形如：
F(x, y, y") = 0 ①
的方程，被稱為一階微分方程，其中 x 是自變數，y 是 x 的未知函式，y" 是 y 的導函式。
如果 函式 y = φ(x) 使得，
F(x, φ(x), φ"(x)) = 0
則稱 該函式 為 ① 的一個解。
將 y" 從 ① 中 提取出來，表示為：
y" = f(x, y)
被稱為 解出導函式的微分方程。
進而，如果 f(x, y) = p(x)y + q(x)，則 方程 變成：
y" = p(x)y + q(x) ②
被稱為 一階線性微分方程。令 q(x) = 0 ，得到方程：
y" = p(x)y ②"
被稱為 一階齊次線性微分方程，而 ② 被稱為 一階非齊次線性微分方程。
為什麼 ②" 叫做 齊次，而 ② 不是 呢？
齊次：多項式各項 的未知元 次數 相同。
因為 ②" 各項 y" 和 p(x)y 中，未知函式 y 的 次數 都是 1，即，各項未知元次數平齊；而 ② 的項 q(x) = q(x)y⁰ 中 y 的次數 是 0，不同與 另外 兩項 中 y 的次數 1 ，即，各項未知元次數不平齊。
對於，一階齊次線性微分方程，有，
等式兩邊關於 x 積分，有，
再令，c = ±eᒼ ，最終得到 齊次方程通解：
由 常數 C 是任意實數，得到 常數 c 是不等 0 的 任意實數，而 c = 0 時，y = 0 ，因 y’ = 0 = p(x) 0 = p(x)y， 是方程的 解，故 常數 c 同樣為 任意實數。
將 齊次方程通解 中的 常數 c 變異為 x 的函式 c(x)，得到：
再代入 非齊次方程 ② 有，
結果，代入前面等式， 再將 C 改為 c，最終得到 非齊次方程通解：
以上，求解 非齊次方程 通解 的方法，稱為 常數變異法。
有些 微分方程 雖然表面上看，不是 一階線性微分方程，但其實 都是 ② 中 y 被換元 的結果。例如，令，
代入 ② 有，
令，P(x) = p(x) / (1- n), Q(x) = q(x) / (1-n)，得到：
這被稱為，伯努利微分方程。我們只需要求出 對應的 一階線性微分方程：
的通解：
就可以得到 伯努利微分方程 的通解：
解出導函式的微分方程 中 如果 令 f(x, y) = -P(x, y) / Q(x, y)，並將 y" 表示為 微分形式 dy/dx 則方程變形為：
dy/dx = -P(x, y) / Q(x, y)
即，
若，存在 函式 u(x, y) 使得，
P(x, y) = ∂u(x, y) /∂x , Q(x, y) = ∂u(x, y) /∂y
則，根據 全微分，有，
d u(x, y) = (∂u(x, y)/∂x) dx + (∂u(x, y) /∂y) d y = P(x, y) dx + Q(x,y) dy = 0
等式兩邊 關於 u 積分 得到：
∫ d u(x, y) = ∫ 0 d u
u(x, y) = c
規定 u 有 連續偏導數，則 根據隱函式定理，解 y = φ(x) 存在。
由前面的要求，有：
∂P(x, y)/∂y = ∂²u(x, y) /∂x∂y = ∂²u(x, y) /∂y∂x = Q(x, y)/∂x
∂P/∂y = ∂Q/∂x
這時 恰當條件 變為：
∂(μP)/∂y = ∂(μQ)/∂x
P∂(μ)/∂y + μ∂P/∂y = Q∂μ/∂x + μ∂Q/∂y
整理，得到：
P∂(μ)/∂y - Q∂μ/∂x = (∂Q/∂y - ∂P/∂y)μ
一階線性微分方程 ② 可以變形為：
-(p(x)y + q(x)) dx + dy = 0
∂P/∂y = -p(x) ≠ 0 = ∂Q/∂x
於是，我們需要新增 積分因子，
μ = e^{-∫ p(x) d x}
這樣以來，需要求解的方程為，
-e^{-∫ p(x) d x}(p(x)y + q(x)) dx + e^{-∫ p(x) d x}dy = 0
滿足，條件：
∂(μP)/∂y = -e^{-∫ p(x) d x}p(x) = ∂(μQ)/∂x
又，因為，
∂u/∂x = -q(x) e^{-∫ p(x) d x} - p(x)e^{-∫ p(x) dx}y = -e^{-∫ p(x) d x}(p(x)y + q(x))
∂u/∂y = e^{-∫ p(x) dx}
所以 u(x, y) 就是 需要求解的方程 的 解。從 u(x, y) 其中 解出 y 與前面的 結果完全一致。
一階非齊次線性方程的通解，可以變形為：
其中， ỹ 就是 對應 齊次方程的通解，而 y₀ 為 一個非齊次方程 的特解，也就是說：
