非常感謝題主提供的問題，湊個熱鬧。

嚴格說，物理學所有的基礎公式都是“湊”出來的。但是，此“湊”非彼“湊”。

這其中的原因就是科學的研究方法問題。我們先舉一個經典力學的粒子來說明這個“湊”的過程，再跟您一起來看看薛定諤方程是怎麼“湊”出來的。

牛頓第二定律的“湊”公式過程

定律的內容這裡就不贅述了，小夥伴們都瞭解，數學表達就是這個F=ma，這個公式。如果大家還記得我們中學時候那個小車在光滑木板上的實驗的話，就應該明白，這個公式其實是一個經驗公式。啥叫經驗公式，其實就是“湊”出來的公式。從實驗中發現規律，然後用數學公式表達出來。讓這個公式能對運動的過程進行精確的描述和預測。所以我們看到，其實物理學中很多最基本的公式都是這麼“湊”出來的。

薛定諤方程是怎麼“湊”出來的呢

在經典力學中，當質點在某一時刻的狀態為已知時，由質點的運動方程就可以求出以後任一時刻質點的狀態。在量子力學中情況也是這樣，當微觀粒子在某一時刻的狀態為已知時，以後時刻粒子所處的狀態也要由一個方程來決定。

所不同的是，在經典力學中，質點的狀態用質點的座標和速度來描寫,質點的運動方程就是我們所熟知的牛頓運動方程；而在量子力學中，微觀粒子的狀態則用波函式來描寫，決定粒子狀態變化的方程不再是牛頓運動方程，而是下面我們要建立的薛定諤方程。

由於我們要建立的是描寫波函式隨時間變化的方程，因此它必須是波函式應滿足的含有對時間微商的微分方程，此外，這個方程還應滿足下面兩個條件：

(1)方程是線性的，即如果Ψ1和Ψ2都是這方程的解，那末Ψ1和Ψ2的線性疊加aΨ1+bΨ2也是方程的解，這是因為根據疊加態原理，如果Ψ1和Ψ2都是粒子可能的狀態，那麼aΨ1+bΨ2也應是粒子可能的狀態；

(2)這個方程的係數不應包含狀態的參量，如動量、能量等，因為方程的係數如含有狀態的參量，則方程只能被粒子的部分狀態所滿足，而不能被各種可能的狀態所滿足。

現在來建立滿足上述條件的方程。採取的步驟是先對波函式已知的自由粒子得出這種方程，然後把它推廣到一般情況中去。自由粒子的波函式是平面波：

它是所要建立的方程的解。我們將這個式子對時間求偏微商，得到

但這還不是我們所要求的方程，因為它的係數中還含有能量E。再把自由粒子的平面波函式對座標球二次偏微商，得到

同理有

將以上三個式子相加，得

利用自由粒子的能量和動量的關係式：

式子中μ是粒子的質量。比較上面兩個式子，我們得到自由粒子波函式所滿足的微分方程：

它滿足前面所述的條件。兩個式子可以改寫為如下形式：

式子中的▽是劈型算符：

有上面兩個式子中可以看出，粒子的能量E和動量P各與下列作用在波函式上的算符相當：

這兩個算符依次稱為能量算符和動量算符。我們把自由粒子的能量和動量關係式兩邊乘以Ψ，再以上式子代入可以得到自由粒子波函式所滿足的方程。

現在利用粒子能量E和動量P與作用在波函式上的算符相當來建立在力場中粒子波函式所滿足的微分方程。設粒子在力場中的勢能為U（r）。在這情況下，粒子的能量和動量的關係式是

上式兩邊乘以波函式Ψ(r,t )，並以粒子能量E和動量P與作用在波函式上的算符相當來代入，我們就可以得到Ψ(r,t )所滿足的微分方程

這個方程稱為薛定諤波動方程，它描述的是粒子在勢場U（r）中狀態隨時間的變化。從上面的方程建立過程中我們可以發現，這個方程並不是從數學上推匯出來的。您如果認為這個過程是"湊"出來的當然也是沒有問題的。不過我們看到，這個“湊”的過程中，是符合經典物理的規律的，並不是無中生有，憑空想象的一個方程。

薛定諤方程堪稱量子力學裡面最最基本的公式之一了！其意義之於量子力學，就和牛頓公式之於經典力學一樣。那麼，薛定諤是如何推到出來薛定諤方程的呢？

有人說，薛定諤也就是運氣好，連蒙帶猜拼湊出來的。要不然，為何其在提出薛定諤方程之後，竟然不知道其千辛萬苦寫出來的波函式所具有的意義。還是在波爾等人的幫助下，薛定諤方程的釋義才正確了。真的是這樣嗎？

其實不然，薛定諤方程肯定不是薛定諤隨意拼湊出來的。科學是嚴謹的，特別是量子力學，當時很多人根本就無法理解量子力學。如果沒有極其深厚的底子，薛定諤絕對無法提出薛定諤方程。關於薛定諤方程如何被其推匯出來，歷史資歷並沒有留下太多痕跡。很多人也提出來幾種可能的推導過程，但似乎都是站在現代的知識體系下的猜測而已。我們只知道薛定諤是收到了德布羅意博士畢業論文關於德布羅意波的啟發，進而得到了波動方程。但真實的推導過程，已經遺失在歷史之中了。

