首先還是要說一些背景性的東西。數學工作是靠數學證明來完成的，每個證明總得有個出發點，不然證明就無法開始。因此，整個數學必然要有一些不證自明的出發點，由它們出發來構建整個數學大廈。這些出發點就是數學公理。但公理為什麼是正確的呢？這時似乎就只能求助於我們的直觀。那些直觀上非常簡單，甚至根本無法想象它不對的那些數學命題就能夠作為公理，比如歐式幾何的五條公理：任意兩點能連成一條直線、所有直角都相等...等等。這些都是看起來很trivial甚至不值一提的命題，但正是因為這樣，它們才足夠作為公理——因為它們看起來不可能錯。
但人們逐漸發現，靠直觀的公理還是有可能會錯。比如集合論的公理（見 LLLBK：據說羅素悖論有解，如何解？）會導致矛盾，歐式幾何的第五公理雖然說不上錯但完全可以被修改為非歐幾何。直覺總是有可能不靠譜的，因此有些形式主義的數學家（如希爾伯特）希望把直覺完全排除出數學。這時，誰來保證公理為真？形式主義者會說，公理沒有什麼真假可言，也沒有什麼意義，它們僅僅是人為約定的符號組成的符號串而已，數學家所做的工作無非就是按照既定的推理規則從一個符號串推出另一個符號串。
這就像下象棋一樣，每個棋子有自己的移動規則，車走直線，馬會被拐馬腳，炮需要支炮架才能攻擊，這樣的理解有助於我們記住每個棋子的移動規則。但即使不這樣理解，也不影響一個人會下象棋。他不必把棋子“車”理解為戰車，“馬”理解為馬，“炮”理解為炮，“帥”理解為軍隊的大帥，他也可以學會下象棋並且下的不錯。數學家不必理解那些數學符號的“意義”，只需要知道該如何按照既定的推導規則推理下去就行了。這樣一來，數學公理系統就變為了純形式的符號系統。
上述的是哥德爾第一不完全性定理，實際上還有一個第二不完全性定理。這個第二定理是讓希爾伯特非常頭疼的定理。眾所周知，希爾伯特提出了23個希爾伯特問題，其中第二個問題就是算術系統的一致性問題。一致性，即系統不會推出矛盾。矛盾能推出一切。事實上，上述定理的證明中隱含的使用了PM系統的一致性——如果PM系統不一致，那它就能推出一切公式，也包括G。因此，上述定理實際上證明的是，如果PM是一致的，那麼存在G為真但它不可證。因此，如果PM系統能證明它自身的一致性，那麼實際上就已經證明了G為真，而這就違反了上述第一不完全性定理——PM證不出G。因此可以得出結論：PM無法證明自身的一致性。
在哲學上，哥德爾認為他這個定理支援了數學的柏拉圖主義——數學真理不依賴於人，是客觀存在的。哥德爾定理的證明還影響了許許多多的方面，比如他這個定理的證明直接開啟了遞迴論、模型論等等重要的邏輯學分支，並且直接啟發圖靈證明了停機定理。（哥德爾非常稱讚圖靈的工作，這是不多見的）
有些人認為，這個定理似乎表明人工智慧是不可能超越人類的。因為再複雜的人工智慧本質上還是一個計算機程式，而程式其實就是一個形式系統，哥德爾定理表明有些東西形式系統推不出，但人類能推出。但其實也未必如此，因為這個定理並未表明人的智慧不能被形式系統化。哥德爾本人也並沒有認為他的這個定理支援了這樣一個結論。
首先還是要說一些背景性的東西。數學工作是靠數學證明來完成的，每個證明總得有個出發點，不然證明就無法開始。因此，整個數學必然要有一些不證自明的出發點，由它們出發來構建整個數學大廈。這些出發點就是數學公理。但公理為什麼是正確的呢？這時似乎就只能求助於我們的直觀。那些直觀上非常簡單，甚至根本無法想象它不對的那些數學命題就能夠作為公理，比如歐式幾何的五條公理：任意兩點能連成一條直線、所有直角都相等...等等。這些都是看起來很trivial甚至不值一提的命題，但正是因為這樣，它們才足夠作為公理——因為它們看起來不可能錯。
但人們逐漸發現，靠直觀的公理還是有可能會錯。比如集合論的公理（見 LLLBK：據說羅素悖論有解，如何解？）會導致矛盾，歐式幾何的第五公理雖然說不上錯但完全可以被修改為非歐幾何。直覺總是有可能不靠譜的，因此有些形式主義的數學家（如希爾伯特）希望把直覺完全排除出數學。這時，誰來保證公理為真？形式主義者會說，公理沒有什麼真假可言，也沒有什麼意義，它們僅僅是人為約定的符號組成的符號串而已，數學家所做的工作無非就是按照既定的推理規則從一個符號串推出另一個符號串。
這就像下象棋一樣，每個棋子有自己的移動規則，車走直線，馬會被拐馬腳，炮需要支炮架才能攻擊，這樣的理解有助於我們記住每個棋子的移動規則。但即使不這樣理解，也不影響一個人會下象棋。他不必把棋子“車”理解為戰車，“馬”理解為馬，“炮”理解為炮，“帥”理解為軍隊的大帥，他也可以學會下象棋並且下的不錯。數學家不必理解那些數學符號的“意義”，只需要知道該如何按照既定的推導規則推理下去就行了。這樣一來，數學公理系統就變為了純形式的符號系統。
上述的是哥德爾第一不完全性定理，實際上還有一個第二不完全性定理。這個第二定理是讓希爾伯特非常頭疼的定理。眾所周知，希爾伯特提出了23個希爾伯特問題，其中第二個問題就是算術系統的一致性問題。一致性，即系統不會推出矛盾。矛盾能推出一切。事實上，上述定理的證明中隱含的使用了PM系統的一致性——如果PM系統不一致，那它就能推出一切公式，也包括G。因此，上述定理實際上證明的是，如果PM是一致的，那麼存在G為真但它不可證。因此，如果PM系統能證明它自身的一致性，那麼實際上就已經證明了G為真，而這就違反了上述第一不完全性定理——PM證不出G。因此可以得出結論：PM無法證明自身的一致性。
在哲學上，哥德爾認為他這個定理支援了數學的柏拉圖主義——數學真理不依賴於人，是客觀存在的。哥德爾定理的證明還影響了許許多多的方面，比如他這個定理的證明直接開啟了遞迴論、模型論等等重要的邏輯學分支，並且直接啟發圖靈證明了停機定理。（哥德爾非常稱讚圖靈的工作，這是不多見的）
有些人認為，這個定理似乎表明人工智慧是不可能超越人類的。因為再複雜的人工智慧本質上還是一個計算機程式，而程式其實就是一個形式系統，哥德爾定理表明有些東西形式系統推不出，但人類能推出。但其實也未必如此，因為這個定理並未表明人的智慧不能被形式系統化。哥德爾本人也並沒有認為他的這個定理支援了這樣一個結論。