關於超窮理論的內容，我分成上中下三部分，第一部分講“數學歷史"，第二部分將"無窮大基本概念",第三部分講“超窮理論”，喜歡的讀者朋友們，可以根據自己的喜好選擇其閱讀內容。

前一篇我們介紹了無窮大的基本概念，還引入一個工具叫“射映”。在這篇文章中，我們將利用這些簡單的概念，去了解超窮理論的精髓！

康托爾（Cantor，1845-1918，德國數學家）雖然遭到同行的擠壓，但他從未停止自己對數學和真理的追求！他在想，正整數集合和平方數集合可以一一對應，那麼他們的個數某種程度上應該是相等的。

康托爾把集合的個數稱作“基數”（有的也稱“勢”），有限集合基數叫做有窮基數，無限集合的基數叫做超窮基數。

另外，他把和自然數可以一一對應的所有集合叫做可數集合，可數集合的基數用b表示！（可數並不是說有限，實質上它的基數還是無窮）然後康托爾以此為基礎，創造了一系列關於基數的運演算法則。

然後他立馬遇到了第一個難題，有理數的基數能和自然數一一對應嗎？

有人可能會想，當然不可能！1到2之間就有無窮個有理數，他們怎麼可能一一對應！然而，在很多我們看起來挺合理的事，在數學領域就是反其道而行，康托爾那敏銳的洞察力，發現了有理數是可以和自然數一一對應，也就是說有理數是可數的！這就是著名的“康托爾對角線法則”：

康托爾對角線發展

按照圖紙箭頭走法，我們將“逐一”取遍所有正有理數（這裡我們無需弄複雜把負數拿出了，因為後面我們會知道：正有理數和有理數都是可數的），也就有理數是可以和自然數一一對應。

怎麼樣！這個結果你沒想到吧，第一次想到這個對應關係的絕對是天才！

好了，有理數的問題解決了，下一步，康托爾自然要去研究實數，那麼實數集是可數集合嗎？？？（注：這時候，第一次數學危機“無理數危機”持續了2000多年，剛於1872年被徹底解決）

第一次數學危機

這個問題確實不容易，康托爾試了各種辦法，都無法找到一種對應方式，把自然數射映到實數上，以他那非凡的天賦，他必定會想到：或許實數根本就是不可數的！

這就是康托爾超窮理論的第二個重大發現——實數集是不可數的！

不可數代表實數無法一一射映於自然數，實數集的基數用c表示，這個發現預言了無理數的存在，而且無理數遠遠要比有理數“稠密”！

這下可把數學界炸開了鍋，有接踵而至的表揚，也有狂風暴雨般的批判和攻擊，在1891年，康托爾又證明了超窮理論中一個重要定理——康托爾定理！

其內容意思是：所有集合的子集組成的集合，其基數（y）一定大於原集合的基數（x），並滿足y=2^x！

因為集合每個元素的子集就是對每個元素選擇留與不留，所以是已2為底。

這個定理非常強，小至空集，大致無窮基數的集合都成立，並從嚴格的數學邏輯推匯出：實數集的基數就是正整數集合的所有子集的基數，換句話說c=2^b（如果你還沒忘記b和c表示什麼的話），同樣我們可以得到“實數集合的所有子集集合”的基數比“實數集合”的基數大，一步步下去，我們就得到了不同的無窮基數d,e,f……

康托爾的可數集合和不可數集合基數的關係

對這些無窮基數，我們有另外的表示方式，叫阿列夫數，用符號 ℵ表示，也稱作集合的勢。

其中可數基數（b）叫做阿列夫零，記作ℵ₀；

下一個（c）叫ℵ₁ ；

再下一個（d）是ℵ2；

那麼根據康托爾定理就會有：ℵ₁=2^ℵ₀，ℵ2=2^ℵ₁……

阿列夫零

其中ℵ₁ 又稱連續統的勢，每個阿列夫數都對應於某個無窮大的勢，注意，前面我們說無窮大是不能比較大小的，所以我們換了個概念——“勢”，換句話說，其實就是無窮大是有區別的，但是理解起來並不容易。

超窮理論裡面，有個很大的問題，就是ℵ₀和ℵ₁ 之間有其他的阿列夫數嗎？康托爾覺得是沒有的，這叫“連續統假設”，希爾伯特把這個問題作為他的二十三數學難題之首，排在了黎曼猜想和哥德巴赫猜想之前，足以看出其重要性和難度之大，不過後來數學家證明，這個假設是“不可判定的”，也就是說不能在其體系內證明也不能證偽，尤如歐式幾何的第五公設的情況一樣，那裡會是另外一片數學領域。

第五公設

對於無窮大的處理，自從康托爾提出超窮理論後不再神秘，尤其是在物理學中，也出現了很多無窮大，這對物理學家來說簡直就是噩夢，歷經多年後，物理學家從找到了處理無窮大的辦法——重整化，比如前面我提到的級數1+2+3+4+……-1/12出現在弦理論中，就是利用了重整化的思想。

