自己死磕量子場論的數學系學生來答一下.其實交換極限順序之類的“數學分析錯誤”都可以理解, 畢竟大部分物理情形之下, 積分號下求微分的合法性都不難驗證. 可是, 微擾論裡的合法性真是太讓人揪心了......微擾論是物理學家們比較常用的一種計算方法. 對於那些不精確可解的模型, 微擾論可說是很有用的. 可是使用的時候很多東西沒有驗證就開始亂用, 很難保證不出問題. 最簡單的例子是這個.考慮一個非諧振子的量子力學系統, 其Hamilton如下:.解如下的定態Schrodinger方程的能譜問題:.眾所周知, 當時上述問題就是簡單的量子諧振子, 能譜是熟知的:.當時問題並不是精確可解的, 所以物理學家們使用微擾展開, 把能譜展開成的冪級數. 問題就出在這裡. Bender和Wu注意到這個微擾級數對於任何不為零的都是發散的(但他們對這件事的”證明"完全是不嚴格的), 稍後B. Simon藉助運算元論 ( 加藤敏夫的運算元微擾論 ) 嚴格地證明了下面的事實:

對每個, 在半平面上都是的全純函式, 並且可以延拓為割去負半軸的平面上的全純函式, 但是它在處有一個奇點(似乎還是這分支的非孤立奇點).

於是這種微擾展開的冪級數必定是發散的.證明的過程很有意思. Simon根據Symanzik等人的建議使用了一種標度變換的方法, 這跟量子場論的中重整化計算有一些微妙的共通點. 注意這個Symanzik就是重整化群的Callan-Symanzik方程中的那個Symanzik.Simon 更進一步證明了:

的形式冪級數展開可以Borel求和至.

這說明微擾論在量子力學裡至少還是很有用的.可是在量子場論中, 這種微擾展開的問題就更嚴重了: 常見的相互作用量子場, 按照耦合常數的冪次進行展開, 得到的展開係數全都是由發散的積分給出的, 比如說:.這時候就引出了作為一個數學系學生最不能接受的"重整化"......按照抵消項方法, 我們需要在原來的作用量里加入幾個不可觀測的無窮大, 來抵消這裡出現的發散積分, 而抵消的結果根據所選正規化方案的不同會不一樣. ——該選哪個結果? 實驗說了算! (就是這麼流氓)後來Wilson給出的有效理論的解釋, 還尚且能夠接受一丁點. 可是就計算方法來講, 還是要先引入截斷 (或者"改變"一下時空的維數which...反正瞎了太多次對這種小技巧已經麻木了) 進行正規化, 而後才透過Wilson的解釋為它們賦予一些物理意義.歸根結底, 這還是因為量子場論本身的定義就非常地成問題. 它應該是某種高能理論的低能近似; 這有點像經典力學中, 振幅很小的細杆振動可以用線性波動方程描述: 儘管波動方程的解很簡潔,但從物理原理(推導線性波動方程的假設)來看, 不能用它來描述振幅很大的振動. 但我想, "定義成問題"不應該成為放棄深入研究這套計算方法的理由.

當物理學家們一下子想不起來這個定理怎麼證的時候，他們會翻一翻教材，看一看維基百科

當數學家們一下子想不起來這個定理怎麼證的時候，他們在教材上大大的寫上

“留作習題讀者自證”

當然，高聯過的小朋友們應該都或多或少的使用過這種大法，前推推，後推推，中間證不出來就寫個大大的顯然。然後

Q.E.D

哈哈哈，作為一名物理工作者前來吐槽一下。

談話往往是這樣的：

總結一下，物理工作者覺得，我們從大自然中得到的資料，就是解開世界的密碼，如果我們從資料中找到了規律，就找到了真理。

而數學工作者需要邏輯，即使這些資料是實驗得到的，但是實驗是有誤差的，資料不一定是真實的，只有經過周密的推理，才能最終確定是否合理。