1.0屬於N.

2.若x屬於N,則x有且只有一個後繼x".

3.對任一個x屬於N,皆有x"不等於0.

4.對任意x,y屬於N,若x不等於y,則x"不等於y".

擴充套件資料：

皮亞諾公理定義：

目的是定義自然數集合，首先需要承認的是集合具有的一些運算性質，例如：a=b時a,b代表的是同一個元素。

皮亞諾的這五條公理用非形式化的方法敘述如下：

Ⅰ、0是自然數；

Ⅱ、每一個確定的自然數a，都具有確定的後繼數a" ，a"也是自然數（數a的後繼數a"就是緊接在這個數後面的整數（a+1）。例如：1"=2，2"=3等等。）；可是僅有這兩個公理還不夠完整地描述自然數，因為滿足這兩條的有可能不是自然數系統。

比如考慮由 0, 1 構成的數字系統，其中1的後繼為0。這不符合我們對於自然數系統的期望，因為它只包含有限個數。因此，我們要對自然數結構再做一下限制：

Ⅲ、0不是任何自然數的後繼數；但這裡面的漏洞防不勝防，此時仍不能排除如下的反例：數字系統 0, 1, 2, 3，其中3的後繼是3。看來，我們設定的公理還不夠嚴密，我們還得再加一條。

Ⅳ、不同的自然數有不同的後繼數，如果自然數b、c的後繼數都是自然數a，那麼b=c；最後，為了排除一些自然數中不應存在的數（如 0.3），同時也為了滿足一會兒制定運算規則的需要，我們加上最後一條公理。

Ⅴ設S⊆N，且滿足2個條件（i）0∈S；（ii）如果n∈S，那麼n"∈S。則S是包含全體自然數的集合，即S=N。(這條公理也叫歸納公理，保證了數學歸納法的正確性)

注：歸納公理可以用來證明0是唯一不是後繼數的自然數，因為令命題為“n=0或n為其它數的後繼數”，那麼滿足歸納公設的條件。若將只考慮正整數，則公理中的0要換成1，自然數要換成正整數。

對於一般人而言，無須證明1+1=2，自然數加減屬於公理，不需要證明。關於哥德巴赫猜想，要證明它是正確的，就得證明1+1=2，但到目前為止無人可以證明。

相同的問題和回答是已經挺多了，不過我還想加一個……用皮亞諾體系定義來說明自然是正確的，但是說一個東西“是這樣”並不能解釋“為什麼是這樣”，相信總會有人在心裡犯嘀咕。我想換一個思路，我們重新設計一次加法，然後說明為什麼我們設計的加法裡面，1+1必須是2

首先我們用皮亞諾公理定義自然數，具體內容不再複述，簡便起見自然數a的後繼用a"表示，不是任何數的後繼的自然數記為0，然後0" = 1, 1" = 2。

接下來，我們規定一個標準的序關係“≥”，它：

（自反性）對於任意自然數a，有a≥a（反對稱性）對於任意自然數a、b，如果a≥b且b≥a，則有a=b（傳遞性）對於任意自然數a、b、c，如果a≥b且b≥c，則有a≥c（自然序）對於任意自然數a，有a"≥a

可以證明這個序關係這和我們標準的大小順序是完全相同的，它是一個良序（任意兩個自然數都有確定的大小關係；任意非空子集有最小元）

接下來我們來設計一種二元運算“+”。為了讓它和我們認為的加法一樣，它必須有一些比較好的性質：

封閉性：對於任意的自然數a、b，a+b也是自然數交換律：a+b = b+a結合律：(a+b)+c = a+(b+c)逆運算：對於任意自然數a≥b，存在唯一的自然數c，使得b+c=a這其實是在說可以定義一種減法，它是加法的逆運算，任意一個比較大的自然數都可以減去一個較小的自然數，得到一個確定的自然數。也可以像群的定義一樣，透過補充定義負數，然後用零元和逆元來代替這條性質。序與加法：對於任意自然數a、b，有a+b≥a所謂加法，在自然數範圍內，自然是要越加越多的。

它們蘊含了以下的性質：（兩邊同時相減）如果自然數a+b=a+c，則b=c證明：記a+b=a+c=d，則有d≥a，由唯一性得到b=c

（零元）存在自然數e，使得對於任意自然數a，有a+e=a證明：首先因為a≥a，因此存在e[a]（e的取值和a有關），使得a + e[a] = a。其次，對於任意自然數a≥b，存在唯一的自然數c，使得a+c=b，因此有a + e[a] + c = b + e[b]，運用交換律、結合律得到(a + c) + e[a] = b + e[b]，運用上一條性質得到e[a] = e[b]，因此存在與a無關的e使得a+e=a

（零元與0）e=0

證明：因為a+e≥e，因此a≥e，因此e是所有自然數的最小元，也就是0

（保序性）對於任意自然數a、b、c，a≥b 等價於 a+c≥b+c

證明：

（充分性）由於a≥b，存在唯一的自然數d，使得b+d=a，因此a+c=b+d+c=(b+c)+d≥b+c

（必要性）由於a+c≥b+c，存在唯一的自然數f，使得b+c+f=a+c，因此(b+f)+c=a+c，運用兩邊同時相減得b+f=a，因此a≥b

（1+1） 1+1=2

證明：

因為2≥1，所以存在自然數c使得1+c=2，所以2≥c，根據零元性質有c≠0，c≠2，因此c=1，也就是1+1=2

（1+a）1+a=a"

證明：

運用數學歸納法

1) 對於a=0，命題成立

2) 如果命題對於a=n成立，當a=n"時，由於n""≥1，存在自然數c使得1+c=n""，所以n""≥c，根據零元性質c≠n""，所以n"≥c。由於1+c=n""≥n"=1+n，根據保序性有c≥n，又由於n"≠n""，所以c≠n，所以c=n"

根據1)2)由數學歸納法得證

(a+b") a"+b=(a+b)"

證明：a"+b = a+1+b = (a+b)+1 = (a+b)"

最後就得到了皮亞諾體系中定義的加法。可見，只要我們要求加法運算有足夠好的性質，它的定義方式就是唯一的，這也解釋了為什麼1+1=2

哥德巴赫猜想:對於任一偶數，必能找出一個質數加上另一個質數等於它。

欲證其不成立，則需找出至少一個偶數，對於該偶數，找不到一個質數加上另一質

數等於它。即排出第一個質數1、3、5、7、11…….均找不到第二個質數。眾所周知，偶數

=奇數+奇數，劃線處所說排出第一個質數，質數排列無規律可循，為觀察方便，改為排列