歐幾里德幾何中的第五公設(公理)，過直線外一點有且只有一條直線與它平行。在直覺上是完全正確的，但實事並非如此。

很多人說數學這門學科很枯燥無趣，認為那些搞數學的都有一個固執木訥的腦袋。造成這樣看似不太公平的印象還是有點依據的，在曉然菌看來，一個很重要的原因就是數學家太愛較真了，可謂是到了錙銖必較的地步。就像數學裡有些理論，明明都已經找到了無數驗證正確的數學現象，只是一時半會沒有找到理論證明，數學家就是不給這樣的數學猜想轉正，就是隻能被稱作猜想。

數學博大精深

這裡有許多看似簡單的理論，證明卻是很難。

哥德巴赫猜想

這個猜想是看起來最簡單不過了，“任何一個大於4的偶數都可以寫成兩個奇素數之和。”不出意外的話，你用超級計算機算到世界毀滅都不會遇到一個極其特殊的偶數，你只能寫成一個奇合數和一個奇素數之和，或者是隻能寫成兩個奇合數之和，就是不能寫成兩個奇素數之和，這看起來就是對的啊。

哥德巴赫

對於一個數學猜想解決它的根本道路是從理論上經過邏輯推理，透過推導得到最後成立與否的證明，凡是經歷過這樣的過程，才能把猜想轉正成定理。歷史上，在哥德巴赫猜想提出的幾百年裡，數學家們一直都沒放棄過理論上來解決它，尤其在20世紀前半葉，關於哥德巴赫猜想的突破幾乎是隔幾年來一次。在這裡中國解析數論學派取得了重大成就。王元，潘承洞，潘承彪，華羅庚，陳景潤都有相當大貢獻。

陳景潤

目前哥德巴赫猜想最好結果仍然是陳景潤在1973年給出的，陳景潤的最好結果是：一個充分大的偶數都可以寫成一個奇素數和不超過2個奇素數乘積的和，也就是“1+2”。但是猜想的終極目標卻是“1+1”啊。如今將近50年過去了，仍然沒有進展。人們都認為要有開天闢地的新方法才能解決這個難題了，交給下一個時代的數學家們吧。

哥德巴赫猜想看起來很簡單吧，但就是解不開。

3X+1問題

給你一個任意的整數，如果是偶數就除2，如果是奇數就乘3加1,然後如此迭代下去，最終一定會收斂到1。

第一次看到這個問題的同學一定會狐疑，真的嗎？我不信。不信，那你就試著算幾個唄，好像是真的哎，手算的太小，我用計算機來模擬。如果你的計算機算力足夠大，一直計算到100*2^50次方，你會驚奇地發現，這個好像真的是對的，沒有一個例外。

考拉茲猜想表述很簡單

這個猜想提出的時間不算太久，1937年才開始出現，德國數學家考拉茲發現的發現的。一經推出，立刻風靡世界，50年代的某段時間裡，整個耶魯大學幾乎每個人都在研究這個問題。然而，大部分的研究僅限於驗算。

3X+1問題計算過程極為動盪

這個小遊戲看起來太簡單了，理論上應該很好證吧，不好意思，70年來，無人能破，甚至找不到一個真正意義上的突破。前段時間，陶哲軒宣佈破解了在這個問題的一小部分，就讓很多人心裡激動了好久。

陶哲軒

然而，這個世界上最坦蕩的就是數學題了，不會就是不會，解不開就是解不開，任何偽裝都是徒勞的。

數學家 考拉茲

當然了，數學裡有太多這種看似簡單實則巨難的問題，只不過以我們普通人的水平都被這最淺顯的陳述所矇蔽了。陳景潤曾經說過：“一些想要在哥德巴赫問題研究上有所突破的同志們，必須至少要有數學研究生以上的水平，並且要持續至少要在數論領域深耕數年才有可能有所發現，不具備上述能力的同志們是不可能做出真正的成果的。”

在陳先生的這段話裡我們也認識到，數學可以很簡單，也可以很困難，唯一要保持的就是對於數學探索的信心以及敬畏之心。

畫地圖不論國家的國境線如何變化，只用4種顏色就夠了。這就是四色猜想。

這個數學問題（可描述為圖形邊界隨意變化只用1234這四個數字標註，相同數字不相鄰。）描述很簡單，文盲也能聽懂。但從1852年提出問題到現在，只是存在爭議的得到了證明。

