從我們學過的《多元微積分》中，可以提取出如下記憶的碎片：

如果 n 維歐氏空間 Rⁿ 上的 多元函式 f: Rⁿ → R，存在任意階連續偏導，則稱 f 為光滑函式。將 Rⁿ 上 的全體光滑函式，記為：C^∞。

給定任意 光滑 f ∈ C^∞，在任意一點 x = (x¹, ..., xⁿ) ∈ Rⁿ 處的 增量函式（Δx = (Δx¹, ..., Δxⁿ) ∈ Rⁿ）：

在 x 點的 附近的鄰域 U 內，近似於 一個 稱為 f 的（全）微分 的 線性函式：

即，有（全）微分式：

其中，o(ρ) 稱為 ρ 的無窮小量，滿足：

注：這裡 變數 的上標，和 變數下標一樣，表示變數序號而非指數。

設，e₁ = (1, 0, ..., 0), ..., e_n = (0, ..., 0, 1) 是 Rⁿ 的標準單位正交基，則 Δx 可以表示為：

Δx = Δx¹e₁ + ... + Δxⁿe_n

再根據 線性函式的性質（對於任意 Δx, Δy ∈ Rⁿ, λ ∈ R）：

A(Δx + Δy) = A(Δx) + A(Δy)

A(λΔx) = λA(Δx)

有，

df = A(Δx) = A(Δx¹e₁ + ... + Δxⁿe_n) = Δx¹A(e₁) + ... + ΔxⁿA(e_n)

當 A 確定是，A(e₁), ..., A(e_n) 都是 常數，令，K₁ = A(e₁), ..., K_n = A(e_n)，於是 f 的微分 可以改寫為：

df = K₁Δx¹ + ... + K_nΔxⁿ

對於任意 Kᵢ，令 Δxʲ = 0 (j ≠ i) ，則，

|Δx| = √(Δx⋅Δx) = √(Δx¹Δx¹ + ... + ΔxⁿΔxⁿ) = √(Δxⁱ Δxⁱ ) = |Δxⁱ |

進而 從 f 的 微分式 得到：

Δf = KᵢΔxⁱ + o(|Δxⁱ |)

Kᵢ = Δf /Δxⁱ - o(|Δxⁱ |)/Δxⁱ

然後，等式兩邊取極限，有，

令，

則，最終 f 的微分，改寫為：

特別地，當 n = 1，即， f 是一元函式，時，有，

df = f" Δx

考慮 R¹ 上的 一元函式 y = x，y 的微分為，

dy = y"Δx = 1Δx = Δx

而，因為 y = x，所以，

dy = dx

於是我們得到：

最終， f 的微分 改寫為：

可以證明如下引理：

對於經過 x ∈ Rⁿ 點 的 任意 光滑函式 f ∈ C^∞ ，存在 一組光滑函式 gᵢ ∈ C^∞ （i = 1, ..., n） 滿足：

並且，對於 x 附近鄰域 U 內任意 一點 u = (u¹, ..., uⁿ) ，都有：

令 u = x + Δx，則 上面的引理，可改寫為：

如果，將 dx¹, ..., dxⁿ 看做 一組基，C^∞ 中的 光滑函式 標量，則 上面的結果 表明：任意一個 x 點處 的增量函式 Δf，在 U 內可以被 dx¹, ..., dxⁿ 線性表示。

於是，以 dx¹, ..., dxⁿ 為基 以 C^∞ 中的 光滑函式 為 標量，可以張成 一個 n維線性空間，記為 V¹。它是 U 內 x 點處的 增量函式 的 全體。對於任意 ω ∈ V¹，都有：

