所謂，空集定理，就是：

空集公理：存在一個不含任何元素的集合，即，

∃X∀u(u ∉ X)

根據 ZFC 公理體系中的，

(1) 外延公理（Axiom of Extensionality)：如果 X 和 Y 擁有相同的 元素，則 X 與 Y 相等，即，

∀u(u ∈ X ↔ u ∈ X) → X = Y

我們可確定 所有 空集合 都相等，也就是說 空集 唯一，我們將這個唯一的空集 記為 ∅。

為什麼說，空集公理 是 空集定理 呢？因為 它可以 從

存在公理：存在一個集合，即，∃X(X = X)

推匯出來。

利用 ZFC 公理體系中的，

(3) 分離公理模式（Axiom Schema of Separation）： 如果 P 是一個 屬性，則 對於任意 X 都存在 集合 Y 包含 所有 具有 屬性 P 的 X 的元素，即，

∀X∃Y∀u(u ∈ Y ↔ u ∈ X ∧ P(u))

令，Y = {u ∈ X : P(u)}。

只需要令，P(x) := x ≠ x，其中 x ≠ x ↔ ¬(x = x)，“=” 來自 外延公理，則：

∅ = {u ∈ X : u ≠ u}

首先，存在公理 確保了 X 的存在，其次 在 外延公理 下 所有 u 一定等於 自己，和自己不相等的 u 不存在，於是 u ≠ u 是永假的，故，∅ 不可能 含有任意元素，即，∅ 滿足 空集公理。

反過來，空集公理 確定了 空集 ∅ 的存在，根據 外延公理 有， ∃∅(∅ = ∅) ，這就推匯出來了，存在公理。

所以說： 空集公理 與 存在公理 在 ZFC 公理體系中 等價，二者定義其一即可！

佛曰：空既是色，色即是空；

道曰：有無相生，此兩者同出而異名，同謂之玄！

ZFC公理系統並沒有直接包含，空集公理（或 存在公理），而是作為

(6) 無限公理（Axiom of Infinity）：無限集合存在。

的一部分，而引入 ZFC 的。

具體來說：

要定義無限集合 S，就先要有一個有限集合，無疑 空集 ∅ 是最好的選擇，規定：

∅ ∈ S

然後，利用 ZFC公理系統 中的，

(2) 結對公理（Axiom of Pairing）：對於任意 a 和 b 都存在 集合 {a， b} 恰好包括 a 和 b，即，

∀a∀b∃c∀x(x ∈ c ↔ x = a ∨ x = b)

根據 外延公理， c 是唯一的，稱為 無序對，記為，c = {a， b}，特別地， x 和 自己 的 無序對 是 單元素集 {x}。

(3) 並公理（Axiom of Union)：任何集合 X 中所有的元素的並集 Y = ∪X 都存在，即，

∀X∃Y∀u(u ∈ Y ↔ ∀z(z ∈ X ∧ u ∈ z))

令，Y = {u : ∀z(z ∈ X ∧ u ∈ z) } = ∪{z : z ∈ X } = ∪X。

可以定義 集合 a, b 的 並運算：

a ∪ b = ∪{a, b}

再根據 並運算，定義 集合 x 的後繼運算：

x⁺ = x ∪ {x}

接著，規定：

∀x(x ∈ S → x⁺ ∈ S)

稱 同時滿足 以上 兩個 規定 的 集合 S 為 歸納集。

顯然，歸納集 是 無限集合，於是，無窮公理 就改寫為：存在一個歸納集，即，

∃S(∅ ∈ S ∧ ∀x(x ∈ S → x⁺ ∈ S))

這樣，∅ 是 歸納集 的第一個元素，無窮公理 已經就蘊含了 空集公理（或 存在公理）。[這裡也就回答了題主的問題]

無限公理 僅僅是 保證了 歸納集 的 存在性，我們並不能確定 歸納集 唯一，事實上，存在無限多個歸納集。

令，

φ(x) = x 是歸納集

根據 分離公理模式，我們定義：

ω = {x ∈ S : ∀A(φ(A) → x ∈ A)}

稱 這個最小的 歸納集 ω 為 自然數集。

（以下是小石頭夾帶的私貨，不喜勿入！）

在集合論發展之初，原本只有兩個條公理，除了 (1) 外延公理 外，就是：

(偽2) 推導公理模式（Axiom Schema of Comprehension)：對於任何 屬性 P 都存在 集合 Y = {x : P(x)}。

(偽2) 和 (1) 分別對應 哲學中 一個概念 的 內涵 和 外延。

本來一切都很美好，直到 羅素髮現了，羅素悖論：

Y = {X : X ∉ X}

這裡的 Y 顯然 不是一個 集合。

羅素悖論的通俗版就是 理髮師悖論：

一位理髮師聲稱：“我只為不給自己刮臉的人刮臉！” ，那麼 他能不能給他自己刮臉呢？

如果他不給自己刮臉，他就屬於“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉；如果他給自己刮臉，他又屬於“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉！

他給不給自己刮臉都會產生矛盾！

於是，數理邏輯學家 不得不 用 ZFC 公理中的 (2) - (9) 替換 (偽2)，這才產生了今天的《公理集合論》。

另一方面，值得注意的是：

(偽2) 中 的 Y 作為以 P 為內涵的 概念是 實實在在存在，我們不能否認，只不過 Y 不一定 是 集合（set），我們稱之為 類（class），並 將 (偽2) 改為：

(0) 概括原則：對於任何 P 都存在 類 Y = {x : P(x)}

這個 (0) 作為 類的定義 被 《公理集合論》採用，但 不算是 ZFC 公理，這有點灰色地帶的意味！

公理1~8組成了ZF集合論公理系統，即著名的ZF公理體系。9作為與前8個獨立的公理，在數學分析中經常用到。

公理1，2可以推出任何集合X有空子集，且空集唯一。

透過公理3，可以定義有序對（X,Y）：={{X,X}，{X,Y}}。

公理1~5可以限制新集合形成的可能，從而消除羅素悖論中的集合(存在集合A滿足A不包含於自己)。

公理6，連同1~4，按照馮諾依曼的提出（根據皮亞諾公理系統對自然數的描述）可以建立自然書數集N0的標準模型。

公理7在建立分析學時並不使用之。