1.任何實數，必然屬於下列三種情況之一:大於零，小於0，等於0

2.從天安門廣場開車到頤和園，必然要穿過三環。

一些自以為是的官科整天跟著愚蠢的“"專家”屁股後面胡說八道，哥德巴赫猜想至今沒有證明，目前人仍舊是陳景潤證明1+2保持著最好記錄。

果真如此嗎?你們知道什麼是哥德巴赫猜想的證明嗎?知道給出D(x)=F(x)就是證明了哥德巴赫猜想嗎?你們什麼也不懂，還是閉嘴吧。

一、等周定理：平面內，周長相等的圖形中，圓的面積最大。兩千多年前人們猜想這是對的，上個世紀剛剛完成嚴格證明，距今也就幾十年。

二、古希臘三大尺規不能問題，群論提出之前無法解決，群論提出之後這是個送分題。數學天才伽瓦羅提出群論，不過這二貨為了和軍官爭奪一個妓女的垂青，用槍決鬥被殺了。臨死前的一個晚上，寫了群論。

三、四色定理。這是一個依靠計算機採用窮舉法證明的定理。

四、費馬大定理。難倒尤拉，高斯一眾大神。也是上世紀剛剛被證明，距今幾十年。

暫時能想到的就這麼多，還有一些你能看懂的數學猜想，比如哥德巴赫猜想，孿生素數猜想等，至今未被證明。

Plateau"s problem（普拉託問題）

這個問題看上去非常簡單，就是問在邊界固定的情況下，什麼樣子的曲面面積最小。這在物理上是一個很顯然的問題。根據普拉託定律，你拿個鐵絲彎成邊界，然後吹肥皂泡就好了。但是這個在數學上來說，是一門學科，幾何測度論（ Geometric measure theory ）的核心問題。

為什麼說這個問題難呢？我們考慮一個簡單的情形，即在三維空間中邊界為圓弧的曲面。這個問題答案很顯然，就是圓盤。但是從數學角度而言，這個不簡單。

通常的想法就是，我們可以把曲面視為一個從二維圓盤到三維空間的對映，然後利用變分法去考慮這個問題。但是這個方法有著很多毛病，其中最大的問題就是缺乏緊性。我們不妨試著跟著這個思路走一下，看看會出怎樣的問題。

1. 遍歷所有可能的曲面，然後取一個面積趨近於最小（infimum）的序列；

2. 找出一個收斂子序列；

3. 證明極限就是我們想要的曲面，即最小曲面。

在這三步計劃中，第二步就會出現很大的問題。比如：

【我是一個有理想的曲面，我的目標是要成為極小曲面】

【嗯，我的面積縮小了。感覺好棒！】

【我的面積又縮小了。可是為什麼我感覺怪怪的呢……】

【啊……肯定有……有什麼不對……啊……怎麼回事……我的面積明明縮小了啊……為什麼……我感覺好奇怪啊……不行啊……為什麼會變得這麼奇怪呢……啊……】

【請紳士們嚴肅看待這些圖片，不要想歪了！也不要“我好興奮啊”！】

換句話說，即使是曲面的面積在趨近於，你所取得序列也可能長得非常奇怪，有很多很多的觸手（馬猴燒酒的好朋友），甚至於這些觸手可以觸及空間中所有的有理點。換句話說，你最後得到的東西的閉包是整個 .

看看，物理中多麼顯然的東西，在數學中就是這麼的讓人糾結。存在性就已經夠難了，更別說正則性（即最小曲面是否光滑等等）……這個問題直到20世紀中期才有解決方法。具體方法涉及專業知識較多，我自己也不是很熟悉，就不細說了。

其實這種問題很多。比如在給定條件（比如邊值）下的拉普拉斯方程

的解的問題。這個問題在物理上也是幾乎顯然的，因為電勢就是解。但是在數學上這個問題並不簡單，一般而言需要Sobolev空間等知識進行解決。

哥德巴赫猜想:1742年給尤拉的信中哥德巴赫提出了一個猜想:任一大於2的整數都可寫成三個質數之和，尤拉也在回信中表達了對於這個猜想的肯定，因現今數學界已經不使用"1也是素數"這個約定，原初猜想的現代陳述為:任一大於5的整數都可寫成三個質數之和。這就是典型的難證明問題，因為你隨便找出一個大於5的整數，它就一定能夠由三個質數想加的出，但是至今無人能夠證明出來，在這方面走的最遠的人應該就是中國著名數學家陳景潤先生了，陳景潤先生1973年發表了（1+2）的詳細證明，被公認為是對哥德巴赫猜想研究的重大貢獻，因此他也被稱為哥德巴赫猜想第一人。

