你的這種感覺是對的!微積分學的確不能按形式邏輯的推理匯出來。在數學中，0做除數是不被允許的。在導數的定義中，就出現了0做除數的情況，由此導致第二次數學危機的出現。傳統的數學理論解決不了這個問題。導數的概念之所以被廣泛認可，被科學界普遍接受，是由於它運用了辯證邏輯。仔細研究一下切線的斜率和瞬時速度這兩個具體例子就可以知道，這是一種全新的思維方式和推理方式。具有客觀合理性。正是由於辯證邏輯的出現和引入，數學才得以成功地克服第三次危機，微積分學正式成為數學不可分割的組成部分。從這裡也可以看出，每一次數學危機的化解，都必然出現新的思想，新的觀念以及新的數學技術。正是這些新思想，新觀念，新技術極大地推動了數學的發展和進步。

數學是一個人造世界。本身就是由大量人為的規定確立起來的。這並無不妥。例如，數學的公理化體系，就是一種人為的規定。但它來自人類對世界的認知，並不能隨心所欲地建構公理化體系。歐氏幾何綿延幾千年，經受了歷史的檢驗。至今仍然是中小學生的必修課。微積分也一樣。瞬時速度是客觀存在，曲線的切線也是客觀存在。總得有一種數學的方法和技術去刻畫它，這是客觀的需求。這就是導數。

當然，數學也不是一成不變的。無論是思想，觀念，還是數學技術，都是可以突破的。這是科學發展的必然結果。從古至今，歐氏幾何只有一種。但人們對歐氏幾何的理解，今人和古人有很大的不同。不是古人做錯了什麼，而是今人對歐氏幾何的理解更加深刻，更加準確，更加完善了。這體現了時代的進步。

順便説一句，辯證邏輯是一種正確的思維方式。微積分學也非常嚴謹。你的懷疑是不必要的。

別說感覺，數學只需要邏輯，不需要感覺。具體的說是哪一個概念、定義、定理不嚴謹呢，如果你真的能說出來，那恭喜你，你肯定是個數學天才，因為當初那些數學家也認為這些不嚴謹，於是有了更嚴謹的基於集合論的自然數理論、實數理論、實分析等。你上大學前為什麼不感覺自然數的某些理論不嚴謹呢？比如說，加法為什麼會滿足交換率，是因為交換率本就是公理，還是推匯出來的定理。其實對於大多數非數學專業的數學課程來說，都沒有嚴謹的教授自然數理論，你可以對你認為不嚴謹的理論一直追問下去，想不通就是去找更深入的數學課程去學，這裡推薦陶哲軒的《實分析》，這門課考100分後，你如果還能提出某些理論不嚴謹，就直接給中科院數學所寫信，或把你的思路寫下來投到數學頂級刊物發表吧。