數學必須有一套符合自然法則且完整的數學公理體系。數學公理體系產生數學公式。數學公式推導數論代數符號，數論代數符號推導數論代數方程，數論代數方程對應數字計算式子，數論代數方程及數字計算式子都必須吻合數學座標系及其圖象，還必須要吻合乘法口訣。還必須既與乘法求積除法求商順逆相對，又必須既與加法求和減法求差相對，又必須找到平方根及立方術根的源與流。

簡單地說，這是由數學的學科性質決定的。

與物理、化學、生物學等實證科學不同，數學是建立在人類對事物的抽象描述能力的基礎之上的一門學科，因此數學的研究物件都屬於“人造概念”——即我們對事物的抽象描述，現實世界中其實並不存在。於是，我們只能透過一些約定的定義和公理為起點，對數學研究物件加以界定，然後以此出發，推出其他的推論。其中，重要的、常用的推論被稱為定理。其中定理又包括性質定理和判定定理。性質定理講的是透過某個數學物件，我們可以得出哪些與其相關的特點；判定定理意為透過什麼條件可以判斷出某個特定的數學物件。

這要從數學這門學科的特點來講，數學是一門注重基礎與邏輯性的學科。我還是以《幾何原本》為例來說一下。

數學可以說是一座大廈，它的基礎是定義（含未定義項）與公理（公設）。

《幾何原本》第一卷中有23個定義，讓人們對研究物件有了明確的認知。人們透過這23個定義知道了什麼是點，什麼是線，什麼是三角形，什麼是四邊形等等。

五個公設

1、由任意一點到另外一點可以畫直線。2、一條有限直線可以無限延長。3、以任意點為心及任意的距離可以畫圓。4、凡直角彼此都相等。5、同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側的兩個內角的和小於二直角的和，則這二直線經無限延長後在這一側相交。

五個公理

1、等於同量的量彼此相等。2、等量加等量，其和仍相等。3、等量減等量，其差仍相等。4、彼此能重合的物體是全等的。5、整體大於部分。

先為大家說一下公設與公理的異同。公理和公設都是不證自明的，公設專用於幾何學，公理不僅適用於幾何還適用於其他的學科如代數。

大家可以發現這五個公理很顯然，幾乎是廢話，但又無法證明。前四個公設也很顯然，只是第五個有點長，歷史上好多人嘗試證明第五公設，但沒能成功，致使非歐幾何誕生。

定理是需要經過證明的，比如幾何原本中證明命題1.

命題1、在一個已知有限直線上作一個等邊三角形。

大家可能認為這不也是很顯然的嗎，實際上這是一個定理，因為它是可以根據前面所說的定義以及公理公設證明出來的。該命題經證明成立之後可以用來證明後邊的命題，比如證明命題2就援引了命題1，以此類推，不一一說明。

可以說幾何學的大廈就是這樣建成的，數學中的其他分支也是類似，注重基礎與嚴密邏輯，這種研究方法被稱為公理化思想。舉個例子，第二次數學危機，就是因為極限，無窮小量這些定義未能嚴格的形成，從而導致根基不穩。關於數學危機，大家可以參考我前面的問答，這裡就不再贅述了。

在說公理和定理之前先來說下數學中的“判斷”與“命題”，以便更好的來學習公理和定理。

1、什麼叫判斷？

判斷是對思維物件有所斷定的思維形式，或者說，判斷是對思維物件有所肯定或有所否定的思維形式。

“有所斷定”是判斷的基本特徵，無所斷定的思維不是判斷。例如：“正數都大於 零 ”，“等邊三角形的三個內角都是 60° ”等都是判斷，而像“tan3 是無理數嗎？“ 就不是判斷。

判斷的另一個特徵是有真假之分，如果一個判斷所斷定的符合客觀實際，那麼這個判斷就是一個真判斷；否則就是假判斷。

2、什麼叫命題？

表達判斷的語句叫做命題，數學中的 定義、公理、定理、公式、法則等都是數學命題。

例如：“兩直線平行，同旁內角互補”、“三角形的內角和為 180° ”、

“（a-b）^2 = a^2 - 2ab + b^2”等都是數學命題。由於判斷有真假之分，所以命題也有真假之別，原命題、逆命題、否命題、逆否命題是數學命題的四種基本形式。

命題的條件和結論之間有著一定的聯絡，而這種聯絡就是我們常說的 “充分條件”、“必要條件”、“充要條件”、“充分而非必要條件”、“必要而非充分條件”。

3、定理和公理

凡是經過邏輯證明確認為真的命題叫做定理。例如“平行四邊形的對角線互相平分”、“三角形的內角和等於 180°”等。它們的正確性都是透過邏輯證明來確認的，因此，它們都是數學定理。

如果一個定理的逆命題為真，那麼這個逆命題叫做該定理的逆定理。

有些定理是由前一個定理直接推得的，它的正確性是前一個定理的直接結果，這樣的定理叫做前一定理的推論。

要邏輯證明一個命題的正確性，需要用到它前面的一些定理，前面的這些定理的邏輯證明又需要用到更前面的定理。這樣的追溯過程不能無限制的繼續下去。因此，任何一門學科都有少數最基本的命題。它們的正確性不是靠邏輯證明來確定的，而是經過人們反覆常時期實踐直接證實的，這些最基本的命題用來作為推證其它命題的最初的根據。我們把這樣的命題稱為公理。

例如“整體大於部分”、“兩點確定一條直線”、“不共線的三點確定一個平面”等，都是數學公理。

數學是應用公理來證明定理。

在數學教學過程中，要使學生了解並遵守正確的思維規律，掌握好推理和證明的方法，是學生學好數學基礎知識和提高基本能力的有效途徑！