以下是我收集到的關於傅立葉變換最為貼切最簡單的解釋:http://blog.jobbole.com/70549/

傅立葉變換就是把訊號表示成正弦波的疊加。經過傅立葉變換，訊號f(t)變為F(w)，F(w)的大小表徵了頻率為w的正弦波的強度。你的問題是要解釋一下為什麼這樣變換就可以做到這件事。數學上，我們說正弦波是正交的，意思是e^(jwt) e^(-jw"t)積分後是delta函式，w"=w時為無窮大，否則為0。試類比向量的正交，設x,y分別是二維空間裡兩個方向的單位向量，他們正交是指他們之間的點積x.x=y.y=1, x.y=0。現在請把e^(jwt) e^(-jw"t)的積分看做兩個正弦波e^(jwt)和e^(jw"t)的“點積”。一般一些的話，兩個任意訊號f1和f2的“點積”就定義為f1乘上f2的共軛，再積分。對一個向量v，它和x的點積v.x就是向量v在x方向上的分量大小。類比兩個訊號的“點積”，正弦波就相當於單位向量。

傅

立葉變換

，表示能將滿足一定條件的某個函式表示成三角函式（正弦和/或餘弦函式）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領域，傅立葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅立葉變換和離散傅立葉變換。最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具被提出的

http://baike.sogou.com/m/fullLemma?ch=jrtt.search.item&cid=xm.click&lid=412184

對於時域訊號來說，它是由頻率不同、幅度不同或者是初相位不同的許多餘弦（或正弦）訊號合成的，我們要知道合成原訊號的那些不同頻率餘弦（或正弦）訊號的“分量”，則它的傅立葉變換表示的就是組成原時域訊號的那些不同頻率餘弦（或正弦）的幅度（資訊）和初相位，換句話說，訊號的傅立葉變換是用各個頻率餘弦的幅度（分量）、初相位等“引數”的形式表示組成原訊號的組成成分，傅立葉變換不是將原時域訊號變換為頻域訊號，它表示原時域訊號組成成分的“分量”（幅度資訊）和初相位，按著頻率的位置畫出組成原訊號各個頻率餘弦的幅度（分量）和初相位就是原訊號的頻譜圖。

舉個例子，如一副中藥（相當於時域訊號），而一副中藥的“藥單”相當於它的“傅立葉變換”，藥單中寫出了一副中藥含有的各味藥的“藥名”、“重量”、“產地”等資訊（它們分別相當於訊號含有的不同頻率餘弦訊號的頻率資訊、幅度資訊以及相位資訊），如果“藥單”中只有各味藥的重量，則這個藥單只相當於“幅度譜”，這個“藥單”也是這副中藥的“配方”，訊號的傅立葉變換用“引數”形式表示這訊號的組成成分，或者叫“訊號的配方”。具體內容參見我在“知乎”上寫的或者參見我寫的《訊號與系統分析和應用》書上內容。

傅立葉變換：只用一個通用的數學公式描述一維線性複雜運動。

複雜問題簡單化，簡單問題複雜化。

二維運動。一維線性連續運動中，另一維為時間維，一維運動複雜多樣，歸根結底，都可歸納為關於自變數時間t，因變數為（質點距原點的）距離s的分時段（擬合）函式。

典型例子：錄音時音樂音訊圖。

例如畫一筆畫的過程：手

時域方程。在平面座標中，橫軸為時間t，縱軸為距離s，呈現的軌跡線，是我們常見，也最直觀的時域方程。s=∑f（tn），為分時段（tn）函式。

上圖畫手過程由線段、圓孤等擬合成。

頻域方程。不解釋，自行查資料。

例：音樂，就是典型的頻域方程。

接上例：傅立葉變換畫手。

傅立葉變換本質。任意連續函式，都可分解為無窮個正（餘）弦波的疊加，而正（餘）弦的本質是畫圓的過程呈現在時域方程上。須注意的是，各個正（餘）弦波的振幅、頻率、相位不同。

s=∑f（tn）=Ao+∑AnCosnx

其中用x替代t，且隱含相位φ，即：

xn=xn。+φn。n為下標，A為振幅。

各個正（餘）弦波，一、貫穿整個時間軸（隱藏）；二、取其分時向量‘疊加；三、疊加次序可以任意（向量性質）；四、我們只關心各個正（餘）弦波的振幅An、頻率丅n（隱藏在xn中）、相位φn，而不關心疊加次序。

