答案是：是的

要想說明這件事，首先需要弄清楚一一對映的概念。

對映通俗地講就是兩個集合之間元素的對應關係：首先有兩個集合A和B，如果對於A中的每一個元素x，都有B中唯一一個元素y與之相對應，這個對應法則就稱為A到B的對映，記為y=f(x)。

這裡需要強調一下，當你說一個對映的時候，一定要說清楚是從哪個集合到哪個集合的對映。比如我們說f是一個從集合A到集合B的對映，或者集合H到集合I的對映，如果你只說f是一個對映，這種說法是不完整的。

而一一對映，它更專業的名字叫做“雙射”，是一種特殊的對映。因為我們知道，對映也分為好幾種情況：

所以我們需要對不同的情況進行界定。有如下概念

單射的意思就是不同的元素對應過去的數也不同，換句話說，不能出現兩個不同的元素對到同一個數，如上圖中間那個對映就不是單射。

舉一個例子，比如y=x²，就不是R到R上的單射，因為對於兩個不同的數-1和1，對應過去都等於1，這就不滿足單射的定義了。

上圖中最左邊的圖就不是滿射，因為集合B中有個元素，它沒有A中的元素對應過來。

舉個例子，y=x²，同樣不是R到R上的滿射，因為對於R中的一個數-1，沒有R中的東西平方過來之後等於-1。

雙射就是我們理解的一一對映，即一個對一個，一把鑰匙配一把鎖。

所以要想證明一個對映是一一對映，需要進行兩步，第一證明它是單射，第二證明它是滿射。

下面就可以回答一下題主的問題了：

這個比較容易，在[0,2]用任意取兩個不同的數，因為都是正數，所以它們的平方也一定不同，這就說明了對映是單射。

對於[0,4]中的任何一個數y，√y一定在[0,2]裡面，並且√y的平方得到的結果就是y，這樣就找到了[0,2]中的元素對應過來得到y。

綜上兩條，這個對映既是單射又是滿射，所以一定是一一對映。

（剛剛看了 @數學救火隊長 的回答，深受感染，小石頭也談點自己的看法！）

所謂一一對應，就是雙射。關於 雙射（既是單射又是滿射）的定義 和 如何用定義 判定 對映 y = x² 在 集合 [0, 2] 上是雙射，@數學救火隊長 已經講的非常清晰明瞭了，小石頭這裡就不再重述，下面僅僅補充一些其它判別方法。

相關知識：

對於 任意 對映 f: A → B，如果存在 g: B → A 使得，

g∘f = idᴀ 且 f∘g = idʙ

則 稱 f 是 可逆對映，記 f⁻¹ = g 稱為 f 的逆對映。

其中，∘ 為 對映的複合運算，定義為：

(g∘f)(x) = g(f(x))

idᴀ（idʙ） 是 A（B）上的 橫的對映，定義為：

idᴀ(x) = x, x∈ A（idʙ(x) = x, x∈ B）

雙射判別法2：可逆對映 一定是 雙射。

就 對映 y = x²: A = [0, 2] → B = [0, 4] 來說，顯然 存在 z = √x: B → A 使得

z∘y = z(y(x)) = √(x²) = x = idᴀ

y∘z = y(z(x)) = (√x)² = x = idʙ

於是，y 可逆，根據 雙射判別法2，y 是 雙射。

這裡的相關知識後來被引入到《範疇論》中，大家有興趣可以 參考我在這裡：“數學範疇是什麼？”的回答。

@數學救火隊長 已經證明了，y 在 A 到 B 上 是 滿的，接下來我們用另外一種方法證明 y 是 單的。

因為，y(0) = 0² = 0，而 如果存在 x₀ 使得 y(x₀) = x₀² = 0，則 x₀ = √0 = 0，於是 0 和 0 在 y 下一一對應。因此 我們只需要 證明 y 在 A~ = (0, 2) 到 B~ = (0, 4) 下是 單射 就可以了。又因為 A~, B~ ⊂ R₊ = (0, +∞)，所以 我們只要證明，y 在 R₊ 上是單射，就行了。

相關知識：

對於 R₊ 中 任意 兩個 正實數 a, b，我們觀察，它們的積 a⋅b 一定也是 正實數，於是 a⋅b 仍然 屬於 R₊，這稱為 R₊ 對於 乘法運算 封閉，我們將 R₊ 和 乘法運算 放在一起，記為 ( R₊, ⋅)，稱為 群。

如果 群 ( R₊, ⋅) 上 的函式 f: R₊ → R₊ 可以保持 乘法運算，即，

f(a⋅b) = f(a)⋅f(b)

則稱 f 為 群同態。

定義集合：

ker f = {x ∈ R₊ | f(x) = 1}

稱為 同態核。

單射判別法2： 如果 群同態 f 的 同態核 ker f = {1}，則 f 必然是 單射。

首先，因為，

y(a⋅b) = (a⋅b)² = a²⋅b² = y(a)⋅y(b)

