向量是高中數學中一個比較新的知識點，也是一個比較重要、應用較廣泛的工具。在物理學、資訊學、幾何學中，都有向量的身影。步入大學後，向量更是大學物理學、線性代數的基石。

向量理論的起源與發展主要有三條線索：物理學中的速度和力的平行四邊形法則、位置幾何、複數的幾何表示。物理學中的速度與力的平行四邊形概念是向量理論的一個重要起源之一。 18世紀中葉之後，尤拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西等的工作，直接導致了在19世紀中葉向量力學的建立。同時，向量概念是近代數學中重要和基本的概念之一，有著深刻的幾何背景。

早在19世紀就已成為數學家和物理學家研究的物件，它首先是由英國數學家哈密在20世紀初引入中學數學。

中國在1996年高中數學教學大綱中引入了向量。向量具有豐富的物理背景，向量既是幾何的研究物件，又是代數的研究物件。它是溝通代數、幾何的橋樑，是重要的數學模型。

力的平行四邊形法則

我們通常用點表示位置，用射線表示方向，長度表示大小，所以在平面內，向量常用一條有向線段來表示，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。向量也可用字母a、b、c等表示，或用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示。向量的大小，也就是向量的長度（或稱模），記作|a|。長度為0的向量叫做零向量，記作0。（注意粗體格式，實數“0”和向量“0”是有區別的，書寫時要在實數“0”上加箭頭，以免混淆）。長度等於1個單位長度的向量，叫做單位向量。

用有向線段表示向量

大約公元前350年前，古希臘著名學者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到。“向量”一詞來自力學、解析幾何中的有向線段。最先使用有向線段表示向量的是英國大科學家牛頓。

到了18世紀中葉之後，尤拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西等的工作，直接導致了在19世紀中葉向量力學的建立。同時，隨著數學的發展，萊布尼茲的位置幾何學中用到了向量，於是向量概念變為近代數學中重要和基本的概念之一。

空間向量座標系

但從數學發展史來看，歷史上很長一段時間，空間的向量結構並未被數學家們所認識。直到19世紀末20世紀初，人們才把空間的性質與向量運算聯絡起來，使向量成為具有一套優良運算通性的數學體系。

複數與向量的關係

從此，複數的幾何表示成為人們探討的熱點。哈密頓在做3維複數的模擬物的過程中發現了四元數。隨後，吉布斯和亥維賽在四元數基礎上創造了向量分析系統，最終被廣為接受把座標平面上的點用向量表示出來，並把向量的幾何表示用於研究幾何問題與三角問題。從此，人們逐步接受了複數，也學會了利用複數來表示和研究平面中的向量，向量就這樣平靜地進入了數學。

物理學是如何對待向量的？

“向量”就是說“既有大小，又有方向的量”。在物理學習中，我們知道，有很多物理量是向量；在高中的數學中，我們也學習了向量（這兩個詞的含義是一致的，只是數學中稱“向量”而物理中稱“向量”，以下統稱“向量”）。但經過對比，很容易發現：在高中的物理和數學中（以下省略“高中”二字），對向量的處理是不相同的。

具體的區別很明顯：在數學中，表示向量的字母會加粗（對於印刷體）或頭上有箭頭；而在物理中，代表向量物理量的字母與標量沒有什麼不同的，如果你對該字母的含義不熟悉，你完全不會知道它代表的是一個向量。相應地，在數學中，向量之間有自己的向量運算；而在物理中，這些向量只能使用普通的代數法則進行運算。

物理中表示向量的字母，實際上表示的通常僅僅是向量的大小（直線上的例外情況），被視為標量。這些向量之間因此也僅按標量法則進行運算（因為它們在式子中僅被作為標量處理）。儘管如此，諸如“速度v的方向”這樣的表述是沒有問題的，因為這裡我們把“v”視為一個向量的代稱（但在計算式中不可以這樣做）。

物理避免直接的數學意義上的向量運算，而是想方設法將向量運算變為標量運算（例如將向量分解到幾個方向上，或者使用其他方法）。表示向量的字母只能進行普通的代數運算，不能進行向量運算。只有在分析的時候，才有可能使用向量法則。

