這個瓶子並不是為了裝什麼，而是數學家發現的一種理論。

在說這個瓶子前，我們有必要先說說莫比烏斯帶。相信很多人都聽過莫比烏斯帶，也自己動手做過，就是把一個長紙條扭轉180°後再將兩頭粘起來。做出來的紙帶有個特點：從紙上某一點出發，沿著紙條長度方向前進，最終會經過原來紙條的兩個面後回到起點，也就是說，它只有一個面。如果紙條兩頭粘起來前沒有扭轉180°，做出來的就是一個紙筒，從紙上某一點出發，沿著紙條長度方向前進，最終只能經過原來紙條的一個面就回到起點，也就是說它有兩個面。

克萊因瓶與莫比烏斯帶有什麼聯絡呢？簡單的說，這個瓶子是這個帶子的三維拓展。瓶子的定義是一種無定向性的平面，這個很難直觀理解，我們用莫比烏斯帶類比理解。

莫比烏斯帶是用一個長紙條製作的，拓展到三維，我們可以把紙條看成是一段長的紙筒。如果將紙筒兩端從紙筒內部（或外部）粘起來，這就是一個游泳圈的形象，這不是我們想要的結果。對照莫比烏斯帶的製作過程，有一個“扭轉180°”的要求，拓展到三維時，要怎樣扭轉呢？這個扭轉也是無法想象的。因為製作莫比烏斯帶的紙條本身是二維的，扭轉180°卻需要在三維空間完成，與之類似，製作克萊因瓶的紙筒本身是三維的，其扭轉需要在四維空間完成，而人類至今無法想象四維空間，所以，製作克萊因瓶的扭轉過程也就無法想象。但是扭轉的結果是確定的，那就是紙筒一端A端從外部向另一端B端靠近，而B端則從內部向A端靠近，然後在四維空間完成粘起來的過程。

類比於莫比烏斯帶只有一個面，這個瓶子形成的只是一個開放的空間，它並沒有把三維空間分成內外兩部分，也就是說，克萊因瓶其實只是一個面，這個瓶子是無法裝滿的。

另一個神奇的地方是它與莫比烏斯帶的相互轉化。如果把兩個一樣的莫比烏斯帶的邊粘起來（注意，莫比烏斯帶只有一個邊哦），這就變成了克萊因瓶，而如果把克萊因瓶從它的對稱面一切兩半，就變成2個莫比烏斯帶。所以這個瓶子和這條帶子可以認為本源相同。

1882年，德國幾何學家菲立克斯·克萊因 (Felix Klein) 最先提出這個瓶子的概念。有趣的是，克萊因最初是把這個瓶子命名為“Kleinsche Fläche”，這是德語，本意是“克萊因平面”，但是翻譯者把德語“Fläche”寫成了英語“Flasche”，而這個詞是瓶子的意思，這才有了“克萊因瓶”。不過“瓶子”這個詞實在是太合適了，也間接的有助於這個概念的傳播。

最初，這個概念真的只是一個概念，沒有實際的應用，畢竟1882年還是很落後的年代。而到了現代，基本上也只是裝飾作用，還沒有具體的作用。

也許在空間理論技術高度發達的未來，這種涉及四維空間的瓶子，能有用武之地吧。