傅立葉變換表達。將時間軸替換為頻率軸，其餘不變，原時域方程就成為了頻域方程，繁雜的音訊就變成了簡單的音樂符號；用一個函式一一多個正（餘）弦波（剩下的更小量忽略不計），無序疊加，就得到了上圖畫手方程：振幅為半徑An、頻率為週期性丅n、相位φn，手=多個有限動圓組合。

複雜與簡單。最後，傅立葉變換不止這麼簡單，還有非連續的、多維的等等，須更專業的學習。例如，簡單的三維（其實加上時間為四維）頻域方柱圖，在時域上，可以這麼說，一個圓柱體包含了整個海洋的波浪運動，方柱有多高，最大浪就有多高。

傅立葉變換是數學領域裡面的一種數值處理方法。

傅立葉變換，表示能將滿足一定條件的某個函式表示成三角函式(一般是正弦函式)，或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領域，傅立葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅立葉變換和離散傅立葉變換。

用正弦曲線來代替原來的曲線而不用方波或三角波來表示的原因在於，分解訊號的方法是無窮的，但分解訊號的目的是為了更加簡單地處理原來的訊號。用正餘弦來表示原訊號易於進行資料處理，因為正弦曲線屬於系統特徵函式。正弦函式曲線在計算機上處理，線性迴歸更加方便。正因如此我們才不用方波或三角波來表示。

用正弦曲線來代替原來的曲線而不用方波或三角波或者其他什麼函式來表示的原因在於：正弦訊號恰好是很多線性時不變系統的特徵向量。於是就有了傅立葉變換。

總結如下，傅立葉變換其實就是用一種更簡單方便的函式無限逼近原來的複雜函式，尤其是訊號處理領域。

Fourier transform或Transformée de Fourier有多箇中文譯名，常見的有“傅立葉變換”、“付立葉變換”、“傅立葉轉換”、“傅氏轉換”、“傅氏變換”、等等。

簡單地說傅立葉變換就是一種數學的方法，去處理透過儀器獲得的一些訊號，把它變換成我們可以認知的圖表。比如說傅立葉紅外光譜儀就是利用儀器測到的一些訊號用傅立葉函式，把它變換成的峰值圖表。

傅立葉變換是一種分析訊號的方法，它可分析訊號的成分，也可用這些成分合成訊號。許多波形可作為訊號的成分，比如正弦波、方波、鋸齒波等，傅立葉變換用正弦波作為訊號的成分。

f(t)是t的週期函式，如果t滿足狄裡赫萊條件：在一個以2T為週期內f(X)連續或只有有限個第一類間斷點，附f（x）單調或可劃分成有限個單調區間，則F（x）以2T為週期的傅立葉級數收斂，和函式S（x）也是以2T為週期的週期函式，且在這些間斷點上，函式是有限值；在一個週期內具有有限個極值點；絕對可積。則有下圖①式成立。稱為積分運算f(t)的傅立葉變換，

②式的積分運算叫做F(ω)的傅立葉逆變換。F(ω)叫做f(t)的像函式，f(t)叫做

F(ω)的像原函式。F(ω)是f(t)的像。f(t)是F(ω)原像。

①傅立葉變換

②傅立葉逆變換

傅立葉變換在物理學、電子類學科、數論、組合數學、訊號處理、機率論、統計學、密碼學、聲學、光學、海洋學、結構動力學等領域都有著廣泛的應用（例如在訊號處理中，傅立葉變換的典型用途是將訊號分解成頻率譜——顯示與頻率對應的幅值大小）。