我認為這個問題沒那麼簡單，如果是圓周率的有限位，比如3.14，化成分數為314/100，那麼(-2)^3.14=(-2)^(314/100)，其結果是正數開偶次方，必然是實數。再比如(-2)^3.141=(-2)^(3141/1000)，其結果是負數開偶次方，為虛數。 問題是，π是無限不迴圈的無理數，搞不清楚是負數開偶次方呢還是正數開偶次方呢。 所以，我認為(-2)^π是虛數還是實數是“無法確定的”。

(-2)^π ≈ -7.96618 -3.7974 i，是一個複數。

這個圖片，是(-2)^x在複平面上的影象。橫軸為實軸，縱軸為虛軸。可以看出，這個式子的實數結果是很有限的，1， -2， 4， -8， 16等等。這些數字分別是(-2)^1, (-2)^2, (-2)^3, (-2)^4,很容易就能找到規律，即只有當x為整數的時候，(-2)^x的值才會是實數，反之則必然是虛數。

這是為什麼呢？實際上，我們平時用到的乘法都是實數乘法，是定義在實數範圍內的，也正是因此我們才規定指數函式的底數不能為負數，因為其函式值在實數範圍之外。題主的提問，正好是一般的實數乘法之外的東西，因此看起來很難，但只要引入複數乘法，還是很簡單的。

那麼複數乘法是怎麼定義的呢？其實很簡單，旋轉！

我們現在有一個1，現在讓這個1乘以虛數單位i，得到的就是i

幾何上看，我們把1+0i這個點，逆時針旋轉了90度。

那1*（-1）呢？

就是把1+0i這個點逆時針旋轉了180度。

有沒有看出什麼？乘兩次i，就相當於乘了一次-1，而 i*i 恰好也等於-1。

如果乘得不是1，i這些，而是複雜的一些呢？可以分為兩個部分看

1，旋轉。

從x軸，沿逆時針方向轉，旋轉到所乘的複數對應的方向，總共轉了多少度，那被乘的數就要旋轉多少度。比如i，離x軸有90度，那麼別的複數乘上i，就是把那個複數逆時針旋轉90度。

2，伸縮。

所乘的複數有多長（即複數的模），被乘的複數就伸縮多少倍。最簡單的，1*2，2的長度就是2，那結果就是把1變成原來的2倍長，結果也就是2.

這兩個操作放在一起，就構成了複數乘法的幾何解釋。

這樣一個乘法的定義，必然是相容乘方的。比如，乘上-1就是把複數逆時針旋轉180度，那麼乘上(-1)^(1/3)，就是旋轉1/3個180度，就是旋轉60度；乘上(-1)^π，就是旋轉π個180度。

如此一來，(-2)^π也就非常容易解了：旋轉部分，就是旋轉了(-1)^π那麼多，即是逆時針旋轉了π*180度；長度部分，就是取模，伸長了2^π倍。知道了複數對應向量的方向和長度，解得具體的數值也就變得很簡單了。

最後重複一遍答案，(-2)^π ≈ -7.96618 -3.7974 i

matlab直接10秒鐘搞定，怎麼會有這麼弱智的問題答案是-7.9662-3.7974i，實部和虛部都是無理數只能取有限值

利用歐陸公式稍微變換一下，就可以用計算器算出來：

（-2）^pi=2^pi*（-1）^pi=2^pi*（e^pi i)^pi=2^pi*e^(pi*pi*i)=2^pi*(cos(pi*pi)+i*sin(pi*pi))=2^pi*(-0.90-0.43i)=…

先反對一下IvanZhu的回答裡面的那個影象：

設x=-2^n，這個函式的並不是只有在n取正整數的時候，x才能為實數，例如：

下面是正文：

一、定義

中學數學裡面為了方便起見，內容只涉及負數的自然數次冪，因此首先要對冪次的概念進行擴充，擴充的時候要牢記冪的運演算法則：

這裡ｘａｂ可以為任意數（實數），ｘ和ａ＊ｂ不能同時為０，主要是考慮到０的０次冪沒有意義（類似於０／０，因為任何結果都滿足其逆運算）

二、開根號與虛數

在運演算法則中，當ｘ＜０時，就會產生虛數，

例如－１＾（１／２）的結果就是ｉ和－ｉ

如果是－１＾（１／３）呢

從數學的角度來看，三次根號－１的結果，其實就是滿足ｘ＾３＝－１的ｘ的值

在複數範圍內，設ｘ＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ均為實數，ｉ為虛數單位）

即a^3-3ab^2=－１，且3a^2-b^3=0，因為ab均為實數

可以解出a=-1,b=0或a=-1/2,b=√3/2或a=-1/2,b=-√3/2

其中後兩個解的實數部分相同，虛數部分為相反數，成為共軛

以上情形可以推廣到n分之一次冪（n為正整數），複數範圍內會產生n個解

三、任意實數冪

以上知識可以進一步推廣到任意自然數指數冪，自然數總是可以寫成a/b的形式，（ab均為整數，且b不為0）。

近似的，可以理解為-2的π次冪的結果，介於-2的3.14..926和3.14..927之間，可以近似的用兩者的結果來代替他，當小數位數很多的時候，轉換成a/b的形式時，分母b就會非常大，也就意味著最終的結果將會非常多。

精確的計算可以套用公式

【一般情況下w^n=z在複數範圍內的解為：

z=r(cosθ+isinθ) (其中r為z的模,θ為z的輻角)

w=r^(1/n)*[cos((θ+2kπ)/n）+isin((θ+2kπ)/n)]】

其中k為正整數。

實質是，複數相加減，結果角度類似向量加減；複數相乘，結果角度相加；複數相除，結果角度相減；複數的任意次方，角度為複數的角度乘以指數。 這裡可以看出，複數運算中的角度，符合指數的性質。這個問題，用尤拉方程最簡單，-2可以寫成2e^(iπ)，它的π次方就是(2^π)*e^(iπ*π)=(2^π)*(cos(π^2)+isin(π^2))，按弧度，如果按角度，π^2就是π*180。虛數的模是2^π，角度是1.1415926*180度。

