對於矩陣A，若AX = rX存在特徵向量R，則稱R為右特徵向量；YA=rY存在特徵向量L，則稱L為左特徵向量。

[211；020；0-11]

設A的特徵值為λ

則|A-λE|=

2-λ 1 1

0 2-λ 0

0 -1 1-λ

=(2-λ)(2-λ)(1-λ)=0

所以λ=1或2

當λ=1

A-E=

1 1 1

0 1 0

0 -1 0 第1行減去第2行，第3行加上第2行

～

1 0 1

0 1 0

0 0 0

得到特徵向量為(1,0,-1)^T

當λ=2

A-2E=

0 1 1

0 0 0

0 -1 -1 第3行加上第1行

～

0 1 1

0 0 0

0 0 0

得到特徵向量為(0,1,-1)^T和(1,0,0)^T

左特徵向量，即是乘在矩陣的左邊的向量（橫向量）。求法先求轉置矩陣的特徵值和對應的特徵向量（列向量）。將求的向量寫成橫向量即為左特徵向量，轉置矩陣的特徵值為矩陣的做特徵值。具體解法見插圖。

字面理解應當是特徵向量左邊的算量吧，我還專門查了一下左特徵向量的含義，但是都說了一堆特徵向量的解釋，而且沒有一個解釋是通俗易懂的，所以很遺憾解釋不了很多

我有一種書到用時方恨少的挫敗感呢

線上性代數中，向量 X 一般都是 列向量：

於是，對於 n 階 方陣 A 我們可以定義，滿足下面等式：

AX = λᵪX (X ≠ 0) ①

的 λᵪ 為特徵值，X為特徵向量。

AX = λᵪX ⇔ (A - λᵪE)X = 0 ①"

要保證，右邊那個線性其次方程 ①" 有非零解，就必須保證

|A - λᵪE| = 0 ②

這稱為特徵方程。從 ② 求得 特徵值後，再代入 ①" 就可以得到特徵向量。

然而，對於 行向量 Y：

我們只能將 ① 改寫為，

並照搬上面的定義，稱滿足上式的 Y 為左特徵向量。

(YA)ᵀ = (λᵧY)ᵀ ⇒ AᵀYᵀ = λᵧYᵀ

這樣以來，就符合 ① 的定義，於是之後的計算就和上面完全一樣了。

所以很顯然，所謂的 左特徵向量 Y，首先是 行向量，它的轉置 Yᵀ 是 A 的 轉置 Aᵀ 的特徵特徵向量。

YAX = λᵧYX

再根據 ① 於是有：

λᵧYX = YAX = Y(AX) = YλᵪX = λᵪYX

兩邊消去 YX 得到：

λᵧ = λᵪ

也就是說，特徵值不分左右，以後均表示為 λ。

（當然，上面的推導有些瑕疵，因為 特徵向量的非零特性，並不能保證 Y 和 X 不正交，即 YX ≠ 0。其實根據 行列式的特性 |A| = |Aᵀ|，我們有：

|Aᵀ - λᵧE| = |Aᵀ - λᵧEᵀ| = |(A - λᵧE)ᵀ| = |A - λᵧE|

也就是說，左特徵方程 和 右特徵方程 完全一樣，故 求得的 特徵值 也一樣。）

雖然，左右特徵值 一樣，但 左右特徵向量 一般不同。舉個例子：

可求得 矩陣，

的特徵值為 λ₁ = λ₂ = λ₃ = -1。解線性方程，

得到 右特徵向量 X = (1, 1, -1)ᵀ；解線性方程，

得到 左特徵向量 Y = (2, -1, 1)；顯然，它們不一樣。

矩陣的特徵向量是矩陣理論上的重要概念之一，它有著廣泛的應用。數學上，線性變換的特徵向量（本徵向量）是一個非簡併的向量，其方向在該變換下不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特徵值（本徵值）。

一個線性變換通常可以由其特徵值和特徵向量完全描述。特徵空間是相同特徵值的特徵向量的集合。“特徵”一詞來自德語的eigen。1904年希爾伯特首先在這個意義下使用了這個詞，更早亥爾姆霍爾茲也在相關意義下使用過該詞。eigen一詞可翻譯為”自身的”、“特定於……的”、“有特徵的”、或者“個體的”，這顯示了特徵值對於定義特定的線性變換的重要性

什麼是左特徵向量？矩陣的特徵向量是矩陣理論上的重要概念之一，它有著廣泛的應用。數學上，線性變換的特徵向量（本徵向量）是一個非簡併的向量，其方向在該變換下不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特徵值（本徵值）。一個線性變換通常可以由其特徵值和特徵向量完全描述。特徵空間是相同特徵值的特徵向量的集合。“特徵”一詞來自德語的eigen。1904年希爾伯特首先在這個意義下使用了這個詞，更早亥爾姆霍爾茲也在相關意義下使用過該詞。eigen一詞可翻譯為”自身的”、“特定於……的”、“有特徵的”、或者“個體的”，這顯示了特徵值對於定義特定的線性變換的重要性。計算矩陣的特徵值和特徵向量。假設我們想要計算給定矩陣的特徵值。若矩陣很小，我們可以用特徵多項式進行符號演算。但是，對於大型矩陣這通常是不可行的，在這種情況我們必須採用數值方法。