一、 函式的定義
函式的傳統定義:
設在某變化過程中有兩個變數x、y，如果對於x在某一範圍內的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應，那麼就稱y是x的函式，x叫做自變數。
我們將自變數x取值的集合叫做函式的定義域，和自變數x對應的y的值叫做函式值，函式值的集合叫做函式的值域。
函式的近代定義:
設A，B都是非空的數的集合，f:x→y是從A到B的一個對應法則，那麼從A到B的對映f:A→B就叫做函式，記作y=f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合A叫做函式f(x)的定義域，象集合C叫做函式f(x)的值域，顯然有CB。
符號y=f(x)即是“y是x的函式”的數學表示，應理解為:
x是自變數，它是法則所施加的物件;f是對應法則，它可以是一個或幾個解析式，可以是圖象、表格，也可以是文字描述;y是自變數的函式，當x為允許的某一具體值時，相應的y值為與該自變數值對應的函式值，當f用解析式表示時，則解析式為函式解析式。y=f(x)僅僅是函式符號，不是表示“y等於f與x的乘積”，f(x)也不一定是解析式，在研究函式時，除用符號f(x)外，還常用g(x)，F(x)，G(x)等符號來表示。
對函式概念的理解
函式的兩個定義本質是一致的，只是敘述概念的出發點不同，傳統定義是從運動變化的觀點出發，而近代定義是從集合、對映的觀點出發。這樣，就不難得知函式實質是從非空數集A到非空數集B的一個特殊的對映。
由函式的近代定義可知，函式概念含有三個要素:定義域A、值域C和對應法則f。其中核心是對應法則f，它是函式關係的本質特徵。y=f(x)的意義是:y等於x在法則f下的對應值，而f是“對應”得以實現的方法和途徑，是聯絡x與y的紐帶，所以是函式的核心。至於用什麼字母表示自變數、因變數和對應法則，這是無關緊要的。
函式的定義域(即原象集合)是自變數x的取值範圍，它是構成函式的一個不可缺少的組成部分。當函式的定義域及從定義域到值域的對應法則完全確定之後，函式的值域也就隨之確定了。因此，定義域和對應法則為“y是x的函式”的兩個基本條件，缺一不可。只有當兩個函式的定義域和對應法則都分別相同時，這兩個函式才是同一個函式，這就是說:
1)定義域不同，兩個函式也就不同;
2)對應法則不同，兩個函式也是不同的;
3)即使是定義域和值域都分別相同的兩個函式，它們也不一定是同一函式，因為函式的定義域和值域不能唯一地確定函式的對應法則。
例如:函式y=x+1與y=2x+1，其定義域都是x∈R，值域都為y∈R。也就是說，這兩個函式的定義域和值域相同，但它們的對應法則是不同的，因此不能說這兩個函式是同一個函式。
定義域A，值域C以及從A到C的對應法則f，稱為函式的三要素。由於值域可由定義域和對應法則唯一確定。兩個函式當且僅當定義域與對應法則分別相同時，才是同一函式。
f(x)與f(a)的區別與聯絡
f(a)表示當x=a時函式f(x)的值，是一個常量。而f(x)是自變數x的函式，在一般情況下，它是一個變數，f(a)是f(x)的一個特殊值。如一次函式f(x)=3x+4，當x=8時，f(8)=3×8+4=28是一常數。
當法則所施加的物件與解析式中表述的物件不一致時，該解析式不能正確施加法則。
比如f(x)=x2+1，左端是對x施加法則，右端也是關於x的解析式，這時此式是以x為自變數的函式的解析式;而對於f(x+1)=3x2+2x+1，左端表示對x+1施加法則，右端是關於x的解析式，二者並不統一，這時此式既不是關於x的函式解析式，也不是關於x+1的函式解析式。
函式的定義域:
定義:
原象的集合A叫做函式y=f(x)的定義域，即自變數的允許值範圍。
當函式用解析式給出時，定義域就是使式子有意義的自變數的允許值的集合。
求定義域:
求定義域的三種基本方法:
一是依據函式解析式中所包含的運算(除法、開平方等)對自變數的制約要求，透過解不等式(組)求得定義域;
二是依據確定函式y=f(x)的對應法則f對作用物件的取值範圍的制約要求，透過解不等式(組)求得定義域;
三是根據問題的實際意義，規定自變數的取值範圍，求得定義域。
當函式由實際問題給出時，其定義域由實際問題確定。
函式的值域:
象的集合C(C B)叫做函式y=f(x)的值域，即函式值的變化範圍。
求值域的基本方法:
依據各類基本函式的值域，透過不等式的變換，確定函式值的取值範圍，在這一過程中，充分利用函式影象的直觀性，能有助於結論的得出和檢驗。從定義域出發，利用函式的單調性，是探求函式值域的通法
