不管從哪個為出發點，要一次無重複走完七座橋是沒有可能的。假如用點A表示小島，用點B，C，D分別表示河岸，用連線表示對應的橋樑，那末哥尼斯堡問題就被化成如圖能否一筆畫出的問題。這樣就比較簡易清楚。

顯然A，B，C，D四點都是奇點，因而此圖連線不能一筆畫出。也就是說，要想一次無重複地走遍七座橋是辦不到的。

當地的市民正從事一項非常有趣的消遣活動，在星期六作一次走過所有七座橋的散步，每座橋只能經過一次而且起點與終點必須是同一地點。

這項消遣活動被歸納成下面的問題提交到大數學家尤拉那裡。

問題：一個步行者怎樣才能不重複、不遺漏地一次走完七座橋，最後回到出發點。

736年29歲的歐拉向聖彼得堡科學院遞交了《哥尼斯堡的七座橋》的論文，將它轉化成一個幾何問題——一筆畫問題。尤拉不僅解決了這個問題，同時開創了數學的一個新的分支——圖論與幾何拓撲，也由此展開了數學史上的新曆程。

尤拉發現當地居民有一項消遣活動，就是試圖每座橋恰好走過一遍並回到原出發點，但從來沒人成功過。

尤拉證明了這種走法是不可能的。現在看來，尤拉的證明過程非常簡單，但他對七橋問題的抽象和論證思想，開創了一個新的學科：圖論(Graph)。如今，無論是數學、物理、化學、天文、地理、生物等基礎科學，還是資訊、交通、經濟乃至社會科學的眾多問題，都可以應用圖論方法予以解決。圖論還是計算機科學的資料結構和演算法中最重要的框架（沒有之一）。

首先能想到的證明方法是把走七座橋的走法都列出來，一個一個的試驗，但七座橋的所有走法共用7！＝5040種，逐一試驗將是很大的工作量。尤拉作為數學家，當然沒那樣想。尤拉把兩座島和河兩岸抽象成頂點，每一座橋抽象成連線頂點的一條邊，那麼哥尼斯堡的七座橋就抽象成下面的圖：

假設每座橋都恰好走過一次，那麼對於A、B、C、D四個頂點中的每一個頂點，需要從某條邊進入，同時從另一條邊離開。進入和離開頂點的次數是相同的，即每個頂點有多少條進入的邊，就有多少條出去的邊，也就是說，每個頂點相連的邊是成對出現的，即每個頂點的相連邊的數量必須是偶數。而上圖中A、C、D四個頂點的相連邊都是3，頂點D的相連邊為5，都為奇數。因此，這個圖無法從一個頂點出發，遍歷每條邊各一次。

簡單地說，連到一點的數目如是奇數條，就稱為奇點，如果是偶數條就稱為偶點，要想一筆畫成，必須中間點均是偶點，也就是有來路必有另一條去路，奇點只可能在兩端，因此任何圖能一筆畫成，奇點要麼沒有要麼在兩端。也就是說：沒有辦法不重複、不遺漏的一次走完七座橋。

對於一個給定的連通圖，如果存在兩個以上（不包括兩個）奇頂點，那麼滿足要求的路線便不存在了，且有n個奇頂點的圖至少需要n/2筆畫出。如果只有兩個奇頂點，則可從其中任何一地出發完成一筆畫。若所有點均為偶頂點，則從任何一點出發，所求的路線都能實現，他還說明了怎樣快速找到所要求的路線。

尤拉的這個考慮非常重要，也非常巧妙，它正表明了數學家處理實際問題的獨特之處——把一個實際問題抽象成合適的“數學模型”。尤拉就把七橋問題轉化把它轉化成一個幾何問題——一筆畫問題了。然後，七橋問題解決了，《哥尼斯堡的七座橋》的論文出來了。然後，一個新的數學分支——圖論與幾何拓撲開創了，數學史上的新曆程開始了。然後，靠我們了……，這裡的關鍵，是尤拉把每一塊陸地考慮成一個點，連線兩塊陸地的橋以線表示。

這裡，借用了圖學思維——圖形的簡化和數學思維——數學抽象。這並不需要運用多麼深奧的理論，但想到這一點，卻是解決難題的關鍵。什麼是“去粗取精、去偽成真”？這就是。什麼是“複雜事情簡單化”？這就是。這個案例，試圖去表述：如何將一個實際問題轉化成一個抽象問題。

演繹圖學思維簡化問題的步驟，而後上升到數學抽象，變成一個純數學問題的過程。

尤拉的證明與其說是數學證明，還不如看作是一個邏輯證明。一個曾難住那麼多人的問題，竟然是這樣一個簡單的出人意料的推理，還開創了一個新的學科。尤拉非常巧妙的把一個實際問題抽象成一個合適的數學模型，這種研究方法就是我們應該掌握的數學模型方法。這並不需要運用多麼深奧的理論，但能想到這一點，卻是解決問題的關鍵。