但不管怎麼樣，薛定諤方程無疑是成功的。即便是薛定諤突發靈感，沒有推導直接寫了出來，那樣只能夠說薛定諤積累的夠深，夠天才。

我們都聽過薛定諤的貓，就是在一隻盒子裡放一隻貓和一個毒氣注射開關，那麼在盒子外面的我們是不知道盒子裡的貓到底有沒有觸碰開關然後死亡，所以這一隻貓對我們來說即是死的也是活的。

那薛定諤方程是什麼呢？前者是對微觀粒子運動的描述，後者是對微觀粒子運動位置的一個解。簡單通俗易懂的講。我們都是透過光對眼睛的刺激來感知外界的事物的，而光的最小單位是光子，在我們觀察微觀世界的微粒子時，是透過光子碰撞到微粒子來觀察的，而光子在碰撞到微粒子時就有可能改變微粒子的運動軌跡，使得我們無法正確的觀察到微粒子的位置，因此只能推測出一個範圍性位置。

薛定諤方程就是用來計算這個微粒子可能存在的位置範圍。薛定鱷方程的確是薛定諤拼湊出來的，薛定諤根據一些微觀粒子資料拼湊出來了這麼一個方程，當時薛定諤就陷入了一種比較尷尬的情況，因為他只知道這個方程是正確的，卻不知道這個方程為什麼是正確的。

這相當於做數學題只知道了答案卻不知道過程是怎樣的，於是在玻爾等眾多科學家的幫助下，才知道了薛定諤方程的原由。

薛定諤方程確實是量子力學（或者是整個物理學）裡面最奇怪的一個方程，所有的人都覺得它是量子力學的基石。可是，方程的創立者，或者推導者，卻到死都不認可現在大家都認可的波函式（機率波）是方程的解，甚至連疊加態都不認可，還弄出一個比主人更加出名的薛定諤的貓來諷刺。真不知道怎麼會有這樣的奇葩公案，薛定諤推導方程，當然未必就知道它的解是什麼，只要符合當時大家認可的物理定律就可以了，方程建立了，然後大家再去想辦法求解（一維情況下，其實很容易求解，即使三維的情況其實數學家們也早已弄清楚這個方程解的結構和特性）就是。量子力學不同，實際上在薛定諤推出方程以前，波函式概念已經有了，關鍵是薛定諤推出方程以後，玻爾他們就斷言波函式就是這個方程的解，實際上根本沒有人能夠證明，哪怕是用實驗來證明，因為根本就沒人知道機率性的波函式是什麼樣子。後來的人，或者教科書，為了自圓其說，只好說“波函式滿足薛定諤方程”是量子力學的一個基本假設。你說，方程的解不是解出來的，而是假設出來的，也難怪薛定諤沒法給波函式發“通行證”。當然，你這一假設，波函式的樣子就出來了，因為薛定諤方程的哪個解，其實已經比較清楚。但是，至少就邏輯而言，這很奇怪。

還有一個問題，從數學的角度看，薛定諤方程是拋物型偏微分方程（對時間變數t取一階偏導數），一般說來它的一般解表示為以e為底的指數型函式，是衰減性質的函式，不是波動函式，麥克斯韋方程才是雙曲型偏微分方程（對時間變數取二階偏導數），是數學上公認的波動方程，是描述波動的方程。薛定諤在他的方程裡莫明其妙的在係數裡面添加了一個虛數i（不知有什麼物理意義），這樣方程的解（指數函式）裡面就出現了虛數i，然後利用尤拉公式，勉強出現了表示波動性的正弦或餘弦函式，這樣的處理雖然很巧妙，但是實在很奇怪。說實在的，量子力學後來的許許多多的爭論，包括著名的愛因斯坦與玻爾的世紀之爭，在相當程度上就是因為量子力學很難說做到了數學意義上的完備性。直到今天，許多人孜孜以求的研究超弦理論，就物理的角度當然是為了統一理論，但是就數學而言確實是在追求量子力學和廣義相對論在數學意義上的完備性。

做為最基礎的公式，薛定諤方程必然是構造的。薛定諤方程的構造思路是:粒子具有波粒二象性，因此描述粒子行為的方程可以是波動方程，如何調和粒子與波動?使用德布羅意的物質波的概念。那麼如何確定方程是對的?薛定諤求得了氫原子的解，得到的能級與玻耳的氫原子模型是一致的。最困難的是薛定諤方程的解是什麼。這是由波恩解決的，他認為波函式表示機率密度。這就是目前量子力學裡面公認的哥本哈根解釋。

《宇宙物理體系》簡介: 它全文9萬字，歷時6年完工。它對舊物理基礎概念定義作了一次全面檢查維修及重建。它以尋找物質基本性質即物性為突破口重建物理學。它增加了若干新的基礎概念定義。它完成了對宇宙大自然最基本最重要最普遍物象進行逐一解釋，且邏輯自洽。