幾千年前，中國就流傳了《河圖》與《洛書》，裡面記載了神龜與幻方的故事。

在金庸的《射鵰英雄傳》裡，也有關於黃蓉幫助瑛姑破解三階幻方的小說情節。

而且，幻方是可以推廣到高階的，不但有3乘3的幻方，還可以有4乘4的幻方，還可以有5乘5的幻方……

6年前有一天，我在做一個數學題的時候意外發現:對於所有的幻方，如果把它看成矩陣，那麼這個矩陣的最大的本徵值等於這個矩陣的“跡” 。

那時候我很興奮，以為自己如量子力學奠基人海森堡那樣透過矩陣發現了宇宙的秘密。我遇到的數學問題顯然是你說的比較amazing的。

那麼，為什麼會這樣呢？

我進行了長時間的思考，百思不得其解。後來我的一個朋友（他是一個師範大學的老師）告訴我說，這其實是100年前的數學家已經提出來的perron-frobenius定理。那個定理說：對於一個全正矩陣，它的本徵值（模最大的那個）是一個正的實數，並且這個本徵值對應的本徵向量各分量全正。而且這個定理倒過來說也是對的，對於一個全正矩陣，如果它的本徵值對應的本徵向量各分量全正，那麼這個本徵值一定是一個實數，而且這個實數是所有本徵值當中模最大的。

我們以最簡單的三階幻方來進行說明。三階幻方它有一個全1的特徵向量。對應這個特徵向量的本徵值是該幻方的“跡”：

在這裡，三階幻方是一個全正矩陣（每一個矩陣元都是正數），而根據幻方的性質，它肯定有一個本徵向量是（1，1，1），而且本徵值肯定是矩陣的“跡”（在這裡正好是三階幻方和15）。所以，整個過程滿足perron-frobenius定理。

看圖片中的計算，整個過程是很明顯的，但確實非常巧妙的，一般人很難想到這一步。這個題目比較有趣，而且也比較深邃，因為很少有人把幻方當作矩陣去考慮。

　　這種題在高中畢業前還是遇到過多次，但能夠記住數十年的讓人眼前一亮的數學題並不多，這樣的題即足夠簡單同時又足夠的巧妙，以至於多年以後我還念念不忘，雖然對於數學本身已經遺忘了大多數知識和內容了。嚴格來說，當其時我自己並沒有把這道題做出來，在實在一籌莫展的時候看了答案，而答案讓人拍案驚奇，並且從此教會我最重要的證明方法之一。雖然是什麼時候遇到這道題的我已經想不起了，小學高年級或者初中？但肯定是在很早的時候，而也是從這道題開始激發了我當時對數學的熱愛，尤其是數學證明題的熱愛。那種知道已知條件和結果，而如何找到通往結果的嚴謹的過程，真的是相當迷人，讓人茶飯不思。深以為，證明題才是數學的精華所在，而不是簡單的學會計算，雖然計算是重要的，並且是基礎，但也實在無趣得很。閒話不提，讓我們來看看這道證明題吧，而這道題本身所需的前置知識不多，而整個證明過程也很容易看懂，關鍵在於證明的思路，所以，讀者諸君不妨自己先想想。

　　　題目：是否存在最大的素數？

　　要證明不存在最大的素數，需要知道什麼是素數，指在大於1的自然數中，除了1和該數自身外，無法被其他自然數整除的數。舉幾個素數的例子，如2\3\5\7\11\13。注意，偶數中只有2是素數，而大於2的偶數都不是素數，因為都可以被2整除嘛。而奇數呢？比如15=3*5，我們可以發現，所有非素數的數（合數），一定能被某個素數整除，這正是它們不是素數的原因。

　　如果研究一下素數的分佈規律，人們會迅速發現，隨著數字變大，素數越來越少，這比較好理解，畢竟數字越大，找到一個別的什麼數來整除它就越有可能嘛。這樣的規律在歷史上，很快就引出一個問題，是否存在最大的素數呢？而第一個簡單明瞭的證明不存在最大的素數的人是歐幾里得。

　　是的，歐幾里得就是著名的幾何原本的作者，幾何學之父，幾何原本中不僅討論了幾何也討論了其他數學問題，更重要的是幾何原本建立起了關於數學證明的概念，他透過使用公理化的方法來建立整個知識體系的做法，深刻的影響了西方社會。所謂公理，是確定的、不需證明的基本命題或者約定。然後知識體系中的一切定理都由公理演繹而出。在這種演繹推理中，每個證明必須以公理為前提，或者以被證明了的定理為前提。這一方法後來成了建立任何知識體系的典範，在差不多二千年間，被奉為必須遵守的嚴密思維的範例。而數學訓練一直被後世之傑出人士的推崇無非如此，建立嚴密思維方式的一種正規化，讓人知道何為錯誤的證明何為正確的證明。

　　　所以，這道簡單的數學題背後隱藏著許多東西呢。現在，你想出來證明方法沒有呢？如果你想要一個提示，那我可以告訴你，使用反證法！先假設存在一個最大的素數，並結合素數的定義來考慮。