解決了這個簡單的七橋問題並沒有讓大數學家尤拉停止探索的腳步。他想要研究更加一般性的問題，也就是對任意一個圖形能否一筆畫把它畫出來。

結論是：

（1）如果圖形是連通的，並且頂點全部是偶頂點（即奇頂點的個數為0），那麼，可以一筆畫出圖形，且起點可以是圖形中任意一個頂點。（這時的一筆畫路徑是一條封閉的曲線，頂點位於這條閉曲線上。自然，從哪個點出發都是可以走回到起點的。）

（2）如果圖形是連通的且有兩個奇頂點，則可以一筆畫出圖形，起點是這兩個奇頂點中的任意一個，終點必定是另一個奇頂點。（從偶頂點出發是不能一筆畫出整個圖形的。）

（3）如果奇頂點的個數不止兩個，則我們不能一筆畫出整個圖形。（圖形中若有奇頂點，則它們一定是起點或終點。一個可以一筆畫出的圖形只能有一個起點和一個終點。所以，奇頂點不能超過兩個。我們這裡所說的不能畫出是絕對的不能，不用試。）

尤拉從七橋問題出發，完美解決了一筆畫問題。哪怕是比七橋問題複雜很多的由幾十座橋甚至上百座橋構成的河-橋體系中（也就是由幾十條甚至上百條弧線構成的圖形中），我們都能夠在不長的時間內（幾分鐘足矣）判斷出這個圖形能否一筆畫出。具體怎麼畫，尤拉認為不是什麼大問題。

透過思考實際問題和上述解決方案，我們觸及了圖理論的基本概念（節點，邊，有向，無向），避免了只有枯燥的理論。然而我們還未完全解決尤拉圖和上述問題。我們現在應該轉向圖的計算機表示，因為這對我們程式設計師來說是最重要的。透過在計算機程式中表示圖，我們能設計一個標記圖路徑的演算法，從而確定它是否是尤拉路徑。

現在大部分孩子在學習數學知識的時候，光顧著背公式記答案，完全沒有考慮到拋開數字本身看問題本質的重要性，導致數學這門課舉步維艱，心存怯意。數學是一門很好玩的課程，只要多問幾個為什麼，理解每一個原理和基礎知識的來龍去脈，學會從知識的關聯性上看問題，掌握數形結合，就一定可以在這門課上走得很遠。

數學與物理學有很大的不同，假如說物理學是學知識，那麼數學則是學思維。如果數學思維掌握了，數學就能很快打通全身經脈，實現自我執行。可惜現在的教育模式只是在亂貼膏藥，捨本逐末，把最不需要記憶或者背誦的課程硬生生地變成了語文課。中國奧數教父單墫教授曾在一本給初中生寫的書中說到：“學數學，不是為了當熟練的‘操作工’、‘模仿秀’，而是為了學會思考。大量重複的練習，不利於培養學習的興趣，甚至會弄壞了學習的‘胃口’。”

一、問題的提出

18世紀，北歐的哥尼斯堡城，普雷格爾河中間有兩個小島。人們在河兩岸兩個小島上，建了一個公園，並用七座橋，把兩岸和兩個小島連線起來。當時的市民們熱衷於一個遊戲：怎樣才能一次走遍這七座橋，且每座橋只能走過一次，最後又回到出發點。這就是歷史上有名的七橋問題。七橋問題看似簡單，但好多人都試過了，都沒有找到答案。

二、七橋問題的解答

七橋問題傳到彼得堡科學院，著名的數學家尤拉正在那裡工作，之前他因為工作過度勞累而右眼失明。他猜想也許不存在這種走法，尤拉為了證明自己猜想，首先考慮窮舉法，他仔細的把所有可能的走法列成表格，逐一檢查。他發現實在是太困難了，而且窮舉法不適用於橋更多時的情況。因此他放棄了窮舉法。

尤拉改變了他考慮問題的方法。從七橋問題僅僅涉及物體的位置關係，而與路程無關，這一特點出發，聯想到位置幾何學。尤拉用點A、D表示兩個小島，點B、C表示河的兩岸，再用連線兩點的線表示橋，由此得到了一個由四個點和七條線組成的圖形。在這裡，島的大小和橋墩的長短都是無關緊要的，這樣問題就轉化成為一筆畫問題。1736年尤拉在彼得堡科學院做了一做了科學報告，證明了自己的猜想，徹底解決了七橋問題。

三、一筆畫問題。

所謂一筆畫問題，是指什麼樣的圖形可以一筆畫成，筆不離紙，並且每條線只畫一次而不重複。請大家觀察下面的圖形。

這是四個字，在這裡，我們把它看成四個圖形。大家可以試驗幾次，只有“日”字是可以一筆畫出，其餘的幾個都不行。很顯然，像“呂”這種不連通的圖是不可能一筆畫成的。所謂連通的圖，就是這圖中任意兩個頂點，可以用圖中的一些線“連”連起來。但是連通的圖並非都能一筆畫。畫圖過程實際上是把點和線相隔的排成一串，即頂點——線——頂點——線、……頂點，除起點和終點以外，畫圖中，每一個頂點，如果有一條線進來，必定有一條線出去，每一點應當與偶數條線相連，我們稱這樣的點為偶點。如果起點與終點重合，則這一點也應是偶點。凡是能一筆畫成的圖形，其中奇點（即與奇數條線相連的頂點）個數不能多於兩個。

