現代數學一般是指1 9世紀30年代以後誕生的數學,它包括非歐幾何、抽象代數、集合論、拓樸學、泛函分析、數理邏輯、數學基礎等內容。

數學有多種分法。有初等數學和高等數學之分。也可分為，應用數學和理論數學。還有分法，代數，幾何，解析幾何。幾何還分為平面和立體幾何。

作為一名數學愛好者，常常為現代數學的深度發展、廣泛應用而感到興奮不已，也為近現代以來輝煌而宏大的數學發展史，由衷的讚歎。

數學發展到現在，已經成為科學世界中擁有100多個主要分支學科的龐大的“共和國”。大體說來，數學中研究數的部分屬於代數學的範疇；研究形的部分，屬於幾何學的範籌；溝通形與數且涉及極限運算的部分，屬於分析學的範圍。這三大類數學構成了整個數學的本體與核心。在這一核心的周圍，由於數學透過數與形這兩個概念，與其它科學互相滲透，而出現了許多邊緣學科和交叉學科。

1，數學基礎：數理邏輯、公理化集合論、證明論、遞迴論、模型論等

2，幾何：歐氏幾何（包括平面幾何與空間幾何）、非歐幾何（包括羅氏幾何與黎曼幾何）、解析幾何、微分幾何、射影幾何、分形幾何、仿射幾何等

3，代數：初等代數、線性代數、抽象代數（包括群論、環論、域論等）、多項式代數、同調代數、張量代數等

4，拓撲學：幾何拓撲、代數拓撲、微分拓撲、纖維叢論、同調論、同倫論等

5，數論：初等數論、解析數論、代數數論、機率數論、計算數論等

6，廣義分析學：微積分（包括微分學、積分學、極限理論等）、函式論（包括實變函式論與複變函式論等）、泛函分析、計算數學、微分方程（包括常微分方程與偏微分方程）、積分方程、非標準分析、實分析、複分析等

7，應用數學：機率論、數理統計、運籌學等

8，其它：模糊數學、離散數學、代數幾何等

主要透過建立數學模型分析解決自然科學、社會科學以及工程技術中的實際問題，並在這一過程中逐步形成新的數學理論和方法，包括微分方程與動力系統、機率論、組合論以及運籌學等研究領域。

一方面，自然科學和社會科學中的不斷湧現的問題為應用數學的發展提供了重要的源泉。伽利略曾說“自然界這部鉅著僅可以被那些懂得它的語言的人讀懂，而這種語言就是數學”。比如，牛頓就是為了研究天體運動規律而發明了微積分，經常為人們稱為應用數學的最高典範。現在，微積分已經成為幾乎所有近代科學的基礎。

另一方面，應用數學的發展也推動了科學和社會的進步。數學對自然科學的發展具有深遠的影響。比如，當代任何一門成熟科學的研究都需要用數學語言來描述，在相應的數學模型的框架下來表達解決問題的思想和方法。數學的發展還促進了技術領域的進步。電子計算機的發明以及當今計算技術的發展均以數學為基礎。從飛行器的模擬設計到醫學掃描診斷，從網際網路的搜尋技術到資訊保安技術，這些技術的發展都需要數學研究成果的支援。而應用數學在經濟金融領域同樣也發揮著不可忽視的重要作用。各種現代經濟理論的建立均以數學作為基本工具，力圖用數學的理論來描述經濟發展規律。事實上，有些經濟學家本身就是數學家，比如諾貝爾經濟學獎獲獎者納什就是出色的數學家。

一是不同分支交錯發展．多種理論高度綜合，數學逐步走向統一的趨勢．自從克萊因用“群”的觀點統一了當時的各種度量幾何以後，許多數學家試圖提出各種不同的方案來統一整個數學。

1938年法國布林巴基學派提出“數學結構”的觀點來統一整個數學，1948年愛倫伯克和桑·麥克倫提出用範疇和函子理論作為統一數學的基礎．二是邊緣學科、綜合性學科和交叉學科與日俱增的趨勢．現代數學在代數、幾何、分析等原有基礎學科的鄰接領域產生出一系列的邊緣學科．綜合性學科是以多學科的理論知識和方法對特定的數學物件進行研究．數學與其他學科產生許多交叉學科，如計算物理學、生物數學、經濟數學，數理語言學等。

20世紀60年代是數學研究思想發展的一個高峰時期，這一時期非標準分析、模糊數學、突變理論和泛系理論等．非標準分析使無窮小重返數壇，微積分的基礎又得到新發展．突變理論使數學由研究連續變數和平滑過程發展到研究不連續(突變)過程．模糊數學使數學由研究精確領域發展到研究模糊領域和模擬人腦功能的領域．泛系理論應用廣泛，在科學方法、思維科學數學化方面有重要意義．現代科學技術和生產實踐將向數學提出更多、更復雜的新課題，必將產生許多更深刻的數學思想和更強有力的數學方法，數學將向更高、更廣、更深的領域去探索、去開發。

其中，拓撲領域的著名猜想，龐加萊猜想於2006年為俄羅斯數學家佩雷爾曼所證明；數論領域的孿生素數猜想由華人數學家張益唐於2013年給出了近似證明；這是數論和拓撲領域的重大突破；另外，日本數學家望月新一於2012年給出的ABC猜想證明，雖然沒有被數學家正式公認，但很可能其透過對ABC猜想的證明，已經建立起了一套新數論研究體系，其研究成果非常值得關注。

數學發展至今，已經成為一個分支眾多，結構複雜的知識體系，並且仍然在不斷髮展中。數學研究有兩個大的範疇，即基礎數學(也稱為純粹數學)和應用數學。那麼區分它們的標準是什麼呢? 簡而言之主要看其問題的直接來源是客觀實際還是數學內部。由數學內部矛盾引出的問題發展起來的數學分支屬純粹數學。問題來自客觀世界的屬應用數學，然而還有些問題的界限並非很明顯。

基礎數學主要包括代數與數論、幾何與拓撲以及分析三大部分，是整個數學學科的理論基礎。從數學發展史中我們可以看到數學問題的最初產生來自客觀世界, 以解決實際問題為目的，之後則按其自身的規律發展, 以至於原來的實際背景被淡化，逐漸地脫離原來的問題成為了邏輯上完整的體系。發現問題，提出問題，從特殊現象出發，歸納成抽象理論並加以推廣是基礎數學發展的主要模式。在這種模式下，基礎數學的每個領域都形成了獨特的方法和技巧。而當多個領域中的概念、方法和技巧相互結合在一起時，有時會給數學家們帶來意外的驚喜，這當中最為著名的例子之一就是幾何分析的發展。幾何分析是幾何與偏微分方程交叉產生的研究領域，它真正獨立成為基礎數學的一個主流學科主要由於丘成桐及其合作者在20世紀70年代的工作，這些成就改變了對於微分方程在微分幾何中的作用的看法。而丘成桐本人也於1982年獲得了數學菲爾茲獎。

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還有組合數學，數學分析，泛函分析，群論，群表示論，交換代數，上同調，範疇學，圖論，代數幾何，算術幾何運籌學，拓撲學，同倫，霍奇理論，自動機，小波，分形，實變函式，複變函式，積分變換。。。。非常多的數學分枝，難度各有不同