所謂一個集合 X 中的元素可以比較大小，就是在這個集合 X 中 建立一種 全序關係 ≤，它滿足：

自反性，即，對於任意 x ∈ X 都有 x ≤ x;

反對稱性，即，對於任意 x, y ∈ X，如果 x ≤ y 並且 y ≤ x，則 x = y；

傳遞性，即，對於任意 x, y, z ∈ X，如果 x ≤ y 並且 y ≤ z，則 x ≤ z；

任意可比性，即，對於任意 x, y ∈ X，總有 x ≤ y 或 y ≤ x 成立；

將全體實數記為 R，不難驗證 R 就具有 上面的全序關係。

將全體複數記為 C ，任意複數 a + ib 的實部 a 和虛部 b 組成 一個 實數序對 (a, b)，全體 實數序對 組成了 複數集合，即，

C = {(a, b) | a, b ∈ R}

我們，可以對 複數 C 定義如下字典序：

對於任意 a + ib, c + id ∈ C，令 (a, b) ≤ (c, d) 當且僅當 a < c 或 (a = c 並且 b ≤ d)

注：將 a ≤ c 並且 a ≠ c 記為 a < c。

可以驗證 這個 字典序 是 全序關係。

這樣以來，不管 兩個複數的是否虛部相等，它們都可以用字典型比較大小。

但是，上面這樣的比較大小，對於複數來說是有問題的！為什麼呢？

因為， 實數 和 複數 不僅僅是 集合，它們 還是 定義了 加法 和 乘法運算的 代數系統，數學上稱為 域。這就要求 全序關係 和 運算 之間 具有混合性質。

實數 R 就具有這樣的 混合性質，（對於任意 x, y, z ∈ R ）：

加法保序性（平移性），即，如果 x < y 則 x + z < y + z；

乘法保序性，即，如果 x < y 並且 0 < z 則 xz < yz；

我們，可以證明 無論如何 定義 複數 的全序關係，都會在上面的 兩個保序性下產生矛盾：

假設，可以在複數 C 中定義某個全序關係，現在 考慮 0 和 i 之間的大小比較。

首先， 因為 0 ≠ i，所以只能 是 0 < i 或 i < 0。

如果是 0 < i，則 根據 乘法保序性 得到 0 ⋅ i < i ⋅ i ，再由 虛單位定義 i² = -1，得到 0 < -1 ，矛盾；

因此 只能是 i < 0，不等式兩邊，同時加上 -i，根據 加法保序性 有，

i + (-i) < 0 + (-i)

0 < -i

於是，根據 乘法保序性 得到：

0 ⋅ (-i) < (-i) ⋅ (-i)

0 < (-i)²

0 < i²

0 < -1

矛盾；

綜上，就證明了 0 和 i 之間，無法比較大小，這樣 就不滿足 全序關係 的 任意可比性，因此 假設 不成立，故，不可以在複數 C 中定義全序關係（以相容 R 的保序性） 。