2、一加一等於二:大家可能會覺得我在開玩笑，因為這是一個連小學生也天天拿來用的東西，怎麼會沒經過證明呢？在這裡我明確的告訴大家，一加一等於二僅僅是一個結論，而且是一個正確的結論，所以拿來用肯定是對的，但是數學界有很多的結論可以拿來用，卻沒有經過證明，一加一等於二就是被用最多的之一，迄今為止，全世界沒有人能夠證明得出一加一等於二，不過大家也不用懷疑什麼，因為這個結論肯定是對的，並且已經有數學家證明出了一家二等於三，這樣的話，離證出一加一等於二還會遠嗎？

總結:生活中其實有很多的小常識都是透過人們日常的經驗所總結和流傳下來的，但是要你解釋一下為什麼要這麼做，我想大機率是解釋不出來的，數學也是這樣，這可能也就是數學的魅力所在。

很多的數學定律已經深入人心了，比如證明三件行權等啊，還有那些互補角，

兩條直線平行啊，這都是我們生活中張口就來的，可是這就容易形成思維定式。就像我最討厭的老師說的話就是背過就行了。實在是理解不了的死記硬背就行。下面我們一一列出有哪些定力直覺上是對的，但是證明起來很困難。

兩條直線平行

這個定理使我們的小學老師跟我們說的，我依稀記得他當時講的時候還說了一個笑話，猴子最不喜歡哪種線你？答案是平行線。因為永遠沒有相交（香蕉），當時感覺很好玩，所以就記到了現在。還記得他當時說有一個科學家為了證明這個定理，一隻花了好長好長的線，這兩條線一直沒有相交。不過這個定理證明起來是真的很困難啊。難道要一直畫下去嗎？

得數是1的定理

對任意正整數n，如果n是偶數，那麼除以2，如果n是奇數，那麼乘以3再加1；對所得到的數重複上述步驟，那麼最後總能得到1。看起來再顯然不過了，而且貌似只要學過初等代數和初等數論就能證明，可是無數大牛數學家都在這個3x+1猜想上栽了跟頭。

很多的數學家都在研究這個定理，但是到最後誰也沒有研究出個所以然來。而且讓資料額家門開始懷疑人生了，到現在這個定理好像還是沒有解決啊。

還有很多奇葩的定理，我之前在一些雜誌上還看到了塗色的定理，有興趣的話可以去看看。

數學和我們的直覺在很多時候簡直就是相悖的！

這個定理的描述是這樣的：假如你去登山，假設上午8點從山腳出發，一路上飽覽風光，中午12點到達山頂，在山上玩樂過夜，第二天8點從山頂出發，原路返回，悠哉悠哉下山，中午12點恰好到達山腳。那麼，存在這樣一個有趣的現象：肯定在某個時刻，你在山上的位置和昨天在山上的位置是恰好一樣的。或者說，兩次到達山上某個地點的時間是相同的。第一次讀到這個數學定理的時候，大腦當時就宕機了，當然這可能和我的不怎麼太聰明的大腦有關。這個定理是荷蘭數學家布勞威爾在1912年給出的！大家能想明白這個數學定理嗎！？

花了好久的時間，才找到一點能理順的概念！但這牽扯到拓撲的概念，我講不清楚，我自己的數學還僅僅停留在高等微積分的階段。至於群論、拓撲、流形等已經很久之前就交還給大學的數學/物理老師了！於是在草紙上慢慢的推算，總算有點心得，當然只是驗證，不是證明！

能夠找到的比較學術化但卻簡單易懂的說法如下：把這個人兩天的行程重疊到一天去，換句話說想像有一個人8點從山腳出發，12點走到了山頂，而同一天還有另一個人8點從山頂出發，12點走到走到了山腳。這兩個人一定會在途中的某個地點相遇。這就說明了，這個人在兩天的同一時刻都經過了這裡。

真是頭大！當然這還不算是頭大的！畢竟，還能用一定的推理方法讓大家明白！那麼看看從這個簡單的定理推出的稍微複雜一些的另外兩個表述，當然維度增加，讓大腦更加的混沌了。

第一個：取兩張大小相同的紙，把其中一張紙揉成一團之後放在另一張紙上（不要出邊界），那麼，紙團上一定 存在一點，它正好位於下面那張紙的同一個點的正上方。

揉過的紙團

第二個：當你攪拌完咖啡後，一定能在咖啡中找到一個點，它在攪拌前後的位置相同。

攪拌後的咖啡

這簡直就不可能從自己的腦海中得到直觀的認識！再一次相信了，做數學的都是天才！而這個簡單的定理有一個非常響亮的名字：布勞威爾不動點定理（Brouwer fixed point theorem），並且基於這個定理，有多本厚厚的大部頭學術專著聞名於世！而且這個不動點定理在經濟學中也大放異彩，曾經從她推匯出的結果在1972年和1983年獲得過諾貝爾經濟學獎！