如果有某個向量是未知的，可以用一個字母先代表它，然後求出它的值，最後透過前面說的原則來判斷它的方向（依據將其前面的符號考慮進來後其值的符號）。

簡單歸納地說，在計算中，中學物理是如何對待向量的。

1. 向量沒有特別的外觀顯示出它們的向量性，並被當作標量處理。表示向量的字母通常僅表示向量的大小（最多賦予一個符號）。僅在分析時，這些向量才真正被當作向量處理。

2. 向量不使用數學的向量法則進行計算，而只用代數法則。

3. 在一條直線上時，向量可以被賦予相應的符號以表示其在直線上的方向。

很多時候，我們是將表示向量的字母加粗或在頭上加上箭頭之後就算是修正了，但也不總是如此。例如滑動摩擦力公式f = μN（N表示正壓力，這裡與物理書上符號不同）顯然就不能修正為f = μN——f與N的方向明顯不同，原公式也僅僅是描述f與N的大小關係的。f與N的具體方向由它們自身的型別決定——f與物體速度方向相同，N與接觸面垂直向下。這一點要搞清楚：高中物理中表示向量的符號（在沒有使用向量外觀時）僅僅表示向量的大小（最多再加上符號來表示在一條直線上的方向）。

在大學物理中，使用向量的數學表述會很常見。許多著名的物理公式都使用了數學的向量語言進行表達（例如麥克斯韋方程組）。不過，在只需要使用到向量大小的時候，人們還是會選擇使用簡單的標量表示法。

人生是一個動態的發展演變過程，顯然更符合向量的特點。那麼，有沒有一定的量，可以判定人生的狀態？能不能找到一定的法則，可以預測人生的演變？

人生是一個執行的動態的過程，顯然一定有一種力量推動它前進。從力量的來源，我可以簡單的把這個力量分為自身力和環境力。從力量的方向，我把這個力量分為動力和阻力。力量當然有大有小。而且一個人最終呈現出來的力量，一定是各種力量綜合之後形成的合力。這個表述無比簡單，然而現實卻又無比複雜。

同樣一個環境，對有的人有很大促進作用，而對另外一批人卻有很大阻礙作用。事實就是這樣，比如新冠病毒疫情爆發，對餐飲業從業人員等，是一種毀滅性的打擊；而對醫藥口罩從業人員，卻是一個很大的機遇。

物理學中，路程速度時間公式：s=vt 加速度路程時間公式：S=1/2at²

人生的程序，肯定也有一個公式。只是我們常常看見太多的偶然性因素，而忽略了人生中某種必然的結果。

當然，我現在無法給出一個人生程序的公式。但是我相信這樣的公式一定存在。

除了力量，還有一個貫穿始終無法擺脫卻又起點又終點的元素：時間。人生和時間一樣，只能前進，不能後退。而且只有一次。所以人生很珍貴。無比珍貴。

兩個學科的東西，當然不是一回事。。但有相似之處。。物理學裡有的向量分固定的（強調作用點）和自由的（不強調作用點）。。類似的，數學上也有自由向量和固定向量的區別。。可以理解成：物理學向量可以用向量數學描述，但是向量除了具有向量的數學特性之外，最基礎的，向量得有量綱（單位）吧，就是說物理學上的向量還有其它一些非數學的性質，是向量無法描述的，需要輔以量綱等其他非數學的方式描述才完整。

數學是一門獨立的 學科。 其他科學借用(利用)數學的結論並賦予本學科的 定義 解釋具體的 客觀事物。

有幸來回答這個問題！

首先表達一我個人的觀點：向量和向量的確是一回事情，在英文中都譯為：vector，是一種既有大小又有方向的量，計算法則都是根據平行四邊形定則。

那物理學的“向量”和數學的“向量”是一回事嗎？

事實上，向量分為自由向量和固定向量。

數學中所研究的向量是自由向量的簡稱，也就是隻要不改變它的大小和方向，它的起點和終點可以任意平行移動的向量。比如物理中的速度就是自由向量，只要確定了速度的大小和方向，那麼就是確定的。另外還包括在質點運動學中的力的分析，力雖然有大小、方向、作用點這個三個要素，但是在研究質點運動中，物體會簡化成為一個質點，作用點這個不做更復雜的分析，所以在質點運動學中，物理中的向量和數學研究的自由向量是一回事。

但是在研究下面這個問題的時候好像出了點問題

這個木杆，收到兩個大小相等方向相反的力，合力為0，應該是保持平衡的狀態，但是一眼就可以看出來木杆會發生轉動，這個是為什麼呢？

這是因為在研究這個問題上是屬於物理中的剛體運動學了，這個時候木杆已經不能簡化成為一個質點，需要具體考慮力的作用點了。比如我們把F1 向右平行一點，那對木杆的最終的運動狀態肯定會發生變化了。在研究這類問題就屬於固定向量了。需要引入力矩的概念：M=FxL,徑向向量與作用力的叉積。具體我就不在這裡深入討論了，但是不管是點積還是這裡的叉積和數學中的運算規律都是一致的。

