黎曼猜想是關於黎曼ζ函式ζ(s)的 零點分佈的猜想，由數學家 黎曼於1859年提出。 希爾伯特在第二屆 國際數學家大會上提出了20世紀數學家應當努力解決的23個數學問題，被認為是20世紀數學的 制高點，其中便包括黎曼假設。現今 克雷數學研究所懸賞的 世界七大數學難題中也包括黎曼猜想。

猜想內容：黎曼觀察到，素數的 頻率緊密相關於一個精心構造的所謂黎曼zeta函式ζ(s)的性態。黎曼假設斷言，方程ζ(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點已經對於開始的1,500,000,000個解驗證過。

據統計， 在今天的數學文獻中已經有一千條以上的數學命題是以黎曼猜想 (或其推廣形式) 的成立為前提的。 這表明黎曼猜想及其推廣形式一旦被證明， 對數學的影響將是十分巨大的， 所有那一千多條數學命題就全都可以榮升為定理； 反之， 如果黎曼猜想被推翻， 則那一千多條數學命題中也幾乎無可避免地會有一部分成為陪葬。 一個數學猜想與為數如此眾多的數學命題有著密切關聯， 這在數學中可以說是絕無僅有的。

黎曼猜想與數論中的素數分佈問題有著密切關係。 而數論是數學中一個極重要的傳統分支， 被德國數學家高斯稱為是 “數學的皇后”。 素數分佈問題則又是數論中極重要的傳統課題， 一向吸引著眾多數學家的興趣。 這種深植於傳統的 “高貴血統” 也在一定程度上增加了黎曼猜想在數學家們心中的地位和重要性。

9月24日，阿貝爾獎和菲爾茲獎雙料得主、89歲的著名英國數學家阿蒂亞爵士宣佈自己證明了黎曼猜想。但是當他面對全世界的媒體做了自己的報告後，40秒內竟無人提問，隨後數學界對阿蒂亞爵士的證明反饋支支吾吾，更有人直言阿蒂亞爵士可能真的老了。

不料， 一波未平一波又起，10月13日，北大數學系退休教授李忠在中科院做了有關黎曼猜想證明的報告，同行稱這一證明比阿蒂亞爵士要靠譜的多。

我們衷心的希望李忠教授的證明是正確的，那麼這樣他不僅將因此載入史冊，而且能拿到100萬美元的獎金。

黎曼猜想到底是什麼？為什麼有關黎曼猜想被證明的訊息會引發這麼大的影響？它為什麼值這麼多錢？今天就帶小夥伴們領略一下黎曼猜想的無窮魅力。

1859年，德國數學家黎曼當選為柏林科學院通訊院士，為了迴應這一榮譽，他向科學院提交了一份八頁紙的論文，題目是《論小於某值的素數個數》。

我們之前談到過，這個問題尤拉和高斯都研究過。尤拉的結論是小於數字x的素數個數大約可以表示為

而高斯提出的素數猜想（後來被證明為素數定理）的結論是

然而，儘管如此，人們對質數分佈的認識還不是完全清楚，黎曼希望從尤拉提出的尤拉連乘定理出發，將這個工作繼續下去。

尤拉曾經研究過一個函式

對於這個函式，在尤拉的時代，人們只能理解s是一個實數並且s>1的情況，因為只有在這種情況下它才有含義。到了黎曼的時代，他透過解析延拓的方法，將這個函式的定義域延拓到複平面內，就得到了黎曼函式：

這個函式就叫作黎曼ζ函式，它的定義域是s為不是1的全體複數。

還記得什麼是複數嗎？就好像一個實數對應了數軸上的一個點，一個複數就對應了複平面上的一個點。

比如圖中的這個點C， 對應的複數就是c=2+3i，其中2叫做實部，3叫做虛部，我們可以寫作Re(c)=2,Im(c)=3.

對於一個實數函式，由於自變數和函式值都是實數，我們就可以把自變數放在x軸上，把函式值放在y軸上，這樣透過對應關係畫出的曲線就是函式影象。

而黎曼ζ函式是一個關於複數的函式，自變數s和函式值ζ(s)都是複數，因此只有在4維平面上才能畫出它的影象。儘管我們不太方便畫出黎曼函式的影象，但是我們依然可以理解：黎曼ζ會把複平面中的一個點s透過函式的運算對應到複平面上的另一個點ζ(s)上，比如它的對應關係可能是這樣的：A點對應到B點，C點對應到D點，E點對應到F點…

