你這段話，唯一錯的那句是“他們的乘積也應該是無限不迴圈小數”。

不是先有“根號”，再有無理數，而是因為在算2的平方根的時候，算出來一個無限不迴圈小數，我們為了表達起來方便，才發明“根號”這個符號，用√2表示2的平方根——一個無限不迴圈小數！

所以說，1.414......這個無限不迴圈小數不是從√2算來的，只是√2寫起來方便罷了。

數學就是這樣，邏輯上的先後對於理解很關鍵！

嚴格的等於2，這個是毋庸置疑的。首先要弄清楚一個概念：無理數是一個確定的數，而非一個不確定的數。一個確定的數經過數學運算，得到的數也是一個定數。

我們說無理數是因為它們無法用一個準確的數，或數字規律去表示它。勾股定理被證明是正確的。我們就可以用形去準確的表示根號2，它就是一個邊長為1的正方形的對角線的長度。這是一個準確的形體。

那是什麼造成我們無法準確的用一個定數去表示它呢？是因為我們數學上基本量綱造成的！如果我們不以1為數的基本量綱而以根號2為數的基本量綱，計數還是按照有理數的計數方式，那麼所有為根號2倍數的數都變成可以用準確的有理數計數方式表示出來的，因為這些數除以數的基本量綱根號2都是一個有理數！而我們通常的有理數除以根號2，這個重新規定的數的基本量綱根號2，卻無法用一個準確的有理數來表示了。

其實數的基本量綱的選取和計數方式，決定了誰是無理數，誰是有理數。我們通常預設的數的基本量綱就是1。而選取不同數的基本量綱和不同的計數方式，數的有理，無理就是相對的。

一定要清楚這一點，無理數是一個準確的數，是我們數的基本量綱和計數方式共同造成它是個無法準確的用一個數或準確的數字規律去表示它而已！

這樣的問題不要憋這麼長時間再問，當你有數理邏輯定義權了以後!你說等於幾就等於幾，這些已經不影響社會的文明進步了！弄點新題目，1+3等於幾的題目，也有時代意義哈！

√2= 1.4142135623731 ……

√2 是一個無理數，它不能表示成兩個整數之比，是一個看上去毫無規律的無限不迴圈小數。早在古希臘時代，人們就發現了這種奇怪的數，這推翻了古希臘數學中的基本假設，直接導致了第一次數學危機。

根號二一定是介於1與2之間的數。

然後再計算1.5的平方大小……也就是一個用二分法求方程x^2=2近似解的過程。

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現代，我們都習以為常地使用根號(如 等)，並感到它來既簡潔又方便。那麼，根號是怎樣產生和演變成這種樣子的呢?

古時候，埃及人用記號"┌"表示平方根。印度人在開平方時，在被開方數的前面寫上ka。阿拉伯人用 表示 。1840年前後，德國人用一個點"."來表示平方根，兩點".."表示4次方根，三個點"..."表示立方根，比如，.3、..3、...3就分別表示3的平方根、4次方根、立方根。到十六世紀初，可能是書寫快的緣故，小點上帶了一條細長的尾巴，變成" √￣"。

1525年，路多爾夫在他的代數著作中，首先採用了根號，比如他寫是2，是3，並用表示，但是這種寫法未得到普遍的認可與採納。

直到十七世紀，法國數學家笛卡爾(1596-1650年)第一個使用了現今用的根號"√"。在一本書中，笛卡爾寫道:"如果想求n的平方根，就寫作±√n，如果想求n的立方根，則寫作³√n。

原式=（根號2）^2

=根號4

=2

這個問題類似於

0.999999999......＝1

1/3＝0.33333......

1＝1/3×3＝0.999999......

√2的平方，包括±√2的平方均等於2。二個特定的相同的無理數的積，會變成一個整數(有理數)這無可置疑。拿1一10，十個自然數舉例，其中除√1、√4、√9三個數為整數外，其餘√2、√3、√5、√6、√7、√8、√10七個數均為無理數，但與同樣的那個數相乘後的積，均變成有理數了。世上只有相對，沒有絕對。在特定的條件下，兩個無理數相乘的積，也會變成有理數，如：√2x√2=2、√3×√3=3，這並不奇怪。

這與玻璃打碎並不矛盾。玻璃打碎是玻璃受外力後造成分子結構鏈斷裂，但只要把碎玻璃重新融化，按原來的工藝，仍能加工還原出與原來一樣的整塊玻璃。冰也是這樣，打碎後將碎冰塊化成水，讓水重新也能結成與原來一樣的一塊冰。

這個問題問得有意思，但你是否真的知道根號二是怎麼來的？為什麼不能嚴格等於二？

根號二的平方等於二，這是不需要證明就可以得到答案的，自己可以回去看看數學書就知道的，這是從根號的定義可以得到。這與它是否是無理數無關，你也不要扯什麼近似值進行計算，最後得到答案它應該是：“近似等於二而不是等於二”的結論。

你這根本就不是一個數學問題，而是一個哲學問題。如果是一個嚴格意義的數學問題，那麼根號2的平方肯定就等於二。你這個問題，是沒有搞清楚語言文字和客觀現實的區別。你所說的根號二，只存在於語言文字上。玻璃瓶子碎了，那是客觀現實。比如說，給你一個蘋果，設定它的單位是二。親愛的，你把它給我切個根號二出來吧。所以說，不能把語言文字和客觀現實混淆。

首先簡單來說，√2這個符號表示的就是平方之後等於2的那個數。不管它寫出來是啥樣，也不管它寫不寫得完，反正它表示的就是平方之後等於2的那個數，所以它平方之後一定嚴格等於2。(有點繞嘴，但事實就是這樣)

我覺得你的問題是1.414…的平方是否等於2，而不是√2的平方是否等於2。問題的關鍵在於，√2是否是就等於1.414…，而關於無理數，或者說無限不迴圈小數的定義，是一個非常複雜的問題。

現在通行的定義無理數的方法是戴德金分割法(Dedekind cut)。這個方法的定義非常複雜，包含的思想也極其深刻

這裡我不打算詳細介紹這個方法，如果介紹的話可能要寫好長好長，具體的話可以參考相應的教材。我在這裡只是寫一個比較簡單的版本：

首先，1.414…的平方，我們是無法算清的，因為它是一個無限不迴圈小數。但是1.4²，1.41²，1.414²，這些數都是很好算的，因為它們都是有限小數，平方很容易計算，所以我們的一個核心思想就是想用有限小數來逼近無限不迴圈小數。

首先來構造一個集合：由所有平方之後小於2的有理數構成的集合

這個集合顯然是有上界的，因為1.5就是它的一個上界，同樣1.6，1.7，2，3，4等等都是它的上界。可以想象它的上界有無數多個，那麼在這無數多個上界裡，就有一個最小的上界(這裡需要使用實數的完備性定理)。我們把這個最小的上界記為a，下面來說明，a其實就是√2，即a²=2。我們採用反證法：

於是我們就用一個符號√2來表示a，這樣便解答了你的問題。