圓的周長非常容易計算，因為圓的周長與其直徑之比為恆定的圓周率，所以圓的直徑乘以圓周率就能算出周長。在某種意義上，圓是橢圓的一種特殊形式，兩個焦點重合、半長軸（a）等於半短軸（b）的橢圓就是圓。

雖然圓的周長有初等函式表示式，但橢圓的周長卻沒有簡單的計算公式。不過，這並不意味著橢圓沒有周長計算公式。事實上，橢圓周長公式可以用積分形式精確表達出來：

其中e為橢圓的離心率：

只不過這是第二類完全橢圓積分，沒有解析解，這意味著它不能用初等函式表示，只有在是圓的情況下才能。但藉助計算機，透過插值法等數值方法可以算出一定精度的橢圓周長。或者，可以藉助其他近似的初等函式公式來計算橢圓的周長。

拉馬努金在短暫的一生中發現了許多經典的公式，其中包括收斂速度非常快的圓周率公式，也包括橢圓周長的近似公式，比較有代表性的是下式：

其中h表示：

這個公式的誤差很小，即便圓周率只取3.14，也能得到不錯的精度。

如果對第二類完全橢圓積分進行展開，橢圓的周長公式還有無窮級數的形式：

在上式中，取的項數越多，計算結果越精確。

在現實中，天體的運動軌道沒有完美的圓形，大都是橢圓形。利用橢圓周長的無窮級數公式來計算能夠得到極高的精度，這足夠用於天體運動的計算。

另外，由於引力作用引起的近日點進動，天體的每個公轉軌道其實也不是重合的。例如，地球每年的近日點和遠日點的位置和日地距離都在發生變化；水星的近日點進動是八大行星中最大的那個，因為它最為靠近太陽。

橢圓周長是有公式的，只不過確實不是精確的。

在我國的基礎教育中儘管對橢圓有相關的教學內容，比如很多高考生的噩夢——圓錐曲線，但對於橢圓的周長公式在現在的基礎教育教科書裡卻沒有出現過。

一個重要原因就是橢圓並沒有直接的像圓周長那樣的簡潔公式，而是一個無窮級數:在求證上還涉及到引數方程，座標變換，多重積分的運用，這些都是大學作為理工科學生才會稍微系統地學習的內容。

上式中橢圓的周長只和變數半長軸a和橢圓偏心率ε，以及i值的精確度有關係，i值越大，求出的橢圓周長越精確，但永遠不是一個精確值。

宇宙中，可以說所有的天體運動軌道都有一定的偏心率，這意味著它的運動軌道就是一個橢圓，只不過“橢”的程度不同而已，而正圓的偏心率恰為0。

比如我們地球的公轉軌道為0.01627，十分接近一個圓了，而冥王星的偏心率高達0.2401，彗星的軌道更是出奇的偏。

對於天體的運動軌跡，除去中心天體以外星體的影響，我們幾乎可以透過超算將它的軌跡描繪的很精確。

這很容易理解，級數儘管是無窮的，但億萬位的精度我們是可以用計算機做到的，億萬位之後的精度對天體的影響可以說微乎其微。

所以有沒有精確的公式並不要緊，對天體的運算精度我們可以做到基本沒什麼誤差了。但實際上的天體除了受中心引力源的影響，還有周圍其他天體引力的影響，這會使得天體產生進動之類的位移，這時候的橢圓將之不“橢”。

對於這麼一個在數學上是沒有確切的空間解的多體問題，精度是不可能很高的。

《橢圓周長最準公式》

呂百順

我推導的橢圓周長最準公式是：

L=4√[a²+b²+ab（π²-8）/4]——⑨

其中：a——半長軸，b——短半軸，π——圓周率π=3.1415926535897932384626433832795……

就叫作橢圓周長第九公式吧？因為前輩們已經有了八個公式了。

請各位數學專家驗證指導！

我透過多次驗證，其精度可以和目前的圓周率π的精度相等。

也許有誤，旦求證明。

橢圓形周長不能計算軌道。近地點和遠地點的速度不一樣，不過其掃過的面積相等，所以近地點速度快，遠地點速度慢，有個微積分可以計算的，忘了公式

橢圓是由不同半徑的弧連線而成的，焦點兩端的弧長半徑相等，焦點中間以對稱軸分為上下共四段弧，其半徑也是相等的，任何半徑的弧，只要知道它的半經和該弧所對的角度，都可用求圓周長的公式C=6.18R求出，完全與求圓周長同樣精確。因為任何圓弧長度，都是構成它同半徑圓周長上的一部分，求到了圓周長，按百分比即可知該段弧是多長，簡易而精確。

求橢圓周長，應根據橢圓之圓周度數，先求出橢圓周率，然後將長、短兩直經之和的二分一乘以橢圓周率。

橢圓周率等於橢圓度數乘以三百六十分之一兀(注:因為圓是360｀橢圓的圓周度數大於圓。)

設:橢圓周率為兀*，度數為N；a為橢圓之短軸(徑)；b為橢圓之長軸(徑)；兀為圓周率。

…

其實橢圓面積也沒有，橢圓的面積πab,但是圓周率也是一個不能得到精確值的量。這和橢圓周長其實沒有本質區別。