因此，如果一個由頂點和線組成的圖，滿足以下兩個條件。

那麼這個圖形可以一筆畫成，這個條件實際上是充分必要條件。以上結論是尤拉首先給出的，所以人們也稱之為尤拉路線或一筆畫定理。

有了這個定理，七橋問題就迎刃而解了，大家可以觀察發現，A、B、C、D四個點均為奇點。

四、進一步探討

由七橋問題引出的一筆畫問題，實際上是現代數學中的一個重要學科圖論，尤拉在解決問題中使用的思想方法，正是數學領域中拓撲變換的思想萌芽。

哥尼斯堡七橋問題：

為了解決這個問題，尤拉並沒有親自到哥尼斯堡去，而是運用他的智慧，把問題作抽象化、數學化的處理：

將兩岸和小島縮成一個點，將橋化為邊，兩個點之間有邊連線。

將問題轉化成一筆畫成幾何圖形問題。

依據：

如果從某一點出發，到某一點終止，全圖可以一筆畫出，那麼中間每經過一點，總有畫進那點去的一條線和從那點畫出來的一條線，所以除了起點和終點那兩個點以外，圖形中的每個點都應該和偶數條線相連。

然而：

現在圖形中有四個點都和奇數條線相連，其中B、C、D和三條線相連。

A和五條線相連。

這樣圖形當然不可能畫出！

簡單的說就是一筆畫的問題。大家可以下載一筆畫的小遊戲玩玩體會一下。

就是想一筆畫下來，就是奇數點不能超過兩個。

都是偶數點可以隨便畫，反正是能畫下來。

兩個奇數點，只能從奇數點到另一個奇數點。

只有一個奇數點的影象好像不存在吧。一個線段就是兩個奇數點。

這道哥尼斯堡七橋問題是18世紀著名古典數學問題之一，這七橋如果是在今天絕對是網紅，當時每天散步過橋已經成為當地市民非常熱門且有趣的一項消遣活動。但在相當長的時間裡，沒有人能解出來。

29歲的尤拉發表了《哥尼斯堡七橋》的論文，圓滿解決了這一問題，同時開創了數學新一分支---圖論。

尤拉巧妙的將過橋難題轉化等同為上面圖中的一筆畫問題，很快他就判斷出要一次不重複走遍哥尼斯堡的7座橋是不可能的。也就是說，多少年來，讓無數人燒腦、試圖發現的不重複的路線，根本就不存在。

一個號稱最燒腦且困擾無數人的難題，居然就是這樣的最簡單答案。

在論文中，尤拉將七橋問題抽象出來，得到歐拉回路關係：

要使得一個圖形可以一筆畫，必須滿足如下兩個條件：1. 圖形必須是連通的。2. 圖中的“奇點”個數是0或2。（連到一點的數目如是奇數條，就稱為奇點）

大道至簡，尤拉硬是天才地把一道著名古典數學難題簡化成一道小學生習題，並寫進了小學課本，叫做“七橋問題”。

七橋問題是圖論的第一個問題，但是圖論最著名、出成果最多的問題是四色問題：“是否只用四種顏色就能為所有地圖染色，使得任意兩個相鄰的區域不同色？”四色問題出人意料地異常困難。到目前為止，100多年過去了，還只能靠計算機驗證證明。

四色定理是第一個主要由計算機驗證成立的著名數學定理。

從小學生習題入門，到非常困難的四色問題，圖論發展迅速，應用廣泛，甚至成為計算機科學中最重要、最有趣的領域之一。

尤拉被普遍認為是圖論的創始人。

特別難得的是，在解決七橋問題的前一年，1735年，尤拉得過一次幾乎致命的發燒，隨後三年，他的右眼近乎失明，弗雷德裡克把他譽為“獨眼巨人”。

變身“獨眼巨人”後的尤拉依然是最勤奮的天才。

一塊陸地有奇數橋連出去，在不允許重複的條件下，那麼這塊陸地要麼是起點要麼是終點，而不可能是途徑點。因為途徑點一橋進一橋出，橋的數量必須是偶數。而“七橋問題”的四塊陸地的橋的數量全部是奇數，而起點和終點只能各有一個，所以然會多一座橋或少一座橋。

非標準答案是可以走遍，如果滿足以下條件之一

1，有一處河寬小於兩米或乘船過河

2，地球是圓的，從另一側走過來

以上答案純屬瞎編，

圖論說過不去就過不去吧

一個點連線的線條數為奇數，那麼這個點只能是起點或終點，如果是中間點，有來必有去，來多少次去多少次，連線的線數量一定是偶數，只有起點和終點，可以有去無來或者有來無去，一筆畫只能有一個起點和一個終點，所以奇點數只能是0個或2個才有解