黎曼提出這個函式之後，他思考了一個問題：如果這個函式的函式值等於零，那麼它的自變數是多少呢？即方程ζ(s)=0的根是多少？

很快，黎曼得出了一個結論：當s=-2、-4、-6、-8…，即負偶數時，這個函式的值是零，由於這些零點顯而易見，黎曼就稱這些零點為“平凡零點”。除此之外，黎曼發現這個函式還有其他的零點， 就稱為“非平凡零點”。

非平凡零點到底在哪裡？黎曼作為當時世界上最偉大的數學家，居然發現這個問題如此的複雜，以至於自己都無法準確的得出結論，因此他在沒有給出證明的情況下提出一個命題，這就是著名的黎曼猜想：

“所有非平凡零點都位於實部為1/2的直線上。”

也就是說，黎曼雖然不清楚零點到底在哪裡，但是他認為零點的可能位置只在一條直線上，這條直線透過實軸上1/2的點，並且與實軸垂直。這條線就叫做臨界線。

（零點可能的位置）

1900年，國際數學家大會在巴黎召開，以慶祝千禧年的到來。著名數學家希爾伯特發表了著名的演講《未來的數學問題》。

在這個演講中，希爾伯特列出了23個著名的數學猜想，這些猜想中有一部分至今還沒有人解決，其中就包括黎曼猜想。其實，黎曼猜想是位於第八個猜想的位置，是“素數問題”的一部分，包括“黎曼猜想”，“哥德巴赫猜想”和“孿生素數猜想。”相比來講，黎曼猜想遠遠沒有後面兩個猜想有名，這是因為黎曼猜想的表述過於複雜，而哥德巴赫猜想就很簡單：“任何一個大於等於4的偶數都可以分解為兩個素數的和”，孿生素數猜想更是如此：“存在無窮多對相差為2的素數”。

不過，黎曼猜想卻是當今世界上最終要的數學猜想，建立在黎曼猜想基礎上的數學結論有1000多個。如果黎曼猜想被證實， 數學界就可以舉杯慶祝，因為他們一生的工作沒有白費。如果黎曼猜想被證偽，那麼一定會有很多人不開心。就連希爾伯特都說：如果500年後我還能醒來， 那麼我第一個要問的問題就是：黎曼猜想被證實了嗎？

一百年後，又到千禧年，美國克雷數學研究所科學顧問委員會篩選了七個難題，並且為每個難題懸賞100萬美元。這七個問題分別是：NP完全問題、霍奇猜想、龐加萊猜想、黎曼猜想、楊-米爾斯存在性和質量缺口、納衛爾-斯托可方程、BSD猜想。在這七個問題中，只有龐加萊猜想被數學家佩雷爾曼解決，而包括黎曼猜想在內的其他猜想依然如巍峨的山峰聳立在科學家們面前，6個一百萬美元還在等著大家。

有人說：證明黎曼猜想可能是世界上最難的賺到100萬美元的方法了。

雖然黎曼猜想還沒有被證實，但是人們在研究的過程中已經取得了一些進展。

1896年，法國數學家阿達馬和比利時數學家普森證明了黎曼ζ函式的零點實部都在0到1之間，這使人們更加相信黎曼認為所有零點的實部都是1/2可能是正確的。兩人還順便證明了高斯提出的素數定理。

（阿達馬）

1903年，數學家格拉姆計算了15個黎曼函式的非平凡零點。由於黎曼函式的複雜性，每計算一個零點都非常困難。人們按照格拉姆的方法繼續計算，得到了138個非平凡零點，這些零點全部滿足黎曼的猜想。

可是之後，計算零點就遇到了困難。這時有一個非常重要的人物：西格爾出現了。

黎曼39歲的時候就去世了，他發表的論文都非常精煉，而演算的過程多數都沒有在論文中體現，而是寫在手稿中。黎曼粗心的管家在黎曼去世後，燒掉了大部分的手稿，只剩下少部分留給了黎曼的妻子，後來又被妻子捐贈給黎曼的朋友。

西格爾決心從黎曼的手稿中挖掘出黎曼猜想的證明方法。他在黎曼天書般的手稿中默默的探索著，終於，他在1932年發現了黎曼計算零點的方法，而這種方法比格拉姆的方法要快很多。為了表彰西格爾的貢獻，人們把這個公式稱為黎曼-西格爾公式。要是沒有西格爾，黎曼這個領先世界幾十年的演算法可能永無重見天日的那一天了。

人們按照黎曼-西格爾公式，繼續著零點的計算。恰好，這個時代有一項偉大的發明：計算機誕生了。

1936年，人們用海軍使用的打孔計算機計算黎曼ζ函式的零點，人們計算了1041個非平凡零點。1953年，計算機之父、英國計算機科學家圖靈用自己設計的計算機計算了1104個零點，原本圖靈有望獲得更大的突破，但是他因為同性戀被強行進行激素治療，在隨後的1954年，圖靈在痛苦中自殺了。