全體自然數之和

對於無窮大，數學家希爾伯特曾經提出一個經典的例子，叫希爾伯特旅館：

我們設想有一家旅館，內設有限個房間，而所有的房間都已客滿。這時來了一位新客想訂個房間，“對不起”，旅館主人說，“所有的房間都住滿了。”

希爾伯特旅館

現在再設想另一家旅館，內設無限個房間，所有的房間也都滿了。

第一天：來了一位新客，想訂個房間。“不成問題！”旅館主人說。接著他就把1號房間的旅客移到2號房間，2號房間的旅客移到3號房間，3號房間的旅客移到4號房間等等，這樣繼續移下去。這樣一來，新客就被安排住進了已被騰空的1號房間。

第二天：又來了無窮多位要求訂房間的客人。“好的，先生們，請等一會兒。”旅館主人說。

於是他把1號房間的旅客移到2號房間，2號房間的旅客移到4號房間，3號房間的旅客移到6號房間，如此等等，這樣繼續下去。現在，所有的單號房間都騰出來了，新來的無窮多位客人也都可以住進去，問題解決了！

第三天：又來了無窮多個旅行團，每個旅行團有無窮多個旅客，只見這個老闆不慌不忙，讓原來的旅客1號房間客人搬到2號，2號房間客人搬到4號……，k號房間客人搬到2k號。這樣，1號，3號，5號……所有奇數房間就都空出來了，然後：

讓1號旅行團到3號，3*2號，3*3號，3*4號，…，3k號。

讓2號旅行團到5號，5*2號，5*3號，5*4號，…，5k號。

讓3號旅行團到7號，7*2號，7*3號，7*4號，…，7k號。

讓4號旅行團到11號，11*2號，11*3號，11*4號，…，11k號。

將所有奇素數排成一列，也是一個可列無窮集合，然後讓

1號旅行團到第1個素數的k次冪房間；

2號旅行團到第2個素數的k次冪房間；

3號旅行團到第3個素數的k次冪房間…這樣不僅安排下了所有旅客，而且空出了1，15，21，33，35……這些不能表示為奇素數的k次冪的房間。

第四天：所有入駐的客人，每個客人都來了無數個親戚，請問：旅客老闆還有辦法把這些客人的所有親戚安排到旅館中嗎？

這個問題，就留給讀者朋友們思考吧！如果你理解了超窮理論的概念，那麼這個問題就很容易回答了！

（待完）

數學能否超越已知？這個問題要得到圓滿答覆，無需引經據典，首先需明白它是否是一個獨立存在的事物實體。是體還是用？是因還是果？

本人認為數字不是時空存在的主體事物，只是事物存在的效能屬象表現而已，本於各種事物運動“性象”而存在，不具備單獨存在事物體的效能，是各種事物運動的“性象”之果，而不是因。

常識告訴我們，數字產生於人們對時空運動一切事物存在印象“量”的判定，是大自然所有事物運動軌跡效能象的體現。當一事物出現的時候，人們首先關注的是切身事物的表現“量”效能態，不同象的事物會產生不同的表現量，數字只是體現證明了不同象事物的效能狀態，而非數字決定事物的特性。如一列火車可以載客2000人，而一架飛機只能載客200人。再如一個有技術的人可以做完幾個無技術人同一時間內所作的工作。這裡同樣是一個“1”數，我們發現卻因為不同的事物產生了不同結果，體現了該事物的效能形象。這就是說明了不同象的事物形象會產生不同的結果效能，從而體現為數字。就好比是一輛汽車效能的好壞決定的是它的主體發動機是什麼樣子（象）的，而不是它的配件輪子。輪子好比是數，無論它是什麼好壞效能的，都改變不了汽車行駛質量的好壞。只有發動機主體的好壞，才能決定輪子的轉速，沒有發動機的存在，輪子和數字一樣只能是一個虛在的表現，也就是不具備存在的意義！

由此看來決定時空一切事物運動的好壞現象，只能存在於事物的內在本體象，數字只能是其內在“性象”的外在表現，如影隨形，根於物，從屬於物象。抽象形成數，否則數字只能是一種虛無的概念印象罷了！好比是人的名字有許許多多，但是沒有一個實在的人去用它來確定為自己的身份，那麼也同樣是一個虛在的概念名詞罷了！

有感於斯，我們似乎明白了民族傳統文化《易經》象數理論存在的意義和必然性。它不僅僅是一種文明的象徵標誌，更主要的是無形中為我們提供了一種以宏觀整體形象思維認識事物的方式，告訴了我們事物象與數之間自然存在的樸素關係：氣生象，形成數，物是數之本。

易經用象徵的方式把時空存在的無數種事物運動軌跡象都納入了64卦象數範圍之內中，表明你數字無輪有多少都在這一太極物象之中，所有的數字你只能在物象中去發現，而不能超越已知的物去成為一個虛無縹緲的概念數字而存在！那種認為有了許多數學知識就可以認識，把握時空一切事物運動規律的想法，無異於白日做夢，自欺欺人！

一句話，氣生象，凝聚成物，形成數。數為物“性象”的表現，是物的運動軌跡，是物的附庸存在，故數永遠不會反客為主而超越已知的！數的生命是紮根於物質的！