因果關係，必須一一對應，一個自變數必須對應一個因變數，也可以多個自變數對應同一個因變數，但是不存在一個自變數對應多個因變數的現象

函式問題一直是學生害怕，發愁的問題。看見函式題，同學們就會出現兩股戰戰，幾欲先走的局面。函式真的很難嗎？

人們在認識一件事物時，總遵循著由淺入深、由表及裡、螺旋式上升的認知過程。尤其對函式概念本質的理解與認知也在發展，所以數學概念的認識不可能一步就位，需要一個螺旋上升的曲折過程。函數里面的變數，為什麼會形成一一對應的關係，在函式認知發展歷程經歷300多年發展完善。

一、函式的變數形成一一對應的關係是函式發展中的需要

函式要描述一個什麼內容？概括性地講，函式要描述兩個變數之間的相互依賴、轉化的關係，這就是函式的本質。它是從常量數學邁進變數數學的標誌。

16世紀以前，數學研究的多為靜止不動的常量，稱為常量數學或者初等數學。16世紀，變數和函式概念產生標誌著數學從常量時代進入到變數時代。

函式概念在其產生後的200多年間經歷了五次大的演變，這裡面既有質的改變，也有形式內容上的完善，其中前幾次演變與微積分學有密切關係。

隨後微積分的發展促使函式概念用解析表示式（即聯絡兩個變數之間關係的數學算式）表示，這是函式概念的第一次重大演變。1694年，瑞士數學家約翰伯努利首先給出“解析式說函式概念”。約翰伯努利的學生、數學王子、瑞士數學家尤拉1748年在其著作《無窮小分析論》中對伯努利的定義作部分修正：一個變數的函式是由該變數和一些數或常量以任何一種方式構成的解析表示式。同時，尤拉發明利用英語單詞“function＂的首個字母f當作函式符號f(x）。

函式的解析式說定義在18世紀大部分時間佔有統治地位，它的優點是“解析式”是具體可以看到的東西，對幫助初學者理解函式概念是十分有益的。

1859年，我國著名數學家李善蘭在翻譯《代數學》一書時，首次將英文的“function”譯為“函式”。他認為，“凡式中含天，為天之函式。”（式子中有x，這個式子就是x的函式）。在我看來，李善蘭先生不直接用“含數”來表達，而是用了“函”，更多的是想體現函式中包含的“聯絡，關聯，隨之而變”的思想。

函式概念的第二次重大演變是用“運動與變化”的觀點給函式下定義。1８世紀中期，數學家們一直在爭論振動弦問題：“一根兩端固定的彈性弦被變形成某種初始形狀，然後被釋放出來振動。問題是描述確定某時刻弦形狀的函式。”這場辯論對函式概念的演變產生了重要的影響，出於刻畫弦形狀的函式的需要，數學家圍繞“如果兩個表示式在某個區間一致，那是否處處一致？”這一問題展開了爭論。

因此，數學家們開始意識到用“解析式”定義函式已經不夠完善了，於是1775年，尤拉在《微分基礎》中更新了函式定義：“如果某些量依賴於另一些量，當後面這些量變化時，前面這些變數也隨之變化，則前面的量稱為後面的量的函式。”函式的“變數依賴說”定義由此誕。

所以《高等數學》(同濟版,第七版)第1頁第一段話第二句：所謂函式關係就是變數之間的依賴關係，目的是為了突出函式的靈魂（“變化”）。

德國數學家狄利克雷在1837年給出“變數對應說”定義：“如果對於給定區間上的每個x的值，y總有完全確定的值與之對應，那麼y就叫做x的函式”。他進一步還指出，y依賴於x關係是否可用數學運算式來表達，無關緊要。1851年德國數學家黎曼把函式定義中的“完全確定的值”改為“唯一的一個值”。這是函式概念的第三次重大演變。

新課改之前，我國初中數學教材中函式的定義，實際上是尤拉的“變數依賴說”與黎曼的“變數對應說”的混合物。這種動態的描述性定義方式體現了原始粗略但生動直觀的一種動態文化內涵，其優點是把“變數”與“對應法則”巧妙地融合在一起這就是說，它既突出了函式的靈魂（“變化”），又強調了函式的本質（“對應關係”）。

函式的近代與傳統兩種定義方式決定的

目前我國高中數學教材中普遍使用它，表達為：設 A、B為兩個非空集合，如果按某個確定的對應關係，對於集合A中每一元素x，總有集合B中唯一確定的元素y與之對應，那麼這個對應關係叫做一個對映。當 A、B為非空數集時，這樣的對映就稱為函式。

利用集合之間的“對應關係”給函式下定義，擺脫了“變數”對函式概念的約束，使得函式概念的適用範圍更為廣泛。因此，是函式概念的第四次重大演變。

1939年法國的布林巴基學派對“關係”加以限制給出下述十分形式化、抽象化的函式定義：

設A與B是給定的數集， f是笛卡兒乘積集A×B(=｛（x,y)l x∈A，y∈B})的一個子集（也稱A與B的一個關係），如果對於任何x∈A，存在唯一的y∈B,使得（x，y）∈ f（等價於若（x,y), (x, z）∈f，則必有y＝ z），則稱 f是定義在A上、取值在B中的函式。

