無理數和有理數的區別在於無限不迴圈與可迴圈。如果能夠確定迴圈，那麼肯定是有理數；如果不能確定迴圈，那麼存在有理數或無理數的可能。π也無法確定。

圓周率求值的方法決定了它一定是無理數。除非哪天你發現新的方法。

另外，圓周率不過是一個工具。何必糾纏它有理還是無理。

沒有任何可能性！原因很簡單，數學家們早就證明了π確實是無理數，證明過程並不太複雜，這裡不再詳述，有興趣的簡單搜尋就能找到答案！

所以，既然已經證明了π是無理數，它就是無理數，不可能是有理數！不過很多人對π是無理數感到有些不解。

數學上的定義，π就是圓周長與直徑的比，圓周長和直徑都是線段，線段的長度不應該是固定的嗎？它們比值怎麼會是無理數呢？

很明顯，很多人把“固定的數”與“無理數”弄混了，任何數都是固定的數，無理數也是如此，π是固定的數與1是固定的數本質上是一樣的，同理，根號2也是固定的數！不能因為無理數是無限不迴圈的就說它們是不固定的數！

另外需要明白一點，1和1釐米（或者π和π釐米，任意數都一樣）有本質區別，1是數學定義，它就是1，而1釐米是現實或許物理上的定義，你不但畫不出π釐米的線段，也畫不出正好是1釐米的線段，說白了，你畫不出任何精確長度的線段，因為誤差是永遠存在的，不可能存在絕對的精確值！

π是無理數，某中意義上也說明了沒有真正的圓，說白了，圓就是正N邊形（N趨於無窮大）！

pi有多種演算法，雖然過程不同但是結果殊途同歸，最終結果都是指向無理數，多數人能記得的方法一般是把圓內接等多邊形與外接等多邊形，當內接與外接多邊形面積或者周長完全相等時這兩個多邊形就完全重合並且成了一個圓，然而無論這兩個多邊形有多少邊時它們都不會重合，只有當它們有無數條邊的時候才會重合，假設圓的周長是1，那麼這個多邊形的周長要達到1，只能是無數條邊，所以pi不可能是有理數

Pi 不但是無理數而且還是超越數。Pi 是無理數或超越數的證明可以參考數論書，Pi 的無理性證明明顯比 e 的無理性證明難，而且 Pi 的超越性證明就更難些了。即便如此，Pi 的超越性早在1882年就被德國數學家林德曼證明了，無理性的證明只會更早。

圓周率π是數學和物理中十分常見的常數，它經常出現在各種數學物理方程中，就連愛因斯坦廣義相對論的引力場方程中也有圓周率的身影。圓周率的定義很簡單，即為圓的周長與其直徑之比。

不過，我們並不能根據圓周率的定義來直接測量出圓周率。因為圓的周長和直徑不可能十分精確地測出來，這樣就無法得到圓周率的精確值。

那麼，圓周率是如何得到的呢？

最初，數學家透過割圓術來計算圓周率。透過做圓的正內接多邊形和正外接多邊形，邊做得越多，正多邊形越接近於圓。透過計算正多邊形的邊長或者面積，可以算出圓周率的上下限。1500多年前的中國數學家祖沖之就是透過這種方法準確算出圓周率小數位的前七位，這個精度曾經領先世界一千年。

此後，數學家發現圓周率可以用無窮級數來表示，常見的公式包括：

項數計算得越多，圓周率也算得越精確。目前，結合計算機與收斂速度非常快的無窮級數，人類已經算出了圓周率小數位的前31.4萬億位。不過，圓周率一直沒有算到盡頭，最後一位是什麼人們不得而知。

那麼，圓周率是否能夠算盡呢？

儘管圓的周長和直徑都是存在的，但它們都不可能同時是有理數。數學家透過多種不同的方法證明，圓周率是算不盡的，它的小數位是無限不迴圈的，這是一個無理數。因此，圓的周長和直徑之中最多隻有一個有理數，例如，圓的直徑為1，周長為π；圓的直徑為1/π，周長為1。

另外，圓周率也不是隻有在十進位制下才算不盡。事實上，除了nπ進位制，其他進位制下的圓周率也都是無理數。可以說，圓周率的這種特性是我們宇宙時空的一個基本性質。倘若宇宙中有外星文明，他們也會發現同樣的結論。

