別，同時有一定的猜測性。數學猜想雖然具有一定的科學性，但與確實可靠的科學理論不同，有待於實踐的檢驗。另外，數學猜想不是事實的簡單堆積，而是經過了一定程度的科學抽象，因此有抽象性；從數學猜想的形成看，開始只能以初步的猜想和想象的形式出現，使數學猜想具有某種形象性。由此可見數學猜想體現了科學方法論在數學中的應用，那他對數學及其他學科的影響呢？ 數學猜想的提出與研究，生動地體現了辯證法在數學中的應用，極大地推動了數學方法論的研究。當然，數學猜想往往成為數學發展水平的一項重要標誌：費馬猜想產生了代數數論；龐加萊猜想有助於人們更好地研究三維空間；哥德巴赫猜想促進了篩法和圓法的發展，尤其是發現了殆素數、例外集合、小變數的三素數定理等；黎曼假設使素數定理得到證明以及橢圓曲線技術應用於加解密、數字簽名、金鑰交換、大數分解和素數判斷等；四色問題透過電子計算機得以解決，

沒人知道素數的性質

從古至今，沒人瞭解素數的性質，所以使得素數的研究停留在找規律階段，歌德巴赫猜想的破解成為一部分人的目標。

人們忽略了自然數1，所以無法用一個合理的通式來表達素數，1在素數表的研究過程中是起著很大作用的。現在得到的素數通式千奇百怪，沒有一個能達到本質，所以許多專家學者仍然對素數的研究停留在盲人摸象階段。

一直以來困惑人們的是素數夠不夠偶數使用，當你真正瞭解素數的時候，你會說“為什麼偶數這麼少”。

素數的通式的重要性

素數通式的有無直接影響了素數的研究和發展。有人說哥德巴赫猜想是不能透過初等數學解決的。

歐幾里德反證法

根據表示式，我們可以知道歐幾里德對素數無限性的描述雖然沒有錯，但是表述不準確，可以看出，此前他沒有得到相應的素數通式。

存在素數列 p1 p2 p3...pn.p‹n+1›...pi....pl

假設pl為最大的素數，則存在素數pi(大於pn)，使得pl=p1×p2×p3......pn+pi（pn>6，pi 小於p1×p2×p3...pn）

那麼(p1×p2×p3......pn)×2大於pl。

於是至少存在一個素數 pm=p1×p2×p3....pn×p‹n+1›-1，使得pm>pl （l不小於n+2，m大於l）

上述結論顯然與假設pl為最大的素數有矛盾。假設不能成立。

其實pl與p‹l+1›之間不會存在這麼大的間隔，能夠找到一個確定存在的大於pl的素數pm就證明了素數無限性。

下例兩個連續的素數間隔為16，A=2×3×5×7×11×13=30030，A-17=30013，A-1=30029。

有了素數的通式，就根本不需要用反證法來證明素數的無限性。

同樣瞭解素數規律，就不用去解決哥德巴赫猜想了。