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　　我給出簡要的證明形式，詳細的證明大家不妨自己補充完整。

設存在一個最大的素數Ｘ。那麼有Ｘ！＋１＝Ｙ；Ｘ！是指從１開始一直乘到Ｘ的一個數，比如３！＝１＊２＊３＝６。那麼我們可以知道，要麼Y本身是一個素數，那它當然比X大，要麼能夠除盡Y的素數必然比X大。因為，Ｘ！＋１，必然不能被從２到Ｘ的任何數除盡，因為必然會遺留一個１嘛。所以要麼Ｘ！＋１本身就是一個素數，要麼它會被一個比Ｘ還大的素數整除，比如Ｚ，不管是哪種情況。Ｚ或Ｙ都是大於Ｘ的，因此Ｘ是最大的素數的這個假設都不能成立，於是可知不存在最大的素數。這意味著，對於任何宣揚自己是最大的素數的數，我們都可以透過這個該數的階乘＋１的方法來加以反駁。

　　正因為不存在最大的素數，因此我們才能在網上轉賬，而不用過於擔心轉賬的資訊被駭客輕易破解，這是對素數的研究所做的現代應用。因為當前的主流加密系統正式透過超大素數來設定的。

今年高考，一道數學高考題，我看到的時候發現竟然是原題，而且還是非常簡單的一道原題，數學老師還在黑板上講過，但是高考時候我很緊張，代公式算幾遍算不出來（真丟人，當時這道題我甚至都不屑去聽老師講，因為太簡單了），然後我就憑記憶把原來好像選的那個選項選上了，演算一邊後發現對了。。。。。還有一次數學老師講一道幾何題，算角度，花了整整快半節課，什麼餘弦，正弦定理用了幾次，寫了整整2塊黑板才算出來，我在下面就做了條輔助線，用了個正弦定理外加口算，沒3分鐘就出來了。。事後我給同學說了這種方法，都覺得我的比較簡單，但是我也沒在上課時候告訴我們數學老師（因為老師是班主任，打斷有些不太合適，這題剛講完就下課了，所以到最後這種方法我也沒告訴他）

要想有嚼頭，那我就講講由英國數學家約翰·何頓·康威所提出非常有名的天使問題。

問題是這樣的，假設有一個無限大的方格棋盤，天使和惡魔就在上面玩遊戲。在這場遊戲開始之前，天使停留在棋盤上的某一點（天使的起點），獲得指定權力 K （正整數），即每一輪天使可移動的方格數。而在每一輪遊戲中，惡魔都將會在棋盤上放置一個路障，當然，路障不可以放在天使的停留處。當有惡魔開始放置第一個路障，然後天使就沿著棋盤上的方格移動K格（縱、橫、斜的相鄰方格均可），移動過程可以穿過路障，但是停留處不可是路障處。就在天使再次停留後，惡魔就設定第二個路障。。。按照這樣的規則如此進行下去，如果在某一輪，天使停留在惡魔設定的某一個路障所在的方格中，惡魔就獲勝；如果天使能無限地繼續遊戲，則天使獲勝。就在給出遊戲規則後，康威提出了天使問題：一個能夠獲得足夠權力的天使能贏嗎？康威擁有一種莫名的自信，為了激勵有人來解決這個問題，康威提供了這樣一個獎勵方案：①對於一個足夠高權力的天使的獲勝策略，獎勵100美元；②不論天使的權力如何，證明惡魔獲勝的策略獎勵1000美元。而就在1982年，這個遊戲設計者康威本人就證明了在以下兩種情況下，惡魔有獲勝的策略：①當天使可移動的方格數 K = 1 時，惡魔有必勝策略；②如果天使永遠不會降低其 Y 座標，則惡魔有必勝策略。到了1996年，康威又證明了：如果天使一直增加它到起始點的距離，則惡魔有必勝策略。

博弈論是數學學科中一個非常考驗邏輯性的方向，而這道題也是博弈論中極為有名的問題，問題已提出，看你了。

一道小學數學題：甲乙兩車同時從A、B兩地相向而行，在距A地80千米處第一次相遇，各自到達對方出發地後立即返回，途中又在距A地60千米處相遇，求A、B兩地相距多少千米？

讓人眼前一亮的數學題肯定是碰到過不少，但一時半會還真想不起來。

不過有些題目確實是讓人印象深刻，比如從小接觸的雞兔同籠問題，這樣的題目不能說新鮮或讓人眼前一亮，但好在夠久遠，夠經典。每每想起，總會想起小時候初次聽到類似題目時的窘態。

再比如商人運蘿蔔，就剛接觸題目時來說應該有“眼前一亮”，但現在便沒了那麼大的感覺。

在寫這個答案的時候其實我也一直在想還有沒有其他的題目，抱歉，暫時沒有想起來。不過，前不久看德州中考時感覺有道題目還不錯。當然，我說的也並非是單純的這道題目，而是說題設和圖。因為根據題設和圖形可以變換成太多的題目，真的很多。

我也關注下這個問題，好想知道大家都遇到過哪些令人眼前一亮的數學題。