在圖論中，頂點數量固定以後，如果不存在重複的邊，那麼n個頂點之間可以有n（n-1）/2條邊，這樣的圖叫做完全圖。這個可以根據組合數學很容易算出來，因此你的問題顯得不是那麼清晰，我感覺你是再問完全圖的結構。

很明顯，如果你不是考慮完全圖，那麼平面上的圖最多可以有無窮多個頂點，頂點與頂點之間你可以用線段依次連線起來，這個的樹圖當然是平面圖了。難道你是想問這個問題嗎？

不過，你的提問有點模糊，我不理解的是什麼叫一個完整的平面圖？具體是什麼意思呢？還希望你仔細思考一下你的提問是不是有不夠明確的地方。

不過，看起來你肯定是在問圖論的問題，這點應該是沒錯的。

另外，進一步來說，如果你對圖論中頂點的染色問題有興趣，可以學習一點染色多項式的知識。相關的知識在組合數學中是非常深邃的，染色問題的一個典型的案例就是證明地圖的四色原理，這個問題到目前為止還沒有被人類用純粹數學的方法解決。如果你是一個年輕人，那麼，既然你已經提出了這個圖論問題了，我希望你能繼續在這個方向上思考下去，為數學的發展做出自己的貢獻，那真是極好的。

當你在平面上繪製任意圖形時，都會產生一些點或是“頂點”（v），一些路徑或是“邊”（e），和一些區域或是“面”（f）。這些面是由各邊所形成的白色區域，我們通常把整個圖形周圍的空間作為一個面。

例如，這裡有4個頂點，6條邊和4個面:

當你有零維物體 (頂點)，一維物體(邊)，和二維物體(面)的時候，你立即用交替符號把它們加在一起。偶數得到a+，奇數得到a-。這是尤拉在拓撲學中的深刻見解之一，現在被稱為尤拉特性。我們很快就會明白它為什麼這麼經典了。

方程是這樣的：

χ=v−e+fχ=v−e+f

在我們剛剛看過的例子中，

χ=4−6+4=2χ=4−6+4=2.

讓我們再試試其他例子：

可以看到v=8v=8個頂點，e=12e=12條邊，f=6f=6個面——別忘了最外面的那個區域。所以：

χ= 8−12 + 6 = 2χ= 8−12 + 6 = 2

啊哈又是2，這肯定是個巧合對不對。讓咱們來個難的，作為學霸的你就小享受一下:

這個圖形有20個頂點，30條邊(自己數！)和12個面。那麼,χ是多少呢?沒錯，還是2。

尤拉的觀點是，只要你的圖形是連通的，也就是說你可以從任意頂點到任意路徑，這個值總是等於2。你的圖形可以有3個頂點或是1萬億個頂點，只要能在平面上畫出來，它的頂點數、面數、稜數就會存在這樣特有的規律。

這是為什麼呢?

你可以透過很多方法加以驗證，但是有一種我認為是相當直觀的。如果在圖中沒有圓圈，也就是沒有沿著邊走的路線，然後不按原路線返回出發點，那麼就生成了所謂的森林。如果將森林也連線起來，那麼就生成了樹。樹的頂點總數總是會比邊數多1——透過歸納法很容易證明，如果你學過一些演算法的話，就更不用說了。除了外部區域以外，它也不構成任何區域。所以對於樹來說，尤拉特性總是2。

v−(v−1)+1=2v−(v−1)+1=2

現在，當你開始新增邊數的時候，每一條額外的邊都不會改變頂點的數量，增加1條邊，同時也就增加了1個面，因為它正好把一個面分成了兩部分，所以尤拉特性χ不變。

因為每個連通圖都可以透過生成樹和新增邊數進行繪製，搞定。

這和K5有什麼關係呢?

如果你在平面上畫出5個點，並透過路徑把它們連線在一起，你就會得到5個點，10條路徑，所以必然是7個面，因為x=2。但這是毫無意義的:每個面都至少有3條邊，每條邊都最多屬於2個面。所以必然是3f≤2e3f≤2e，而21>20。出現這樣的矛盾意味著K5不是平面圖。

還有很多其他圖也不是平面的，其中一個是k3,3，這張圖有三個點和另外三個點相連。庫拉脫斯基（Kuratowski）證明了k5和k3,3這兩張圖是非平面圖形的唯一理由是：如果你的圖包含基本非平面圖中的任何一個作為它的子圖，那麼這個圖就是非平面圖。反之，就是平面圖。

這個美麗的定理被延伸到了很多方面，用來描述可以繪製在其他表面上的圖形，並最終形成了一個驚人的定理：羅伯斯-西摩定理。在我看來，這是20世紀數學界的最高成就之一，它實在太有魅力了。