《不動點理論及應用》封面

數學，有時候，真的是讓普通人的直覺無所適從！能夠從事數學專業的，都是讓人膜拜的天才

直覺並不可靠，因此數學並不相信直覺。很多問題直覺上看起來很顯然。但數學上從來不把直覺作為依據，而是要深入地探尋證明的過程。如果最終不能得到證明，或者證明中得到相反的結論，數學是相信證明而排除直覺的。

這樣的例子有很多。歐幾裡得幾何中的平行線公理可以算一個代表。過直線外一點，可以做一條直線並且只能做一條直線與已知直線平行。這是很直觀的命題。但是深入地分析和思辨表明，問題遠不是如此簡單。直覺並不可靠。非歐幾何的引入是數學史上的一件大事。其起源就來自這個平行線公理。費爾瑪大定理是一個著名的例子。當年的費爾瑪發現了這個命題，看上去也沒有什麼費解的地方。並且滿懷信心地在書頁的空白處寫到，自己已經找到相關的證明。只是空白處地方太小，寫不下。事實是，歷經358年，經過一代又一代數學家的頑強拼搏，直到二十世紀，才完成了證明。此時此刻，費爾瑪大定理才真正成為一定定理在數學中確立自己的地位。

由於陳景潤的努力，哥德巴赫猜想在中國幾乎是家喻戶曉的。直觀地看也很簡單。問題在於，儘管人們可以一再地透過例項驗證，且每次驗證都是正確的，但還是不能確認哥德巴赫猜想的正確性。因為只需找到一次例外，它就不可能成立。到目前為止，既沒有找到例外，也沒有最終證明，它依舊是一個猜想。

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歐幾里得第五公設（給定一直線和直線外一點，過該點存在唯一一條直線與已知直線平行）

任何直線可無限（連續地）延伸

兩點之間存在（唯一的）直線段

給定任一點及任意半徑值可以有一個圓

三角形內角和為180度

所有的直角都相等

選擇公理

排中律

這個是我沒仔細審題，sry。

這裡有幾種情況：

有些數學命題直覺上是對的，實際也是對的，但證明很難。有些命題直覺上是對的，但證明起來很困難，最後被證實是錯的有些命題直覺上是錯的，但居然最後被證明是對的！實際上這種情況極多，也充分印證了數學不可相信直覺。

以下各舉一例吧，都是第一感，未必是最好的例子。

第1類，我首先想到的例子是"代數基本定理"：任意n次多項式方程，恰好有n個復根（含重根）。這個定理很好理解，似乎也很顯然，實際上很多早期數學家都默認了這個事實，比如尤拉就在很多證明中使用過。但事實上代數基本定理極其難證！第一個嚴肅思考並"大致"給出證明的人是數學王子高斯，但嚴格地說，證明不夠嚴謹，實際上，這個問題直到20世紀才透過現代拓撲學完整嚴謹的證明。

第2類，先映入腦海的是歐幾里得第五公設：過直線外一點有且僅有一條平行線。歐幾里得以後的幾何學家們大多認為這個命題應該可以被證明（非常符合直覺），所以應該是定理而非公理。但歷時兩千年沒等到證明，卻等到了相反的結論：高斯，羅巴切夫斯基，鮑耶等幾位數學家最終證明這個不可證明！因為完全可以拋棄這個命題建立新的幾何，也就是非歐幾何。實際上，從廣義相對論開始，人們逐漸發現非歐幾何是宇宙中無處不在的存在。

第3類，給我留下最深刻印象的問題無疑是taski-banach定理：一個實心球，可以被分割成多塊（實際最少5塊），僅透過剛體平移和旋轉（無拉伸），就可以重組成兩個和原來完全一樣的實心球！一個點都不差！這變一為二的操作簡直完全無法想象，但事實上這個可以證明確實是可行的！（基於集合論的選擇公理，群論的二階自由群等）

我試回答一下這個問題。複數域中的尤拉等式e(iπ) +1=0被認為是對的，證明也不困難，但是人們理解起來困難。人們給出了四五中方法證明這等式是正確的，但沒有看到這公式是怎麼構成的。美國數學家本傑明.皮爾斯說“這個公式是絕對正確的，也是絕對詭異的，我們能夠證明它，但不能理解它”。以色列學者伊萊.馬奧爾評論說，“很多人認為它具有不亞於神的力量”。百度一下可以知道，這個公式被稱為上帝公式。

