問題1：π和e √2這樣的無理數有什麼不同嗎？

就數字的分類來說，π 和 e 並無多大區別，到是它們與√2 有所不同：

√2 是整係數（一元多項式）方程 x²-2=0 的根，我們稱這樣的，是整係數方程的根的，數字為代數數。

有理數 b/a（a≠0）是整係數方程 ax-b=0 的根，所以 有理數 一定是 代數數。

虛單位 i 是整係數方程 x²+1=0 的根，所以 i 是代數數。

可以證明：π、e 不是任何 整係數方程的根，稱這種數字為超越數。

問題2：為什麼很多人都說跟宇宙，數學體系之類的有關？

這句話的意思是說：

表示 π 的小數 3.1415926... 中含有任何數字組合。 ①

如果，一個實數的小數表示中含有任何數學組合，則 稱 這個實數為和取數！

由於，一個數字組合對應一個自然數，於是：

顯然，是一個和取數。

所有有理數，要麼是有限小數，要麼是無限迴圈小數，所以包含的數學組合有限，於是 有理數 一定不是和取數。

另外，一個相關的概念是正規數，其定義為：

如果，一個實數的小數表示中各數字出現的機率相當，則稱其為正規數。

可以證明：所有自然數連結而成的小數：

0.1234567891011213...

以及所有素數連結而成的小數：

0.23571113...

都是正規數。

大家可能覺得它們中0出現的機率小，但是請不要忘記，它們中都含有無數個0，這和我們有限下的機率直覺不符合！

正規數可以保證任何數字組合出現的機率也相同，於是正規數一定是和取數！

那麼，π 是不是 和取數 或 正規數 呢？

目前還沒有辦法證明，也就是說 ① 只是猜想！

最早，證明超越數 存在的是 劉維爾，他在1844年，構造並證明了超越數：

法國數學家埃爾米特，於1873年，第一個證明了e是超越數，該證明的簡化版如下：

任何（一元）n次多項式，

的各階導數之和，構成的另外一個n次多項式：

其中，高於 n 階的導數均為零，即，

對於 F(x) 有，

然後，對等式兩邊，在區間 [0, k] 上求 定積分，再 結合 牛頓-萊布尼茲公式，有，

等式兩邊 乘以 eᵏ，整理得：

假設 e 是 代數數，則它必然是某整係數方程的根，不妨設 ②：

令 k = 0, 1, 2, ..., m 則 由 (1) 得到 m + 1 個等式，將這些等式 分別 兩邊乘以 b₀, b₁, b₂, ..., b_m 然後相加得到：

顯然，這時 的 f(x) 的是 n = mp + p - 1 次，於是有，

對於，任意 k = 1, ..., m，令，

則，根據：

有，

當 i < p 時，f⁽ⁱ⁾(x) 各項均含有 (x-k)，故 f⁽ⁱ⁾(k) = 0，當 p ≤ i ≤ n 時，有，

於是，

進而，

顯然 K₁ 是整數。

再考慮 k = 0 時，與上面類似，令，

則，有，

當 i < p - 1 時 和前面一樣f⁽ⁱ⁾(k)= 0，現在考慮 p ≤ i ≤ n 時，因為，

故，

於是，

顯然 K₂ 是整數。

綜上，(2) 式 變為，

等式兩邊 同時 除以 (p-1)!，整理得到：

因為 p， b₀， m，K₁ 和 K₂ 都是整數，所以，(2") 右邊 是一個 整數，隨著 p → ∞，當 p > max{b₀, m} ，因為 p 還是素數，故 p 不能整除 (-1)ᵖb₀(m!)ᵖ，而 顯然 p 整除 p(K₁ + K₂)，於是 p 不能整除 右邊。因為，0 是可以被任何 素數 整除的 數字， 所以： 當 p → ∞ 時，右邊 ≠ 0。

