（以下預設十進位制）

命題1：個位數是 5 或 0 的整數一定可以被 5 整除。

於是，1575 可以被 5 整除，商是 315；而 315，依然可被 5 整除，商是 63。

命題2：如果 一個整數的 各位數 之和 可以被 3 整除，則該整數可以被 3 整除。

63 的個位數 之和 是 6＋3＝9，9 可以被 3 整除，於是 63 可以被 3 整除，商是 21；21 的 各位數 之和 是 2＋1＝3，3 可以被 3 整除，於是 21 可以被 3 整除，商是 7；

將上面的因子收集到一起就是 1575＝3²×5²×7。

命題1證明：

任何一個整數 n 可以表示為：

n = 10a + b

其中 0 ≤ b < 10 是 n 的個位數。

當 b = 0 時，

n = 10a = (2a)5

顯然，5 是 n 的因子，5 | n。

當 b = 5 時，

n = 10a + 5 = (2a + 1)5

顯然，5 還是 n 的因子，5 | n。

證畢

其實，反過來，

5n = 50a + 5b

根據 5 × 0 = 0，以及 九九乘法表：

得到： 5b 的個位數 只能是 0 和 5，進而 5n 也是！

命題2證明：

任何一個 r+1 位的 整數 n 可以表示為：

n = 10ʳaᵣ + ... + 10a₁ + a₀

其中 0 ≤ aᵣ, ..., a₁, a₀ < 10 是 n 的 r+1 位數。

於是，

n = (10ʳ - 1)aᵣ + ... + (10 - 1)a₁ + (aᵣ + ... + a₁ + a₀)

由於，對，任意 1 ≤ k ≤ r，有，

10ᵏ - 1 = 9...9 = 1...1 × 3

故 3 | (10ᵏ - 1)，進而 3| (10ʳ - 1)aᵣ + ... + (10 - 1)a₁

於是，只要 3 | (aᵣ + ... + a₁ + a₀)，就 3 | n。

證畢

以上證明過程中，將 3 換為 9，依然成立，於是我們有，命題3：

如果 一個整數的 各位數 之和 可以被 9 整除，則該整數可以被 9 整除。

這是分解質因數，原理應該是整數的可除性吧，或者具體來說是算數基本定理。算數基本定理：任一大於1的整數能表成質數的乘積，即任一大於1的整數如果在小學階段，大概是五年級學的內容，參照知識如下

因數和倍數，質數和合數，利用2、5、3的倍數的特徵分解質因數。