結論：複數不能比較大小！

其實，從幾何角度也很好理解。在解析幾何中：

實數 R 對應 數軸，對於 每個 實數 x，x 就是 數軸上 該實數對應點的座標；

實數 C 對應 複平面，對於 每個 複數 a + ib， (a, b) 就是 複平面 中 該複數對應點的座標。

因為 所有 實數 都在 一根 數軸上，所以 對於 一根 數軸上 的 任意 兩點： 左，右，我們 可以很方便的 讓 左邊的 小於 右邊的，即，左 < 右：

而，複平面上的 點 不再一根 數軸上，因此 就沒有了實數那樣天然的優勢了！

另外，對於 圖中 兩個 (左，上) 和 (右，下) 來說，

如果 以 實軸 為準，應該 是： (左，上) < (右，下)，

如果 以 虛軸 為準，應該 是：(右，下) < (左，上)，

不一致！

因此，我們無法用複數的同一大小規則，同時 讓 實軸 和 虛軸 兩個根數軸上 同一個實數大小規則保持一致。

另一個看法是，雖然可以透過點距離原點的遠近來比較大小，但是：

實數軸上的任意兩個 點 離開 原點的 方向 只有兩個，因此 對於與 原點 同一距離 的 兩個相反方向 點，可以用 負 < 正 來大小區分，這沒有問題；

而 複平面，上 從 原點 出發 可以有 無數個 方向，於是 和 原點等距 的點 有 無數個，根本無法用有限的 代數手段進行大小區分。

補充 1：

利用保序性，有如下推論：

如果 x < y 並且 z < 0 則 yz < xz

證明：

有，

z < 0

z - z < 0 - z

0 < -z

根據 乘法保序性，得到，

-xz < -yz

進而，不等式兩邊 同時加上 xz + yz ，有，

xz - xz + yz < xz + yz - yz

0 + yz < xz + 0

yz < xz

得證。

補充 2：

複數 C 除了不能 如同 R 那樣 比較大小外，另一個 與 R 的區別是：根式運算的結果 不唯一。

在 複數 C 中，對於任意 z ∈ C，根式運算定義為：

ⁿ√z = {w ∈ C | wⁿ = z}

是一個多值集合。

在 實數 R 中，對於任意 x ∈ R，根式運算定義為：

ⁿ√x = v，v 為非負實數 並且 vⁿ = x 或 v 不存在

如果有，是一個單值實數。

答：複數無法比較大小，這是因為我們無法把複數定義為一個自洽的有序域，使得它在加法和乘法上相容。

實數是可以比較大小的，但是學過複數的人會發現，對於兩個複數我們無法比較大小，甚至我們不知道虛數單位“i”和“0”哪個大。

一個數域中的任何兩個數要比較大小，首先這個數域得是有序域，也就是我們能建立一套法則，使得數域內的所有數，形成一個有序關係，並在加法和乘法上相容。

在數學上，對於一個數域Q，如果我們能定義一種全序關係使得Q為有序域，那麼必定滿足下面兩個條件（a、b、c屬於Q）：

條件一：當a>b時，有a+c>b+c；

條件二：當a>b且c>0時，有ac>bc；

對於整數域、實數域來說，這兩個條件顯然是滿足的，所以整數和實數都是有序域，它們之中的任意兩個元素都可以比較大小。

複數是實數的擴充，並且引入了虛數單位“i”，我們可以把複數域看作二維數，但是無論我們如何定義，都無法使複數滿足有序域的兩個條件。

全序關係要求數域中任何兩個元素都可以比較，我們就以虛數單位“i”為例，必定滿足i>0、i<0或者i=0中的任意一個。

（1）假設i>0

根據條件二，我們令a=i，b=0，則有：

i*i>0*i

也就是-1>0矛盾

(2)假設i<0

說明i為負元，於是-i就是正元，有-i>0，同樣根據條件二，則有：

(-i)*(-i)>0*(-i)

也就是-1>0矛盾

(3)假設i=0

那就沒得玩了！

我們連虛數單位“i”和“0”的大小都無法比較，那麼更不用談複數之間的比較了。但是每個複數都對應一個模，模屬於實數，所以複數的模可以比較大小，複數模的幾何意義為複數到原點的距離。

從幾何上我們可以理解為，所有實數可以從左到右依次進行排列，因為實數是一維的；但是二維複數無法進行依次排列， 因為二維數的複雜程度本就高於一維數，我們無法在一維當中把二維元素一一排列出來。

複數的意義要搞明白，複數從某種意義上講是表示一個點在複平面的位置，它不像實數一樣，它是二維的，實數在直線上，是一維的，所以複數沒有大小之說。

你是一個愛思考的人、愛較真的人，這其實很好。大致看了一下那些回答，大多都是好為人師的半吊子——鸚鵡學舌地重複高中教材上的教條！根本解決不了你心中的疑惑。首先，複數其實也可以比“大小”——所謂比“大小”，就是能建立序關係——即給兩個複數排序！比如，對於複數，可以定義一種“字典序”——設有複數z1=a+bi，z2=c+di，規定：若a>c，則稱z1>z2;不然，若a=c，但若b>d,則稱z1>z2。反過來可以定義“<”。只是，這時的“大”和“小”，不再是我們生活中的那種直觀的“大”和“小”——其實，生活中的“大小”概念，就是實數域上的一種“序關係”。還有其它方式定義複數域內的序關係——比如，按實部和虛部各自分別比大小，若複數z1的實部和虛部均對應地大於複數z2的實部和虛部，就說z1>z2——這樣定義的序關係，不是任意兩個複數都有這種關係，這在數學上叫“偏序關係”。打個比方，兩個同學A和B，A的數學、語文都比B好，那我們自然可以說A的學習比B好，這時我們就說A和B之間存在這種偏序關係。但若A的語文好，而B的數學好，這時我們就不好說誰比誰的學習好了，這時，我們說A和B之間不存在這種偏序關係。