所以，y 是群同態。

其次，因為，

y(1) = 1² = 1

所以，

1 ∈ ker y

其實，我們可以證明 對於任意 群同態 f，1 一定屬於 ker f。

再次，如果存在 x₁ ∈ ker y，則，

y(x₁) = x₁² = 1

於是，

x₁ = ±1

而 x₁ ∈ R₊ 是正整數，故

x₁ = 1

這就證明了：

ker y = {1}

於是，根據 單射判別法2，y 一定是 單射。

還有一個判斷 y 是單射的方法。

相關知識：

如果 實函式 f 在 對於 區間 [a, b] 上 任意一點 x₀，都有：

則稱 f 在區間 [a, b] 上 連續。

對於 區間 [a, b] 上任意 兩點 x₁ < x₂，恆有，

f(x₁) < f(x₂) 或 f(x₁) > f(x₂)

則 稱 f 在 區間 [a, b] 上 ，單調遞增函式 或 單調遞減函式。單調遞增函式 和 單調遞減函式，統稱為 單調函式。

對於 在 區間 [a, b] 上 連續，則 區間 (a, b) 上 可導 的 實函式 f，對於任意 x ∈ (a, b)，如果恆有，

f(x) > 0 或 f(x) < 0

則 f 在 區間 [a, b] 上 是 單調遞增函式 或 單調遞減函式。

單射判別法3： 單調函式 一定是單射。

首先，根據極限的 ε-δ語言 定義，我們不難 證明：對於 任意 x₀ ∈ [0, 2]，有，

lim_{x → x₀} y = lim_{x → x₀} x² = x₀²

這說明，y 在 區間 [0, 2] 連續。

而 y" = (x²)" = 2x，對於 x ∈ (0, 2) 恆有 y"(x) > 0，故 y 在 [0, 2] 是 單調遞增函式，根據 單射判別法3，y 是單射。

下面是 單射 和 滿射 的另外一種 定義。

我們將，R 中的 全體 閉區間 這些閉區間 之間的 全體對映，以及上面定義的對映的複合運算，放在一起 稱為 一個範疇，這裡記為 R。

給定 範疇 R 中的 任意 對映 f: A → B，

如果 對於 R 中 的任意 閉區間 C，以及 任意 對映 g, h: C → A，都有 f∘g = f∘h ⇒ g = h（f 滿足 左消去律），則稱 f 為 單射。

如果 對於 R 中 的任意 閉區間 C，以及 任意 對映 g, h: B → C，都有 g∘f = h∘f ⇒ g = h（f 滿足 右消去律），則稱 f 為 滿射。

注意：

可以驗證 這個新定義 和 @數學救火隊長 給出的原定義，相互相容。

實際上，《範疇論》中，我們稱 閉區間為 物件，對映 為態射（或 箭頭），相應的，單射 和 滿射 分別被稱為 單態射 和 滿態射。

現在 看 對映 y = x²: A = [0, 2] → B = [0, 4]；對於 對映 g, h: C → A，如果 y∘g = y∘h，則，

y(g(x)) = g²(x) = h²(x) = y(h(x))

g(x) = √(h²(x)) = ±|h(x)|

因為 g(x), h(x) ∈ A = [0, 2]，所以 g(x), h(x) ≥ 0，故 |h(x)| = h(x)，g(x) 取正，即，

g(x) = h(x)，x ∈ C

得到 g = h，這說明 y 滿足 左消去律，y 是 單射。

另一方面，對於 任意 對映 g, h: B → C，如果 g∘y = h∘y ，則，

g(y(x)) = g(x²) = h(x²) = h(y(x))

令，w = x²，則：

g(w) = h(w)

如果，y 是滿射，則 w 取滿 B = [0, 4]，也就是說，對於任意 w ∈ B，上面等式都成立，得到 g = h ，故 y 滿足 右消去律。

我們知道，隨機變數 X 服從 均勻分佈 U(0, 2) 的 機率密度函式為 ：

於是可以得到 X 機率分佈函式為：

現在考慮 隨機變數函式 Y = X² （注：隨機變數函式依然是隨機變數）。

首先，Y 不可能 小於 0，故 在 y < 0 時，Y 的 機率分佈函式為：

Fᵧ(y) = 0

其次，在 y ≥ 0 時，Y 的 機率分佈函式為：

根據前面 Fᵪ 的定義，有：

因為 -√y ≤ 0，所以 Fᵪ(-√y) = 0；

當 2 ≤ √y，即，2² = 4 ≤ y 時，Fᵪ(√y) = 1；

當 0 < √y < 2，即，0 < y < 4 時，Fᵪ(√y) = √y/2；

當 √y ≤ 0，即，y = 0 時， Fᵪ(√y) = 0

最後，綜上，我們得到 Y 的 機率分佈函式為：

從而 可以得到 Y 的 機率密度函式為：

另一方面，隨機變數 Ȳ 服從 均勻分佈 U(0, 4) 的 機率密度函式 和 機率分佈函式 為：

顯然，Y ≠ Ȳ，Y 不服從 均勻分佈 U(0, 4)，Y 和 Ȳ 不是一回事。

進而，根據 Y 和 Ȳ 機率分佈函式，得到：

Fᵧ(1) = √1/2 = 1/2

F_ Ȳ(1) = 1/4 = 1/4

因為，Y ≠ Ȳ 所以 Fᵧ(1) = 1/2 ≠ 1/4 = F_ Ȳ(1) 很合理。