雖然圓周率算不到最後一位，但假設圓周率被算盡了，會出現怎樣的後果呢？圓還會存在嗎？我們所生活的宇宙會發生什麼變化？

在這種情況下，絕對光滑的曲線是不存在的，圓並非完全光滑的，它們其實是由有限邊的正多邊形所組成。透過割圓術，可以讓圓分割到盡頭。

圓周率是有理數，隨之會帶來的一個巨大問題是微積分不會成立，與微積分有關的公式都是錯誤的。現有的數學公理體系都是錯誤的，數學的嚴密邏輯存在巨大漏洞，人類數千年來構建的數學大廈將會倒塌。從另一方面來說，這將會開啟一個數學的黃金時代，還有一片更加廣闊的“數學大陸”有待發現。

圓周率的變化將會深刻地影響到我們的宇宙，因為我們現在的宇宙是基於圓周率為無理數的前提而存在的。如果圓周率成了有理數，時空的性質將會發生變化，宇宙中的各種常數和物理定律也有可能發生變化，這甚至可能會導致宇宙無法形成。

當然，在我們的宇宙中，圓周率不可能被證明是有理數。數學不像物理學，物理常數需要基於測量（被認為定義的真空光速是特別的），而數學常數是完全確定的數值，在邏輯上可以嚴格推匯出來。圓周率被算盡的情況只有可能發生在其他平行宇宙中（如果平行宇宙存在的話），那種宇宙的物理定律與我們完全不一樣。

根本沒有可能，因為π是無理數，有嚴格的數學證明。

最早，認為π是無理數的是古希臘的亞里士多德，他斷言：圓的周長與直徑不可共度！

所謂，共度，指的是：對於 圓的周長 C 和 直徑 D，存在 某個 長度為 r 的 尺子，分別去測量 C 和 D ，得到的測量結果，都剛好 整數個 r，於是說 r 是 C 和 D 的公共度量數。

C 和 D 可共度，就是 r 存在， 這時， C = a⋅r， D = b⋅r，a，b 為整數，於是 C/D = a⋅r/b⋅r = a/b 為一個有理數；C 和 D 不可共度，則 r 不存在， C/D 不能表示為 a/b ，是無理數。

德國數學家 約翰·海因裡希·蘭伯，於 1766年 第一個證明 了π 是無理數，他的證明方法如下：

首先，根據，麥克勞林公式，

我們可以很方便地得到：

於是，

其中，

其中，

其中，

其中，

到這裡，規律已經很明顯了！

我們，令 (n ≥ 2, k = k(n) = 2n -1)，

顯然，n = 2, 3, 4 時，即，前面的 θ₂, θ₃, θ₄ 都符合上式！我們來進一步化簡上式：

單看，分子有：

令，m = j + 1，然後再令 j = m，依次代入上式，得到 （令， k₊₁ = k(n+1) = 2(n+1) - 1 = 2n - 1 + 2 = k + 2）：