一階非齊次線性方程的通解 為 非齊次的一個特解 與 齊次的通解 之和。
注：可以證明，這個結論，對於高階非齊次線性方程 同樣適用。
再回看前面 常數變異法 發現 中間步驟，
如果，令，
則，得到方程 ④：
從中，可以求得 c"(x)，於是，一階非齊次線性方程的通解為：
其中，ỹ₀ 是一階齊次線性方程的特解。
也是時說，我們只要求得 一階齊次線性方程的一個特解 ỹ₀，然後 從 方程 ④" 求出 待定函式 c"(x) 就可以 一階非齊次線性方程的通解了。通解 ỹ = cỹ₀ 其實 是 ỹ₀ 的線性組合。
也是時說，我們只要求得 一階齊次線性方程的一個特解 ỹ₀，然後 從 方程 ④" 求出 待定函式 c"(x) 就可以 一階非齊次線性方程的通解了。
注：這個求解過程，可以推廣到 高階非齊次線性方程。
例如，當 一階線性非齊次方程 中 p(x) = -a 和 q(x) = b 是常數時，相應方程，
y" + ay = b
被稱為 一階常係數微分方程，其 對應齊次常係數微分方程，
y" + ay = 0
的特解為
ỹ₀ = e⁻ᵃˣ
由方程 ④ ，求得：
c"(x) = b/ỹ₀
於是，最終得到 一階常係數微分方程 的通解為：
y = ỹ₀∫ b/ỹ₀ dx + cỹ₀ = e⁻ᵃˣ∫ beᵃˣ dx + ce⁻ᵃˣ = ce⁻ᵃˣ + b/a
一階線性微分方程 既是 一階微分方程 又是 線性微分方程，因此從中 可以看出 兩種理論的 影子，由於篇幅有限，也害怕跑題太遠，這裡並沒有 展開 這些精彩的理論，以後有機會再說！
(補充：2020/4/18)
為什麼 ② 被稱為 線性呢？
線性來自於，② 的齊次方程 對應的 運算元：
F(y) = y" - p(x)y
可以保持 函式的 線性運算，即，
保持加法： F(y + z = (y + z)" - p(x)(y + z) = y" + z" - p(x)y - p(x)z = y" - p(x)y + z" - p(x)z = F(y) + F(z)
保持數乘：F(cy) = (cy)" - p(x)(cy) = cy" - cp(x)y = c(y" - p(x)y) = cF(y)
其中，y, z 都是任意可微函式，c 是常數。
形如：
F(x, y, y") = 0 ①
的方程，被稱為一階微分方程，其中 x 是自變數，y 是 x 的未知函式，y" 是 y 的導函式。
如果 函式 y = φ(x) 使得，
F(x, φ(x), φ"(x)) = 0
則稱 該函式 為 ① 的一個解。
將 y" 從 ① 中 提取出來，表示為：
y" = f(x, y)
被稱為 解出導函式的微分方程。
進而，如果 f(x, y) = p(x)y + q(x)，則 方程 變成：
y" = p(x)y + q(x) ②
被稱為 一階線性微分方程。令 q(x) = 0 ，得到方程：
y" = p(x)y ②"
被稱為 一階齊次線性微分方程，而 ② 被稱為 一階非齊次線性微分方程。
為什麼 ②" 叫做 齊次，而 ② 不是 呢？
齊次：多項式各項 的未知元 次數 相同。
因為 ②" 各項 y" 和 p(x)y 中，未知函式 y 的 次數 都是 1，即，各項未知元次數平齊；而 ② 的項 q(x) = q(x)y⁰ 中 y 的次數 是 0，不同與 另外 兩項 中 y 的次數 1 ，即，各項未知元次數不平齊。
對於，一階齊次線性微分方程，有，
等式兩邊關於 x 積分，有，
再令，c = ±eᒼ ，最終得到 齊次方程通解：
由 常數 C 是任意實數，得到 常數 c 是不等 0 的 任意實數，而 c = 0 時，y = 0 ，因 y’ = 0 = p(x) 0 = p(x)y， 是方程的 解，故 常數 c 同樣為 任意實數。
將 齊次方程通解 中的 常數 c 變異為 x 的函式 c(x)，得到：
再代入 非齊次方程 ② 有，
結果，代入前面等式， 再將 C 改為 c，最終得到 非齊次方程通解：
以上，求解 非齊次方程 通解 的方法，稱為 常數變異法。
有些 微分方程 雖然表面上看，不是 一階線性微分方程，但其實 都是 ② 中 y 被換元 的結果。例如，令，
代入 ② 有，
令，P(x) = p(x) / (1- n), Q(x) = q(x) / (1-n)，得到：
這被稱為，伯努利微分方程。我們只需要求出 對應的 一階線性微分方程：
的通解：
就可以得到 伯努利微分方程 的通解：
解出導函式的微分方程 中 如果 令 f(x, y) = -P(x, y) / Q(x, y)，並將 y" 表示為 微分形式 dy/dx 則方程變形為：
