三階幻方本質上只有一種。

這種填法最中心的數字一定是5。然後呢？在對角線或者反對角線上依次是4，5，6。

為什麼有的人會有不同的填寫方法，其實道理也很簡單，因為有對稱性。

一個九宮格，它填好數字以後，可以旋轉，也可以反射，在這些對稱性操作下，幻方看起來填寫方法變了，但實質上並沒有改變，在數學上，這叫做等價類。

當然，雖然3階幻方只有1種，但高階的幻方確實有不止一種的。

你可以在電腦上安裝一個matlab軟體，然後用magic（n）來顯示各階的幻方的填法。其中，n是自然數。

不過，你確實提出了一個有趣的問題，推廣一下是，給定一個自然數n，我們如何預測magic（n）到底有幾個，有沒有一個通項公式。

在組合數學中，我們已經知道幻方的演算法，但這些演算法只給出一些等價的填法。我不知道對於高階的幻方，我們是否可以有理論來預測不等價的幻方的個數。

幻方與群的乘法表有點像，在有限群的乘法表中，也存在類似的問題。比如四階的有限群就有2種：四階迴圈群以及klein群。而且，數學軟體mathematica裡有一個命令叫做finitegroupcount[]，可以計算出高階有限群的乘法表的個數。當然，它也無法給出通項公式。

總之，這部分數學是很有趣的，如果你對這個問題有興趣，可以繼續鑽研下去，最好是能解決這個問題，做成一個數學軟體，寫出它的演算法讓大家都來使用一下。

回答這個問題首先要明確一點，就是題主給出的這種由1、2、3、4、5、6、7、8、9九個連續自然數構成的幻方是基本幻方，在此基礎上還可以衍生出其他種滿足每行每列每條對角線上三個數字和相等的三階幻方。用1~9填出的三階基本幻方的所有情況都是相互映象或旋轉的，是本質相同的8種不同表現：

我們可以看到，以上8種三階幻方的中間數都是5，這個倒不難推斷出來，最基礎的方法是把加和等於15的情況列出來，可以得出8組結果：

1+5+9， 2+5+8

1+6+8， 2+4+9

2+6+7， 3+4+8

3+5+7， 4+5+6

不難發現，5出現了4次

2、4、6、8出現3次

1、3、7、9出現2次

那麼，根據九宮格佔位，只有5而且5只能出現在中心位置，而2、4、6、8出現在角上，1、3、7、9出現在外圍中間格。沒錯，方法就是這麼簡單方便實用～

幻方也叫縱橫圖，說到三階幻方了講一些有意思的故事吧。金庸小說《射鵰英雄傳》裡，黃蓉和靖哥哥在躲避裘千仞追捕的過程中，曾逃到瑛姑的地盤，遇到三階幻方的考驗，黃蓉一段口訣就把問題輕鬆解決了，什麼口訣呢？

九宮之義 法以靈龜

口訣裡的靈龜來自於《周易》中“洛書獻大禹”的故事。說當年大禹治水，焦頭爛額，靈龜出洛水，龜背上呈現一幅洛書。

洛書演變一下，就是三階幻方：

古代中國的數字神秘主義，還讓三階幻方的神奇體現在很多文物中。比如汝陰侯墓中出土的太乙九宮佔盤，仔細看看本質上都是三階幻方呀！

0.1234567890……0.2345678901……

0.3456789012……0.4567890123……0.5678901234……0.6789012345……0.7890123456……0.8901234567……0.9012345678……。怎樣求出10個分子和分母，用囗訣九九歸一豔陽天，陰陽生迴圈，退為母，進為子運算，10個分母乃是同一個，是81。10個分子是1、10、19、28、37、46、55、64、72.1、73。請愛好者不妨驗算一下。

9宮格算什麼，沒什麼難度。25宮格也就是半天時間就搞定，49宮格，81宮格，121宮格都可以填解出來，理論上奇數平方都是對稱的，都有解，但是隨著數字增大難度會倍翻而倍翻，到最後就會難得無法想象。