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我們知道,對函式f(x)於區間[a,b]上的定積分表達為：

b(上限)∫a（下限）f(x)dx

現在我們把積分割槽間的上限作為一個變數,這樣我們就定義了一個新的函式：

Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(x)dx

但是這裡x出現了兩種意義,一是表示積分上限,二是表示被積函式的自變數,但定積分中被積函式的自變數取一個定值是沒意義的.為了只表示積分上限的變動,我們把被積函式的自變數改成別的字母如t,這樣意義就非常清楚了：

Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt

接下來我們就來研究這個函式Φ(x）的性質：

1、定義函式Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt,則Φ’(x)=f(x).

證明：讓函式Φ(x)獲得增量Δx,則對應的函式增量

ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt

顯然,x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt

而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)•Δx(ξ在x與x+Δx之間,可由定積分中的中值定理推得,

也可自己畫個圖,幾何意義是非常清楚的.)

當Δx趨向於0也就是ΔΦ趨向於0時,ξ趨向於x,f(ξ)趨向於f(x),故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x)

可見這也是導數的定義,所以最後得出Φ’(x)=f(x).

2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a）,F（x）是f(x)的原函式.

證明：我們已證得Φ’(x)=f(x),故Φ(x）+C=F（x）

但Φ(a)=0（積分割槽間變為[a,a],故面積為0）,所以F（a）=C

於是有Φ(x）+F（a）=F（x）,當x=b時,Φ(b)=F（b)-F(a),

而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt,所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a)