再看，(2") 左邊，對於任意 0 < x < m ，有：

於是，

A 是一個常數，又因為，

故，當 p → ∞ 時， 左邊 = 0 ④。

產生矛盾，假設不成立！e 不代數數，是超越數！□

上面證明過程，也可以 用 拉格朗日中值定理 替代 牛頓-萊布尼茲公式， 替換後的 證明過程類似！

以上的證明中判斷 (2") 右邊是非零整數，有些繁瑣，後來希爾伯特對其進行了改進：

我們知道，伽瑪函式 的整數情況為：

於是，對於 任意多項式：

有：

這說明 ⑤：

有，

對於 k = 1, ..., m，有，

將 [] 括號 中的部分 當做前面的 g(x) 則 根據 ⑤ 結論有，

而，

將 [] 括號 中的部分 當做前面的 g(x) , p-1 當做前面的 p，則 根據 ⑤ 結論有，

其中， b₀(-1)ᵖ(m!)ᵖ 是非零整數，於是，

|b₀(-1)ᵖ(m!)ᵖ| ≥ 1

再根據 ④ 處的 結論，當 p 足夠大時，存在 |ε| < 1 使得：

綜上，等式 (⑥) 的 左邊為：

這與 等式 (⑥) 右邊 為零 矛盾！ □

在 埃爾米特 之後，又有數學家，陸陸續續的證明了個別超越數，但是一直都沒有找到判別有效方法，直到 林德曼 證明了 林德曼-魏爾斯特拉斯定理：

設，α₁, α₂, ..., αᵣ 是一組 兩兩 不相同的 代數數，則對於 任何 全非零的 代數陣列 β₁, β₂, ..., βᵣ ，都有，

利用，這個定理，很容證明 π 的超越性：

假設，iπ 是代數數，則根據，尤拉公式，有：

顯然 iπ，0 是兩兩 不相同的 代數數， 1, 1 全非零的 代數陣列，於是 上面 的等式 與 林德曼-魏爾斯特拉斯定理 矛盾！

故，假設 不成了，iπ 是超越數。而前面的結論有 i 是代數數，故 π 必然是超越數！ □

（限於篇幅，關於林德曼-魏爾斯特拉斯定理 的證明 就不在這裡展開了，以後有機會再介紹給大家！）

我這樣表達，可能不是每個人都認可！

按生活中出現的頻度，排排重要性！

1. 圓及其相關，出現得最多。生活中到處見到的車輪，球，圓椎，花朵…

2. 尤拉常數. 出現複利計算，自然遞增，高斯正態分佈…

3. √2，勾股定理. 在等腰直角三角形，出現在斜邊！

只對兀有研究，所以只說兀。

當以兀值取314，黃金分割數值取618時，

…628 618…

…314 324…

這樣順逆推下去，可以得到數學中的一個天然的兀值螺旋旋渦，該旋渦中心為：

…478 468…

…464 474…

該旋渦中心可以看成是3，三生萬物，此是宇宙、星系螺旋起源的數學基礎。感謝數學讓我發現了宇宙萬物之美！

任何現代人們所能見著的符號，都是人類在悠久的成長歲月中，經過歷代先人不斷改良、選擇和淘汰所形成的結果。它是數學家們集體智慧的結晶，決不會是某一個人憑空臆造出來的，更不會是神話人物賦予的。這些符號的運用之妙，地球上知者不多，善用者更是寥寥無幾。

它們的確是很能讓人浮想聯翩的，宇宙的設計結構好像都能與這些符號產生聯絡。

本人見識淺薄只能粗略發表一下觀點：

1.π（讀作pài）表示圓周率，是一個常數（約等於3.141592654），目前最厲害的超級計算機一直在計算，不過似乎沒有盡頭…，一旦那天人類算到了它的最終數值，解開宇宙面目就不遠了，所以個人覺得它必定與整個宇宙的組成有很大關係。

2.e是自然對數的底數，是一個無限不迴圈小數，其值是2.71828...，目前它是這樣被定義的:

當n→∞時，(1+1/n)^n的極限

注:x^y表示x的y次方。

數學真是一門奇特的學科，它給您的感覺好像總是深不見底，就如宇宙的廣闊無垠一樣深不可測。其中他們排列的數值線似呼和諸多星體，星系的執行圖騰規律相符。

3.√2俺就不說了，太多有識之士都知道它的用途，各路資訊庫也都有詳細的介紹，其實這些符號我們是了知的，只是不知為何，需要一步一步的去開啟它，大腦深處的智慧好像被禁錮了。又到了不可說的地步了，也許我們可以用其它方式開啟人類的終極智慧。您們覺得了？比如《佛學》《易經》《思維冥想》……

