這個式子是成立的，為什麼成立，我們來進行探討！

一、要想弄清楚0.9的迴圈為什麼等於1,先要弄清楚它的本質！

這就是它的本質，就是一個無窮等比數列求和！這個等比數列首項是0.9,後面每一項和前一項的比是0.1,即公比為0.1

二、我們從等比數列入手，把它弄清楚它到底為什麼等於1.

1,先看等比數列的概念和通項公式。

2,我們可以用錯位相減法求等比數列的各項和。具體是把一個等比數列求和等式記作S,然後把等式的兩邊同時乘以公比，再錯位相減，整理就可以得出等比數列求和公式。

3,無窮等比數列的概念及其求和。

當一個等比數列的相數有無限多項時，這個等比數列就是一個無窮等比數列。觀察上面的求和公式，當公比q的絕對值大於1時，無窮等比數列是沒有和的，或者說和是無窮大的！只有在公比q滿足-1<q<1時，這個無窮等比數列就有和，並且可用公式求出來！

這就是無窮等比數列求和求和公式。

三、回到本題，怎麼算0.9的迴圈等於1呢？

1,我們知道了它就是一個無窮等比數列求和，首項是0.9,公比是0.1, 直接利用剛才得出的求和公式求值！

2,我們還有另外一種比較容易接受的方法來求它等於1,就是用方程來解！

3,不光0.9這個無限迴圈小數可以化為1,任何一個無限迴圈小數都可以化為一個分數。例如下面幾個例子！

1-0.999...=0.000...1

至於 0.999...=1，0.000...1＝0 是另外一個問題。

無限（迴圈或不迴圈）小數 0.abcd... 就是 無限數列：

a 10⁻¹， b 10 ⁻²，...

的所有項之和。具體對於 0.9...， 9的迴圈對應無線序列如下：

9 × 10⁻¹， 9× 10 ⁻²，...

這是一個等比數列：

a₁＝ 9/10， q ＝ 1/10

部分和為：

S_n＝a₁ (1 - qⁿ) / (1-q)＝9/10 (1-1/10ⁿ)/(1-1/10)＝1-1/10ⁿ

數列的和就是這個部分和的極限，即：

0.9...＝lim_{n→∞}S_n＝lim_{n→∞}(1-1/10ⁿ)＝1 - lim_{n→∞}1/10ⁿ＝1 - 0 ＝1

最終，有：

1－0.9...＝1－1＝0