一、 函式的定義
函式的傳統定義:
設在某變化過程中有兩個變數x、y，如果對於x在某一範圍內的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應，那麼就稱y是x的函式，x叫做自變數。
我們將自變數x取值的集合叫做函式的定義域，和自變數x對應的y的值叫做函式值，函式值的集合叫做函式的值域。
函式的近代定義:
設A，B都是非空的數的集合，f:x→y是從A到B的一個對應法則，那麼從A到B的對映f:A→B就叫做函式，記作y=f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合A叫做函式f(x)的定義域，象集合C叫做函式f(x)的值域，顯然有CB。
符號y=f(x)即是“y是x的函式”的數學表示，應理解為:
x是自變數，它是法則所施加的物件;f是對應法則，它可以是一個或幾個解析式，可以是圖象、表格，也可以是文字描述;y是自變數的函式，當x為允許的某一具體值時，相應的y值為與該自變數值對應的函式值，當f用解析式表示時，則解析式為函式解析式。y=f(x)僅僅是函式符號，不是表示“y等於f與x的乘積”，f(x)也不一定是解析式，在研究函式時，除用符號f(x)外，還常用g(x)，F(x)，G(x)等符號來表示。
對函式概念的理解
函式的兩個定義本質是一致的，只是敘述概念的出發點不同，傳統定義是從運動變化的觀點出發，而近代定義是從集合、對映的觀點出發。這樣，就不難得知函式實質是從非空數集A到非空數集B的一個特殊的對映。
由函式的近代定義可知，函式概念含有三個要素:定義域A、值域C和對應法則f。其中核心是對應法則f，它是函式關係的本質特徵。y=f(x)的意義是:y等於x在法則f下的對應值，而f是“對應”得以實現的方法和途徑，是聯絡x與y的紐帶，所以是函式的核心。至於用什麼字母表示自變數、因變數和對應法則，這是無關緊要的。
函式的定義域(即原象集合)是自變數x的取值範圍，它是構成函式的一個不可缺少的組成部分。當函式的定義域及從定義域到值域的對應法則完全確定之後，函式的值域也就隨之確定了。因此，定義域和對應法則為“y是x的函式”的兩個基本條件，缺一不可。只有當兩個函式的定義域和對應法則都分別相同時，這兩個函式才是同一個函式，這就是說:
1)定義域不同，兩個函式也就不同;
2)對應法則不同，兩個函式也是不同的;
3)即使是定義域和值域都分別相同的兩個函式，它們也不一定是同一函式，因為函式的定義域和值域不能唯一地確定函式的對應法則。
例如:函式y=x+1與y=2x+1，其定義域都是x∈R，值域都為y∈R。也就是說，這兩個函式的定義域和值域相同，但它們的對應法則是不同的，因此不能說這兩個函式是同一個函式。
定義域A，值域C以及從A到C的對應法則f，稱為函式的三要素。由於值域可由定義域和對應法則唯一確定。兩個函式當且僅當定義域與對應法則分別相同時，才是同一函式。
f(x)與f(a)的區別與聯絡
f(a)表示當x=a時函式f(x)的值，是一個常量。而f(x)是自變數x的函式，在一般情況下，它是一個變數，f(a)是f(x)的一個特殊值。如一次函式f(x)=3x+4，當x=8時，f(8)=3×8+4=28是一常數。
當法則所施加的物件與解析式中表述的物件不一致時，該解析式不能正確施加法則。
比如f(x)=x2+1，左端是對x施加法則，右端也是關於x的解析式，這時此式是以x為自變數的函式的解析式;而對於f(x+1)=3x2+2x+1，左端表示對x+1施加法則，右端是關於x的解析式，二者並不統一，這時此式既不是關於x的函式解析式，也不是關於x+1的函式解析式。
函式的定義域:
定義:
原象的集合A叫做函式y=f(x)的定義域，即自變數的允許值範圍。
當函式用解析式給出時，定義域就是使式子有意義的自變數的允許值的集合。
求定義域:
求定義域的三種基本方法:
一是依據函式解析式中所包含的運算(除法、開平方等)對自變數的制約要求，透過解不等式(組)求得定義域;
二是依據確定函式y=f(x)的對應法則f對作用物件的取值範圍的制約要求，透過解不等式(組)求得定義域;
三是根據問題的實際意義，規定自變數的取值範圍，求得定義域。
當函式由實際問題給出時，其定義域由實際問題確定。
函式的值域:
定義:
象的集合C(C B)叫做函式y=f(x)的值域，即函式值的變化範圍。
求值域的基本方法:
依據各類基本函式的值域，透過不等式的變換，確定函式值的取值範圍，在這一過程中，充分利用函式影象的直觀性，能有助於結論的得出和檢驗。從定義域出發，利用函式的單調性，是探求函式值域的通法