再看，分母：

令，m = i + 1，然後再令 i = m ，依次代入上式，得到：

然後，有：

其中，

這樣我們就得到了 tan x 的連分式：

然後，我們證明，當 x 是有理數時，tan x 一定是無理數，這裡用反證法。

若 x 是有理數，則 x = b/a ，不妨設，b, a 為正整數，且 a > 1，帶入 tan x 的連分式，有：

由於，b² 總保持不變，而 1a, 3a, 5a, 7a, ... 一直在增大，於是總存在 k = 2n - 1 使得 ka - b² > 1，於是：

而 k₊₁a > ka 於是 k₊₁a - b² > 1，所以：

於是：

進而得到：

不斷重複，我們可得到：

假設，tan x 是有理數，則 上面的 連分數 都是 有理數，於是，令，

其中， A₀ 和 A₁都是整數， 並且 A₀ > A₁ > 0。

變形上面的等式， 得到，

因為 k，a，b，A₀ ，A₁ 都是整數，所以 令 A₂ = kaA₁ - b²A₀，則 A₂ 也是整數，並且有， A₀ > A₁ > A₂ > 0。

不斷重複上面的過程，我們會得到一個無限的 嚴格遞減 正整數序列：

A₀ > A₁ > A₂ > A₃ > A₄ > ... > 0

可是，不管 A₀ 有多大，小於 A₀ 大於 0 的 正整數 總是有限的，不可能存在 一個上面的 無限序列，矛盾！ 故，假設 不成了，這樣我們就證明了：

當 x 是 有理數時，tan x 一定是無理數。

最後，上面命題的逆反命題是：

當 tan x 是有理數時，x 一定是無理數。

而，我們知道 tan π/4 = 1 是有理數，故， π/4 一定是無理數，從而 π = π/4 ⋅ 4，是 無理數 和 非零有理數 之積，是 無理數！

以上是基於初等數學的證明，比較繁瑣，美國數學家 伊萬·尼雲，在 1974年，給出了 一個非常優美的證明。

這裡，我們先引入 一個多項式 函式。

根據，牛頓二項式定理：

有：

等式兩邊同乘以 xⁿ/n! ，有：

令，t = i + n，再令 i = t，依次代數上式，有：

令，

讓 n ≥ 1， 我們得到 函式：

函式 f(x) 是 多項式，並且有如下特點：

由於，cᵢ 是 組合數（或 負組合數）所以 cᵢ 一定是 整數；當 0 < x < 1 時，0 < 1 - x < 1， 0 < xⁿ(1 - x)ⁿ < 1，於是 0 < f(x) < 1/n!；對於所有 k ≥ 0 , f⁽ᵏ⁾(x) 在 x = 0 或 1 時，都是 整數，證明如下：

當 0 ≤ k < n 時，

故 f⁽ᵏ⁾(0) = 0 是整數；當 n ≤ k ≤ 2n 時，

故 f⁽ᵏ⁾(0) = c_k⋅k!/ n! = c_k⋅k⋅⋅⋅(k-n) 是 整數；當 k > 2n 時，

故 f⁽ᵏ⁾(0) = 0 是整數。

由於，

所以，

故 f⁽ᵏ⁾(1) = (-1)ᵏf⁽ᵏ⁾(0) 也是整數。

然後，我們 正式 π 是無理數，因為 如果 π 是有理數，則 π² 有理數 乘以 有理數 還是 有理數，於是 只要 證明 π² 是無理數，可以了。這裡使用反證法。

假設 π² 是有理數，則 π² = a/b, 其中 a, b 均為 正整數。利用 f(x) 偶數階導數，定義另外一個多項式：

則：

於是，得到：

接下來是關鍵，考慮：

等式兩邊 除以 π， 有：

等式兩邊，同時 對區間 [0, 1] 定積分，令 該定積分為 S，有，

根據 f(x) 的性質 3，我們知道 F(1) 和 F(0) 都是 整數，故 S 為整數。

另一方面，由於 a, f(x) > 0 ，而 在 區間 (0, 1) 內 sin πx > 0， 所以 πaⁿf(x)sin πx 在 區間 (0, 1) 是正的，故 積分 S > 0。

再根據，f(x) 的性質 2，有，

由於，n! 是比 2aⁿ 增長更快的函式，

所以，總算是存在 足夠大 的 n ，使得 2aⁿ < n!，這時：

由於，0 和 1 之間不存在 整數， 所以 S 不可能 是 整數，這與 上面得到 S 是整數的結論 矛盾，假設不成了，於是 π² 是無理數。

當然，證明π是無理數，還有很多方法，以上 只是最流行的兩種。

你很聰明，想到了這一點，其實現在科學家也發現了，π不一定是無理數。

據美國格陵蘭島大學的愛斯基摩實驗室最新的研究成果，π的真實值不是一個客觀實在，而是取決於人的腦結構。

大部分人的腦結構無法理解π，所以說π是一個無理數。一小部分腦結構超常的人類，覺得π就是一個有理數。

科學就是這麼神奇。

按照割圓法計算圓周率的方法，如果π真的可以整除，那就說明“圓”其實是個多邊形，只是每條邊太短太短了，邊的數量太多太多了。

當螞蟻在一維爬行時候，想懟天空的事情，確實無法得到答案，你認為它不是無理數，它本來就是超越數，無須認同它是否是無理數，就像你一直告訴小學生三角形內角和是180，這話對嗎

總有煞筆在科學領域做這種無意義的假設。圓周率π，無限位，是由演算法決定的（最基本的割圓術，可以無限分割，既然可以無限分割，那麼精確度就永無止盡）