dy/dx = -P(x, y) / Q(x, y)
即，
若，存在 函式 u(x, y) 使得，
P(x, y) = ∂u(x, y) /∂x , Q(x, y) = ∂u(x, y) /∂y
則，根據 全微分，有，
d u(x, y) = (∂u(x, y)/∂x) dx + (∂u(x, y) /∂y) d y = P(x, y) dx + Q(x,y) dy = 0
等式兩邊 關於 u 積分 得到：
∫ d u(x, y) = ∫ 0 d u
即，
u(x, y) = c
規定 u 有 連續偏導數，則 根據隱函式定理，解 y = φ(x) 存在。
由前面的要求，有：
∂P(x, y)/∂y = ∂²u(x, y) /∂x∂y = ∂²u(x, y) /∂y∂x = Q(x, y)/∂x
即，
∂P/∂y = ∂Q/∂x
這時 恰當條件 變為：
∂(μP)/∂y = ∂(μQ)/∂x
P∂(μ)/∂y + μ∂P/∂y = Q∂μ/∂x + μ∂Q/∂y
整理，得到：
P∂(μ)/∂y - Q∂μ/∂x = (∂Q/∂y - ∂P/∂y)μ
一階線性微分方程 ② 可以變形為：
-(p(x)y + q(x)) dx + dy = 0
∂P/∂y = -p(x) ≠ 0 = ∂Q/∂x
於是，我們需要新增 積分因子，
μ = e^{-∫ p(x) d x}
這樣以來，需要求解的方程為，
-e^{-∫ p(x) d x}(p(x)y + q(x)) dx + e^{-∫ p(x) d x}dy = 0
滿足，條件：
∂(μP)/∂y = -e^{-∫ p(x) d x}p(x) = ∂(μQ)/∂x
又，因為，
∂u/∂x = -q(x) e^{-∫ p(x) d x} - p(x)e^{-∫ p(x) dx}y = -e^{-∫ p(x) d x}(p(x)y + q(x))
∂u/∂y = e^{-∫ p(x) dx}
所以 u(x, y) 就是 需要求解的方程 的 解。從 u(x, y) 其中 解出 y 與前面的 結果完全一致。
一階非齊次線性方程的通解，可以變形為：
其中， ỹ 就是 對應 齊次方程的通解，而 y₀ 為 一個非齊次方程 的特解，也就是說：
一階非齊次線性方程的通解 為 非齊次的一個特解 與 齊次的通解 之和。
注：可以證明，這個結論，對於高階非齊次線性方程 同樣適用。
再回看前面 常數變異法 發現 中間步驟，
如果，令，
則，得到方程 ④：
從中，可以求得 c"(x)，於是，一階非齊次線性方程的通解為：
其中，ỹ₀ 是一階齊次線性方程的特解。
也是時說，我們只要求得 一階齊次線性方程的一個特解 ỹ₀，然後 從 方程 ④" 求出 待定函式 c"(x) 就可以 一階非齊次線性方程的通解了。通解 ỹ = cỹ₀ 其實 是 ỹ₀ 的線性組合。
也是時說，我們只要求得 一階齊次線性方程的一個特解 ỹ₀，然後 從 方程 ④" 求出 待定函式 c"(x) 就可以 一階非齊次線性方程的通解了。
注：這個求解過程，可以推廣到 高階非齊次線性方程。
例如，當 一階線性非齊次方程 中 p(x) = -a 和 q(x) = b 是常數時，相應方程，
y" + ay = b
被稱為 一階常係數微分方程，其 對應齊次常係數微分方程，
y" + ay = 0
的特解為
ỹ₀ = e⁻ᵃˣ
由方程 ④ ，求得：
c"(x) = b/ỹ₀
於是，最終得到 一階常係數微分方程 的通解為：
y = ỹ₀∫ b/ỹ₀ dx + cỹ₀ = e⁻ᵃˣ∫ beᵃˣ dx + ce⁻ᵃˣ = ce⁻ᵃˣ + b/a
一階線性微分方程 既是 一階微分方程 又是 線性微分方程，因此從中 可以看出 兩種理論的 影子，由於篇幅有限，也害怕跑題太遠，這裡並沒有 展開 這些精彩的理論，以後有機會再說！
(補充：2020/4/18)
為什麼 ② 被稱為 線性呢？
線性來自於，② 的齊次方程 對應的 運算元：
F(y) = y" - p(x)y
可以保持 函式的 線性運算，即，
保持加法： F(y + z = (y + z)" - p(x)(y + z) = y" + z" - p(x)y - p(x)z = y" - p(x)y + z" - p(x)z = F(y) + F(z)
保持數乘：F(cy) = (cy)" - p(x)(cy) = cy" - cp(x)y = c(y" - p(x)y) = cF(y)
其中，y, z 都是任意可微函式，c 是常數。