首先必須知道π、e和√2的來歷，才能比較它們。在數學裡，√2是邊長為1的正方形對角線，它是用勾股定理算出來的一個無理數值; e也叫尤拉常數，以e為底的對數，叫自然對數，e=2.71828……e也可表示細胞的分裂增值，簡單的說，e就是增長的極限: lim=(1+1/x)^x=e(x趨於±∞)。π按主流科學的認識，也是一個無理數，但是，實際上，按自然規律，圓是以黃金比例構成的，無理數3.14不是真正的圓周率，在三角形裡，有一種三角形叫黃金三角形，圓就是以100個頂角為3.6度的等腰黃金三角形組成的，這種黃金三角形的腰長與底邊長的比就是1:0.0618，因此，100個黃金三角形組成的圓周長正好是C=0.0618x100=6.18，平常我們用1單位長的半徑，也只能畫出6.18單位的圓周長。黃金數就因為宇宙大自然構造圓而存在，宇宙天體都在作圓周運動，大自然選擇了黃金數為比例常數構造圓和萬物，凡是以黃金比例構成的事物，看上去都很優美，1:0.618是大自然選擇的最佳比例，這個比例最早由畢達哥拉斯學派發現，我發現圓由黃金比例構成，是經得起科學界的精英的任何檢驗的，題主發問π、e和√2與宇宙大自然的關係是什麼，π就是這三個數中與大自然關係最密切的一個！因為圓周率的值，就是黃金數6.18的二分之一，圓周率π=3.09。

傅立葉變換了解一下，任意模型都可以用三角函式模擬，哲學觀點就是這個世界底層是無數微小的震動，科學家為了統一所有力學而提出的弦論。

只想勾勒一個框架，小探討，僅供參考。

關於圓周率“π”的解釋

圓周率π，代表“可封閉的圓弧型無理數”。任何一段弧長都是無理數，即：

L=n/π, n∈N...(1)，因此有：

定理1：所有的圓弧，只對應無理數；所有的線段，在同一方向上，只對應有理數。

關於方根數“√2”的解釋

方根數√2，代表“封閉性的方根型無理數”，任何一個多邊形都由三角形構成，任何三角形都由兩個直角三角形構成，進而任何一個直角邊都可充當另一個直角三角形的斜邊，總有勾股定理：

c²=a²+b²，或：c=√(a²+b²)...(2)，因此有：

定理2：所有的多邊形的邊長，只對應實數。極少數對應有理數，絕大多數對應無理數。

關於自然常數“e”的解釋

自然常數e，代表“可封閉的螺線型無理數”。根據自然常數的定義：

e=f(n)=lim(1+1/n)ⁿ, n=∈N...(3)，

式中的1，是基底圓的半徑：r=1。

f(1)=2，是基底圓的直徑，有理數。

f(2)=(1+½)²=2.25；有理數；

f(3)=(1+⅓)³=2.368593.....，有理數；

f(...)=(1+1/...)^...，有理數；

f(∞)=2.718...，是外圍極限圓直徑，無理數。

定理3：“e”是半徑為1的基底圓經由無限次旋轉伸長後所抵達的極限圓直徑。

定理4：帶e對應的是複數：z(r,θ)=re^iθ...(4)。其中，r對應的是實數，表示徑向伸縮；e^iθ對應的是虛數，表示切向旋轉。

自然螺線對應的幾乎都是有理數，最終卻漸變成為唯一的無理數，原因是涉及了無窮大。這是量變vs質變的範例。

物理新視野，旨在建設性新思維，共同切磋物理/邏輯/雙語的疑難問題。

自然界裡，萬物生長和人類生活的規律是這樣的，萬物生長的橫截面絕大多數是圓（含圓周率），生物的生長的橫截面和高度的速度都是e的函式（參考李永樂老師的影片），人的生活生產活動中圓與方形佔了很大的比例，而邊長為1的正方形的對角線是根號2。所以，表達萬物的基礎方法是離不開圓周率、e和根號2的。附：拉馬努金的圓周率、e、根號2的公式（圖的第一個公式，2的1/4次方等於根號根號2）