其實，如同在實數域中對於三角函式cosx可看到cosπ=–1可得cosπ+1=0一樣，在複數域中觀察指數函式z(t)=e^(it) 就可以得e^(iπ) =-1，進而可得到e^(iπ) +1=0，我半月前寫了文章《掀開蒙在上帝公式e^(iπ) +1=0頭上的神秘面紗》發在《科普中國》上，也就幾百個字，全文見下面連結。

https://h5.kepuchina.cn/scientificwebsite/article?id=90890&member_id=CM202106280543372333&check_code=3b255803f690b2e09706446f3d1b76e7

對高中而已，立體幾何，每次都是由視覺效果而導致是正確的，但真正的證明起立體幾何模型。首頁，有這想象力和簡單做輔助線的能力。很多同學可以想到，但無法形容，充分說明動手能力比較差。第二，我們平時對生活中的幾何導致真正做題出現誤差，所以我們平時對數學思維能力訓練和想象要提升

剛學幾何時，人們根據自己的認知，那些簡單圖形的基本定理都是人類幾千年共認的公理、定理，感覺無需證明，比如平行線的一此性質與判定，垂線的性質等，它們的證明都不是直接證法，而是用反證法進行推定，證明方法詭異，學生是不容易接受與理解。

不過，我認為你提的問題很好，雖然我不懂，但有許多人很懂，他們能作出很好的回答。我很願意閱讀他們的文章，可以從他們的回答中學到一定的知識。

定理之所以稱之為定理，那肯定是能得到證明而且已經得到了證明的命題，定理的“定”就已揭示其本質屬性。

既沒得到證明又沒被推翻的命題不能稱之為定理而只能叫做猜想。著名的哥德巴赫猜想就是如此。

已被推翻的命題叫假命題。

總之，您的提問能激發一部分人對數學的學習興趣，作用是積極的，值得推崇。

證明定理，誠然在在都要根據。可是每見一定理，既追求它所本的前提，又問此前提所以成立的原因，如此往上追尋，那麼何時才可終止呢？事實上，希望每題都證，每證都根據已證的命題，猶之乎要想名名定義，一樣是辦不到的。因此就有必要採用一套基本命題，不加證明即作為一切定理的基礎，而不是再根究它的理由。這套不證明的基本命題，稱為公理。

選定元詞和公理之後，幾何的論證便有了明確的本源，此外再無需訴諸直覺或默契。這套選定的元詞和公理，彼此相輔而行，組成了所謂公理體系。公理體系乃是奠定本門科學的基石 基石既立，根本才稱穩固，那麼一部論證嚴格而且系統嚴明的幾何學便得由此建立起來了。

這裡我列舉幾個結論幾乎盡人皆知，但證明卻很困難的定理。

π是一個超越數。

超越數是指不能作為整係數多項式的根的實數。

證明需要用到一些較難的代數知識。

周長一定的平面封閉圖形中，圓的面積最大。

證明需要用到傅立葉變換。

尺規作圖不能三等分任意角。

證明需要用到域論和伽羅華理論。

三體問題不可解。

三體問題是指空間中給定三個質點，僅在相互引力作用下的運動問題。這個問題是沒有解析解的。

大家有沒有一種感覺？在數學領域，越是看似簡單的東西，越難以用平白的語言去解釋清楚。

我覺得世界上最難證明的數學定理，不是什麼高斯定理、傅立葉變換、極限定理等等聽起來高大上的公式定理，而是小學數學課本里出現的那一些東西。

拿個最簡單的說吧，1+1=2這是全世界公認的吧？你怎麼證明？還有1×1=1又該怎麼證明？

反正當我的外甥問我1+1為什麼等於2的時候，作為堂堂大學優秀畢業生的我，確實答不上來，答出來的東西也沒辦法讓他理解。

數學就是一個神奇的存在。它很重要，又很奇妙，和我們的生活息息相關。劉雪峰老師在《心中有數》一書裡說，

“很多數學概念的背後都閃耀著智慧的光芒，這些智慧能幫我們更好地看清這個紛繁複雜的社會，並能夠幫助我們在生活中做出更好的決策和行為。”

可是數學就是很難啊，有個笑話說得好，家人可能不要你，愛人可能背叛你，朋友可能離開你，但數學不會。因為數學不會就是不會。