計算機的發展越來越迅速， 到1982年，人們已經用計算機計算了3億個非平凡零點，而且這些零點全部滿足黎曼的猜想：它們的實部都是1/2。

2000年，IBM實驗室的幾個科學家突發奇想：能不能讓全世界的計算機在空餘時間一起來計算李曼猜想呢？於是他們製作了ZetaGrid專案：世界上任何人都可以加入這個專案，透過網際網路下載一段程式碼，這段程式碼會在計算機空閒的時間計算黎曼函式的非平凡零點。雖然普通計算機計算能力比較差，但是由於數量眾多， 這個專案取得了豐碩的成果：從2001年開始到2004年，計算了一萬億個非平凡零點，這些零點依然都在黎曼預言的那條線上。2004年時，有數學家證明：前十萬億個零點都在臨界線上，這個專案的價值大打折扣，最後被默默關停了。

其實，歷史上有許多人宣佈證明了黎曼猜想。

第一個宣佈證明的人是荷蘭的數學家斯蒂爾切特。

1885年，斯蒂爾切特宣佈自己證明了黎曼猜想。但是他一直宣稱自己的證明還需要簡化而拒絕公佈細節。法國科學院為了鼓勵斯蒂爾切特公佈自己的證明過程，開展了一個為期五年的比賽，懸賞能夠證明或者部分證明黎曼猜想的人。直到比賽結束，斯蒂爾切特也沒有如人們預期那樣拿走大獎。人們多數認為斯蒂爾切特不是有意吹噓，就是犯了自己發現卻沒辦法彌補的錯誤。倒是阿達馬和普森，將黎曼猜想向前推進了一步，獲得了獎金。

另一個有趣的人是數學家哈代。

1930年的時候，數學家哈代在假期去丹麥探訪他的朋友哈那德·玻爾，也就是量子力學教父尼爾斯波爾的弟弟。在假期結束時匆忙往英國趕，卻發現海邊只剩下一艘小船。在夜晚乘坐一艘小船在大西洋上還是很危險的，有些人忙著向上帝禱告，但是哈代卻選擇寫了一張明信片給他的朋友，上面寫著：我已經證明了黎曼猜想。然後就安然坐船度過了海峽。

事後他對別人說：如果我的船傾覆了，別人就會認為我證明了黎曼猜想。上帝是不會把這份榮耀送給一個不信上帝的人的。也許他的真實想法是：如果一條命能換來黎曼猜想的榮耀，那也值了。事實上哈代對黎曼猜想有很大的貢獻：他證明了在臨界線上有無數多個非平凡零點。

2004年，普渡大學的數學家德布朗基在網際網路上公佈了一個124頁的論文，宣佈自己證明了黎曼猜想。然而數學界的反應很平淡，因為德布朗基經常使用一些別人看不懂的符號，而且在寫論文時經常粗心大意，犯各種錯誤。這篇論文也最終被人們證明是有漏洞的。

2018年，阿蒂亞爵士宣佈自己證明了黎曼猜想，在數學界引起軒然大波。這是因為阿蒂亞爵士與德布朗基不同，他是世界上最一流的數學家，尤其善於將各種數學理論引入物理學中，比如他把拓撲學引入到廣義相對論和量子力學中，促進了這些學科的發展。人們期待著阿蒂亞爵士能夠證明黎曼猜想，然而最終，結果還是令人失望。甚至有人說：如果這也算證明，那我早就證明了黎曼猜想。

黎曼猜想是一個富有傳奇色彩的猜想。

曾有人說過：如果證明了黎曼猜想就會不朽。這裡的不朽不只是指名垂青史，也有長生不老的意思。阿達馬和普森只是把黎曼猜想向前推進了一步，一個人活了98歲，一個人活了96歲。然而，如果有人敢否認黎曼猜想，他立刻就會死去。所以為什麼沒有人發論文證明黎曼猜想是錯的，就是因為他剛開始否認的時候就死掉了，沒有時間寫論文。

黎曼猜想已經經過了150多年，至今還沒有被證明，但是距離費馬大定理350年才被證明，黎曼猜想也許還有很長的路要走。我們希望這個偉大的猜想，能夠在我們有生之年被證明出來，那將是寫入教科書的一刻。

兩個無理數，比如根號二和根號三，有沒有可能存在部分欄位重合？兩位欄位重合似乎不成問題，三位、四位、五位似乎也行，六位呢？七位呢？最多可以有幾位重合呢？