尤拉公式e^iπ=-1，-2=2e^iπ，

(-2)^π=(2^π)*e^(i^π*π)=(2^π)*(cos(π^2)+i*sin(π^2))

sin(π^2)<>0，即虛部不為0。只要2^π和e^(i^π*π)不是共軛複數，結果一定是複數。

先貼答案，後追本溯源，詳述之。

在複變函式理論中，復指數冪函式透過對數函式來定義，其中c為任意複數：

數學概念與數學運算必須是良定義的(well defined)。理解一個數學物件，須溯其本源，方得其要旨。

一、正實數之整數次冪：1、正實數作自乘運算(well defined，實數乘積之良定義可由分數乘積之良定義(naturally well defined)與實數完備性來保證)，得正實數之正整數次冪(well defined)；2、取正實數之逆(即取其倒數，well defined)及其逆之自乘，則得正實數之負整數次冪(well defined)；3、正實數之零次冪自然約定為1，故而正實數之整數次冪是良定義的。

二、正實數之分數次冪(亦即有理數次冪)：正實數之任意正整數次開方運算是良定義的(由實數完備性來確保)，再結合一之事實，便知正實數之分數次冪是良定義的。

三、正實數之實數次冪：由正實數之有理數次冪之盈虧近似值序列夾逼定義，由實數之完備性，知此定義是良定義的。

經如上之三步，便在實數域內構造出良定義的任意正實數的冪函式。上述諸步驟所引入的每一個概念與運算皆為良定義的。

在實數域內之所以未深入探究負實數的實數次冪，是因為它不是良定義的(not well defined)：重複上述三步驟，一、負實數之整數次冪(1、2、3均可良定義)；二、負實數之任意分數次冪？發現無法對其進行良定義。假如定義負實數分數次冪滿足與正實數分數次冪同樣的運算規律，則出現下例所示之有悖冪運算律之問題：故負實數之任意分數次冪難以進行良定義之癥結，在於實數域內負實數開偶次方之不可解。而負實數之任意分數次冪之概念乃定義負實數任意實數次冪之先決條件。故在實數域內，負實數之任意實數次冪是無法進行良定義的。

為解決實數域內負實數開偶次方之不可解，則須擴充數域至複數域，在複數域中解決此問題。但由此也伴之而來一個有些“惱人”的問題——冪函式的多值性——它由對數函式的多值性繼承而來，正如開頭冪函式之定義所示。如此一來，正實數的實數次冪函式在複數域中也成了多值函式。通常在實數域中只取該冪函式在複數域中對應的多值函式的主值。比如：由此可以看出，複數域中的冪函式一般而言是多值函式，僅當冪指數是整數時其為單值函式，冪指數是分數時，冪函式是有限多值的，冪指數是無理數或虛部不為零的複數時，冪函式是無限多值的。

參考文獻：

[1] 菲赫金哥爾茨 Γ Μ. 微積分學教程(第一卷). 第8版. 楊弢亮, 葉彥謙, 譯. 郭思旭, 校. 北京: 高等教育出版社, 2006.

[2] Brown J W, Churchill R V. 複變函式及應用(原書第7版). 鄧冠鐵, 等譯. 北京: 機械工業出版社, 2005.

[3] 鍾玉泉. 複變函式論. 第三版. 北京: 高等教育出版社, 2004.

-7.966178303885689-3.797398698989752i

手機計算器的結果，不知道對不對

是一個可以在虛數空間獲得近似值的數學表示式。

由於pi的無理數性質，實數空間無法判斷有沒有該式子有無實解。

根據虛數的定義，該式子在虛數定義下有解。

所以是一個數學表示式，在一定數學範疇下有定式解。

所以要求定解，必須搭出個框架，出了框架就是沒有通解。虛數空間有解並不等於就是虛數，系統一變答案就是不同的:)

我用手機上的計算器算了一下（-2）^π，得到的結果是“出錯”，“出錯”只是代表超出了機器所能理解和處理的數的範圍。其實（-2）^π是有意義的，是一個虛數，更確切的話它是一個複數。高中數學我們學過指數函式y=a^x,，a>0且a≠1，估計當時我們也沒有考慮a為什麼不能為負數，現在看來有必要解釋一下這個問題。

通常理解的乘法是，幾個相同加數的簡便運算如5+5+5=5×3。這種方法固然是直觀的並且是正確的。那麼如何理解（-5）×（-3），三個-5相加好理解，（-5）+（-5）+（-5）=-15，負3個負5，就可以理解成沿著原點旋轉180度，到達15的位置。這也是初中所學有理數乘法法則（同號得正，異號得負絕對值相乘）的意義。在初中階段我們就意識到，乘法不僅僅是倍增，還帶著旋轉，只是這種旋轉限定的角度為0度或180度。如果說旋轉這角度不受限制的話，那麼數就自然而然的擴充套件到複數。在複平面內，負數相乘為模長相乘輔角相加。

(-1）^π=i^(π/2）。資料表明，複數運算只拓展到了複平面。還沒有見到i^x（x為無理數）是個什麼狀況的資料。

(-2)^(π)，不存在結果。但是-2^(π)=8.82497782707628762385642960420800。

(-2)^兀=2^兀Xe^i(兀+2K兀)兀=2^兀X[cos(兀+2K兀)兀+iSin(兀+2K兀)兀]，K為整數。為多個複數值，在複平面的一個圓周上。