“集合關係說”是用集合論的語言，即對笛卡兒乘積集加以適當限制再對函式下定義，消除了“變數”“對應”等含義模糊的用語，因而是完全數學化的定義。

這種完全形式化的定義還便於為計算機所接受由此可見，這種高度統一、形式化函式定義，函式概念的第五次重大演變。

傳統定義：在一個變化過程中，假設有兩個變數x，y，如果對於任意一個x都有唯一確定的y與之對應，那麼就說y是x的函式，x為自變數，y為因變數，x的取值範圍叫做這個函式的定義域，相應的y的取值範圍叫做函式的值域。

現代定義：設A，B是兩個非空數集，如果存在一個確定對應法則f，能使得對於A中的任意一個x，在B中都有唯一確定的y與之對應，那麼就稱對映

f：A→B為從集合A到集合B的一個函式，集合A為函式的定義域，集合B為函式的值域。

你可以把函數理解成很多東西：你可以把它看作是一種變化過程、看作兩個量之間存在的關係等等。

結束語

今天我們在已知函式概念的前提下，應該能夠把他們還原到原始狀態。不僅侷限於數、值、點、圖形這些抽象數學物件的對應，不僅狹窄的將運算作為對應法則。應該有能力把一切相關聯事物作為象集、原象集，藉助客觀實物去理解函式。比如每個人的qq號碼作為原象，持有賬戶的關係作為對應法則，那麼象集“人”就與原象集“qq”號碼建立起了函式關係。此類關係在生活中不勝列舉，希望大家展開聯想，積極思考，這樣函式這一概念會在你的腦海裡越發的深刻。

一個有趣的例子是這樣的，將十朵花分別插入十個水瓶中，對一個3歲大的小女孩提問，花和瓶子哪個多？小女孩能回答出來一樣多；再將所有的花拿出來紮成一捆，問同樣的問題，小女孩就會說瓶子多。小女孩是純真的她所說的話正體現了人們對函式一一對應這一性質的最初認識。如果象在對應法則下都有唯一的原象並且原象集中的元素一個不剩的都對著象集中的元素。不就是花與瓶的關係嗎？我們對無窮多數集比較的問題不就解決了嗎？現在問你被2整除的數與被3整除的數哪個更多你一定不會象小女孩那樣說被3整除的數因為大所以多，他們可以建立一一對應關係，讓被2整除的數乘以2分之3就能與被3整除的數形成一一對應。

函式一一對應關係能解決直觀引起的誤區，並且具有反對應、可逆轉的功效。生活中人人都在用的身份證就是這個思想的產物。每個人都必須且只能有唯一一個身份證號，身份證號就和人建立起了一一對應，只要出示身份證就能表明你的身份。

總之，函式所體現的，就是兩件看似不相關的事件背後的關係。為什麼函式如此重要？其實仔細想想，世間萬物不也如此嗎？我們周圍的環境瞬息萬變，時刻都與其他的人、事、物產生關聯。原來，函式的本質與我們的生活息息相關。學習函式的有關知識，就是為了我們更好的解釋、分析甚至一定程度地預測世界。

參考文獻：

唐遠猷，函式、對映到底是什麼？

函式有一一對應的，有一對多的。所以不一定就必須一一對應。有單值函式和多值函式。

其次函式是對兩組(或以上)資料對映關係的描述。資料本身是一一對應的話，那麼函式的對映就是一一對應的。

二維座標下通常將一些函式影象旋轉到滿足一一對應(兩組資料空間調整)，使函式更好被人們研究。比如單調性質，最大，最小值等等。方便用數學工具進行操作。多值函式取部分曲線變為單值的道理與上述內容也差不多。

函式本身就是對兩組(也可以多組，即多元函式)資料的對映關係的極簡描述。描述內容類似一種規則，根據這個規則(或者叫一種約束)可以從已知自變數找到對應的因變數。

函數里面的變數並不是都是一一對應的。比如y=2X+3中，X與y是一一對應的，而y=X²+3中，X與y就不是一一對應的。只有嚴格單調函式才是一一對應的。

一一對應的關係，僅僅是函式關係的一種。二元函式關係是兩個數集之間的一種對應關係。其中的一個數集是自變數的取值範圍，稱為函式的定義域；當自變數遍取定義域中的值，所得函式值的集合，稱為是函式的值域。不同的自變數取值，可以對應相同的函式值；但不同的函式值必對應不同的自變數的取值。所謂一一對應關係，是指不同的自變數取值必對應不同的函式值。二元函式是一一對應關係的充要條件是該函式是定義域上的單調函式。

對映是指兩個集合（不再僅僅是數集）之間的一種對應關係，是函式關係的昇華版。

如果 f 是A到B的一個對映，那麼A稱為原像集，相當於函式的定義域；原像的對映稱為像，是B的一個元素；所有的像的集合V（相當於函式的值域）是集合B的一個子集。類似地，不同的原像可以對應同一個像；但是不同的像必對應不同的原像。

如果不同的原像對應不同的像，這樣的對映叫做單對映，簡稱單射；

如果V=B，這樣的對映叫做滿對映，簡稱滿射；

一個對映，既是單射又是滿射，它就必然是一一對應的，這樣的對映叫雙射，也叫一一對應關係，也叫滿單射。只有雙射，存在相對應的逆對映，所以雙射又可以叫可逆對映。