無理數的認識是一個很長的過程，當n趨於正無窮大時，(1+1/n)^n就趨於一個確定的值，數學分析中採用夾逼的方法從兩頭去趨近發現它是一個確定的數，因此我們可以透過n的不同取值從而可以確定出小數點後面任意位數，運用現在的計算機是可以算出任意位數的，我讀過一本雜誌好像專門有一個數學研究機構算出了小數點後很多位

自然對數是以常數e為底數的對數，記作lnN（N>0）。在物理學，生物學等自然科學中有重要的意義，一般表示方法為lnx。數學中也常見以logx表示自然對數。

e是自然對數的底數，是一個無限不迴圈小數，其值是2.71828……，是這樣定義的：當n->∞時，(1+1/n)^n的極限。

注：x^y表示x的y次方。

隨著n的增大，底數越來越接近1，而指數趨向無窮大，那結果到底是趨向於1還是無窮大呢？其實，是趨向於2.71828……，不信你用計算器計算一下，分別取n=1,10,100,1000。

正態分佈的機率密度 ，其中a是正態分佈的平均值， 是標準差， 是方差。正態分佈用處太廣泛了，而且根據中心極限定理，任何大量的獨立變數之和都趨於正態分佈。這裡面e當仁不讓的佔據著核心地位。

除了數學領域，物理學領域也有大量的公式和定律中出現e。例如麥克斯韋速率分佈定律、氣體在重力場中的玻爾茲曼分佈、布朗運動規律、放射性元素衰變等等等等。

e是一個美妙而神奇的常數，而且是不容易被發現和認識到的常數。感謝歷史上諸多偉大的數學家，使我們瞭解了這樣一個神奇的常數，並且推動著科學不斷向前發展。

e是“指數”（exponential）的首字母，也是尤拉名字的首字母。和圓周率π及虛數單位i一樣，e有時被稱為自然常數（Natural constant），是一個約等2.71828182845904523536……的無理數。是超越數，也就是說，它們不能用整係數的代數方程求解得來．

第一次把e看成常數的是雅各布•伯努利，他開始嘗試計算lim（1+1/n） n 的值，1727年尤拉首次用小寫字母“e”表示這常數，此後遂成標準。

高中數學必修一對數與對數運算一節中，有以10為底的對數，即常用對數。教材中也指出，如果底數是以 e為底的對數，我們稱之為自然對數，並且自然對數的底e=2.71828……是一個無理數。除此之外，我們知道甚少，e似乎是來自純數學的一個問題。事實上，對於自然對數的底e是有其生活原型的。在歷史上，自然對數的底e與曾一個商人借錢的利息有關。

假如，某人把本金M元存入銀行，若年利率為r，那麼一年後利息就為rM．把利息併入本金，得本利和為M+rM=M（1+r）（元）.

如果以此作為新本金，再存入銀行，再過一年，本利和就成了

（1+r）M+r（1+r）M=（1+r）²M（元）.

依次類推，本金M元，年利率r, n年後本利和便為（1+r）ⁿM（元）.

這就是年複利問題．

如果不每年複利一次，而是每年複利k次，那麼n年後本利和變為

為增加本文的趣味性，將式子變為具體數值．

假如某個小朋友有1元錢（M=1）存入銀行，年利率為100%（r=1．通常年利率為5%～10%，本文做理論探討，假設了這樣一個特高的利率）.

若每年複利一次，到年終1元就變成了2元．

若半年複利一次，到年終1元就變成了

若每月複利一次，到年終為

若每天覆利一次，到年終為

若每小時複利一次，到年終為

若每分鐘複利一次，到年終為

即數學家尤拉把

極限記作e，e=2.71828…，即自然對數的底。 這個極限是高等數學中的重要極限之一．我們透過計算複利問題得出，當然可用於計算複利問題．

比如，本金M元，年利率r，每年複利k次，當k無限增大時，n年後的本利和，並不是無限增大，而是趨近於一個極限值，這個極限值就與e有關，即

e是一個無限不迴圈小數，可以用如下級數求其近似值：

取的位數越多，其精確程度越高．

e的影響力其實還不限於數學領域。大自然中太陽花的種子排列、鸚鵡螺殼上的花紋都呈現螺線的形狀，而螺線的方程式，是要用e來定義的。建構音階也要用到 e，而如果把一條鏈子兩端固定，鬆鬆垂下，它呈現的形狀若用數學式子表示的話，也需要用到e。氣壓公式（氣壓隨高度的不同而變化）；尤拉公式；物體冷卻的規律；放射性衰變和地球的年齡；計算火箭速度的齊奧爾科夫斯基公式等．這些與計算利率或者雙曲線面積八竿子打不著的問題，居然統統和e有關，豈不奇妙？