ω = g₁dx¹ + ... + g_ndxⁿ

稱為 1 次微分形式。

ω₁ ∧ ω₂

滿足（對於 任意 ω₁, ω₂, ω₃ ∈ V¹, g ∈ C^∞）：

結合律： (ω₁ ∧ ω₂) ∧ ω₃ = ω₁ ∧ (ω₂ ∧ ω₃) = ω₁ ∧ ω₂ ∧ ω₃；

與數乘可交換：(gω₁) ∧ ω₂ = g(ω₁∧ω₂) = ω₁ ∧ (gω₂) ；

分配律：(ω₁ + ω₂) ∧ ω₃ = ω₁ ∧ ω₃ + ω₂ ∧ ω₃, ω₁ ∧ (ω₂ + ω₃) = ω₁ ∧ ω₂ + ω₁ ∧ ω₃；

反交換律：ω₁ ∧ ω₂ = - ω₂ ∧ ω₁；

對於 任意 ω ∈ V¹，根據反交換律 有：

ω ∧ ω = - ω ∧ ω

進而，

ω ∧ ω + ω ∧ ω = 0

(1 + 1)ω ∧ ω = 0

2ω ∧ ω = 0

ω ∧ ω = 0

因此，

dxⁱ ∧ dxⁱ = 0

這樣以來，對於任意 兩個 1 次微分形式：

ω₁ = g¹₁dx¹ + ... + g¹_ndxⁿ

ω₂ = g²₁dx¹ + ... + g²_ndxⁿ

之間的 楔乘 為：

令，

得到：

這個稱為 2 次微分形式。

類似地，透過 k 個 1次微分形式 的 楔乘，可以得到 k 次 微分形式：

將，k 次微分形式的全體，記為 V²，它是 以 C(n, k) 個：

為 基 的 C(n, k) 維 線性空間。

由於 dxⁱ ∧ dxⁱ = 0，所以，當 k = n 時，Vⁿ 的積 只有一個：

dx¹ ∧ ⋯ ∧ dxⁿ

而，當 k > n 時，Vᵏ = {0}。

為了，一致性，我們令 V⁰ = C^∞，顯然 1 是 V⁰ 的基，有，

1 ∧ dxⁱ = dxⁱ

而 光滑函式：

就是， 0 次 微分形式。

回到開始，觀察，光滑函式 f 微分 df，對於 每一個 f ∈ V⁰，都有一個 df ∈ V¹，因此 微分其實就是， V⁰ 到 V¹ 的運算元，即，

利用，這個結論，我們可以將 微分運算元擴充套件到 d: Vᵏ → Vᵏ⁺¹，定義如下：

特別地，d(dxⁱ ) = 0，因為 dxⁱ = 1dxⁱ ，故，

d(dxⁱ )= d1∧dxⁱ = 0∧dxⁱ = 0⋅1∧dxⁱ = 0(1∧dxⁱ) = 0 dxⁱ = 0

事實上，對於任意 k 次 微分形式 ω 都有：

d(dω) = 0

這稱為 龐加萊 引理。

利用，微分形式我們可以得到 斯托克斯（Stokes） 公式： 設 D 是 Rⁿ 上 一個 k ( 0< k ≤ n) 維度 區域， ∂D為 D 誘導定向的邊緣，則 對於 任意 k - 1 次微分形式 ω，都有：

以下，令 x = x¹, y = x², z = x³。

當 n = 2, p = 2 時，對於 1次微分形式，

ω = P dx + Q dy

有，

dω = dP ∧ dx + dQ ∧ dy

= (∂P/∂x dx + ∂P/∂y dy) ∧ dx + (∂Q/∂x dx + ∂Q/∂y dy) ∧ dy

= ∂P/∂x dx ∧ dx + ∂P/∂y dy ∧ dx + ∂Q/∂x dx ∧ dy + ∂Q/∂y dy ∧ dy

= 0 - ∂P/∂y dx ∧ dy + ∂Q/∂x dx ∧ dy + 0

= (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dx ∧ dy

於是，Stokes 公式 為：

這就是 《高等數學》中的 格林公式。

當 n = 3， p = 2 時，則 對於 1次微分形式，

ω = P dx + Q dy + R dz

有，

dω = dP ∧ dx + dQ ∧ dy + R ∧ dz

= (∂P/∂x dx + ∂P/∂y dy + ∂P/∂z dz) ∧ dx + (∂Q/∂x dx + ∂Q/∂y dy + ∂Q/∂z dz) ∧ dy + (∂R/∂x dx + ∂R/∂y dy + ∂R/∂z dz) ∧ dz

= P/∂y dy ∧ dx + ∂P/∂z dz ∧ dx + ∂Q/∂x dx ∧ dy + ∂Q/∂z dz ∧ dy + ∂R/∂x dx ∧ dz + ∂R/∂y dy ∧ dz

= - P/∂y dx ∧ dy + ∂P/∂z dz ∧ dx + ∂Q/∂x dx ∧ dy - ∂Q/∂z dy ∧ dz - ∂R/∂x dz ∧ dx + ∂R/∂y dy ∧ dz

= (∂Q/∂x - P/∂y)dx ∧ dy + (∂R/∂y - ∂Q/∂z)dy ∧ dz + ( ∂P/∂z - ∂R/∂x) dz ∧ dx

於是，Stokes 公式 為：

這就是 《高等數學》中的 斯托克斯公式。

當 n = 3, p = 3 時，對於 2次微分形式，

ω = P dx ∧ dy + Q dy ∧ dz + R dz ∧ dx

有，

dω = dP ∧ dx ∧ dy + dQ ∧ dy ∧ dz + dR ∧ dz ∧ dx

= ∂P/∂z dz ∧ dx ∧ dy + ∂Q/∂x dx ∧ dy ∧ dz + ∂R/∂y dy ∧ dz ∧ dx

= (∂Q/∂x + ∂R/∂y + ∂P/∂z) dx ∧ dy ∧ dz

於是，Stokes 公式 為：

這就是 《高等數學》中的 高斯公式。

當 n = 1， p = 1 時，對於 0 次微分形式，

ω = F(x)

令 f(x) = F"(x) 有，

dω = F"(x) dx = f(x) dx

於是，再令 D = [a, b]，Stokes 公式 為：

這就是 《高等數學》中的 牛頓-萊布尼茲公式。

以面，用 微分形式 表示 重積分，例如，

比《高等數學》中 的 重積分的表示方法，例如，

更加合理。因為，當 x = x(u, v), y = y(u, v) 時，有：

偰乘規則剛好 符合 重積分的 換位法。

最後，令 G(V) 是 V⁰, V¹, ..., Vⁿ 的直和，即，

G(V) = V⁰ ⊕ V¹ ⊕ V² ⊕ ⋯ ⊕ Vⁿ

則 ∧ 可自然地擴充套件到 G(V) 上，這稱為 外代數 或 Gassmann 代數。同樣 微分運算元 d 也可以擴充套件到 G(V) 上。

小石頭，在回答“外代數那些內容看不懂？” 中 給大家介紹 過 透過 反對稱的張量 構造 外代數 例項 的方法，而這裡， 微分形式 又是 另外 一個 重要的 外代數 例項。

以上，小石頭 僅僅是 向大家展示了 微分形式的 定義 和 最基本的性質 和 應用， 微分形式 的 最重要應用 是 嘉當 在 《微分幾何》 中引入的 活動標架，陳省身和老師 都是玩 微分形式的 大師。關於 《微分幾何》有很多有趣的內容，以後有機會再慢慢講給大家！

一個函式的微分dy=y"dx=f"(x)dx,其中f"(x)dx就是微分形式。本題：找一個函式的微分=左端式子。如：(1/√ x)dx=2d(√ x)( 因為d(√ x)=(√ x)"dx=1/2(√ x)dx )