總結一下：物理中質點運動學用到的向量和數學研究中的自由向量是完全一回事情，但是剛體運動學中的向量為固定向量，固定向量一般在數學中是不做研究的。

為什麼物理中稱呼為向量，不和數學統一呢？

我個人的看法是，在物理電路理論中，有個物理量是相量，也許是為了避免向量和相量發生混淆吧。不過只是個名詞而已，不影響我們對它們的理解和使用，事實上臺灣的物理界現在用的是向量這個詞哦~

有區別。物理學的向量有三要素：大小、方向、作用點。數學上並不刻意強調這個，比如，沒有“作用點”這個意識。

數學上是純數，向量其實是“座標”（原點至終點的箭頭）。當然也可以平移到座標系的其他位置。

數學的“向量代數”和“線性代數”都提到向量。向量代數講到點積和叉積，宣稱：張量是向量的推廣，向量代數的向量也用來解決空間解析幾何的許多問題。線性代數也提到點積，沒提叉積，線性代數宣稱：矩陣是向量推廣。至於矩陣和張量是啥關係，我學淺，不曉得。

數學上覆數落實到複平面，把複數也可理解為“復向量”，這是有一個虛數單位的情況。超複數，其運算在本數域穩定的數繫有四元數和八元數，據說探討這方面的學問也需要用到“張量”。

物理學上的向量不併只是“純數”，每個向量都要對於相應的物理意義，牽扯到向量，物理學上的物理公式有兩種形式：向量式（其實就是向量式）和標量式。向量式也比較強調點積和叉積。

數學和物理上都有“向量場”的概念，有梯度、旋量、散度等概念。裡面使用各種“算符”可以簡化公式形式，比如麥克斯韋方程，可以寫成算符形式。形式上很簡潔美觀。

說了這麼多，數學上的向量遵從“平行四邊形法則”。物理上的向量也宣稱遵從“平行四邊形法則”，也使用叉積、點積等概念。就是說，物理的向量運算理論應當來自於數學，但是我看不出來二者順利溝通的橋樑。物理學，沒有說服我，讓我相信她使用數學的向量是“極為合理”和“順理成章”之事。

形式與實質的關係。自然現象的形式表現服從和表達了一定的本質特徵……所以用純粹數學的形變規律可以度量與計算甚至預測自然變化的規律性……反映了形式與本質的緊密相連，可以透過現象看本質。用哲學的話說就是形式是實質的存在方式，雖然有所謂的表象，但也只是繁複多樣化的視在表徵，需要理出頭序，找出綱目。本質也就是一種順序化的機率，順應人的有限元智慧——人類智慧可以識別的維度視覺、知覺、乃至直覺。。。解讀自然關聯的直接語句或者形式語言。。。。

物理學上“向量”，本來又可翻譯為“向量”，因為關鍵點是“有方向的物理量”。數學是工具，歷史上是物理有向量（向量）概念才在數學上抽象出對應的計算模型和運算規則，服務於物理需要的。向量在三維空間上，可以分解為維度上的量，從而方向量可以用維度標量方程組來表達，數學抽象的結果，維度可以超越現實三維空間，用更多的維度，所以數學上的向量理論，是矩陣數學，對應多維空間。

這裡需要提醒一點：數學是純思辨的，模型和法則可以自圓其說，但作為工具應用到自然科學上，必須以物件本身的特性為依據，用得上才用，不能用的不能亂用。最經典的解釋是電流，電流在物理上也是方向量，但卻不是向量，不能用向量數學運算。書本上的敘述，通常是“某量是向量”，才意味著它能運用數學向量方法。不要倒過來，學了數學去套物理。

數學是整個物理大廈的基石，如果說應用數學是他建造的水泥石頭的話，那麼物理大廈的建成的底座，那就是數學在數量和空間上的描述

數學是抽象的，數字沒有單位，但一旦加上單位就具體到各行各業了，所以向量就是直線向量，1加1等於2，如果在1後面加上個，就能代表物體的個數，加上平方米，就能代表面積，加上元就代表金銀，看你加什麼單位，數學就是各行各業的抽象工具。