π和e是數學中最為人所知的兩個常數，但是當把它們加起來時，卻成了一個難倒眾人的問題。
這個謎題與實代數數有關。一個實數如果是某個係數為整數的多項式的根，那麼我們可以說這個實數是代數數。例如x²-6是有著整數係數的多項式，因為1和-6都是整數。x²-6 = 0的根是x = ±√6，這意味著√6和-√6都是代數數。
所有有理數，以及有理數的根，都是代數數的。因此你可能會覺得，“大多數”實數都是代數數。然而結果卻恰恰相反，“代數數”的反義詞是“超越數”，事實證明幾乎所有實數都是超越數。在這裡，“幾乎所有”是有數學含義的，那麼哪些是代數數，哪些又是超越數？
π是一個已經存在了很久的實數，e大約在17世紀才為人所知。對於這樣兩個熟悉的數字，你可能會以為我們知曉與它們有關的任何基本問題。
事實是，我們知道π和e都是超越數的，但卻不知道π + e是代數數還是超越數。同樣，我們不知道πe、π/e以及其他這兩個數之間的簡單組合是什麼數。所以在數學中，還有著這樣一些我們已經知曉了數百年甚至上千年的數字，蘊含著一些令人難以捉摸的基本問題。
π和e究竟存在怎樣的關係？相信許多數學愛好者都對這個問題感興趣，從科學的角度來審視這個問題。那就先從下面這個公式開始說明下吧。
上面推匯出來的一個恆等式，證明過程非常嚴謹，用到了一些分析學和數論的知識，重點是要考察π與e之間的關係，這一公式左式和右式之間的差別，一個很明顯的差別是左邊是級數，而右邊是一個常數，而仔細觀察就會發現，左式的下半部分其實可以寫成1-（nπi）^2，對比右式的e^2-1，可以推測e和πi間其實存在內蘊的關係。
聯想尤拉公式;
這個公式是e和π透過虛數i來進行聯絡的，而虛數i的作用是對於冪級數來說就是控制每一項前面的正負號的。這也解釋了為什麼e和π為什麼會在許多以自然數倒數為項數的恆等式裡面出現，它們其實都是自然數的一些組合，只是每個數字前面的正負號有所區別而已。
這就不難解釋為什麼e和π會有以下這種聯絡了：
sinhπ/π=(1+1/1^2)(1+1/2^2)...(1+1/n^2)...，n趨於無窮，其中sinhx=(e^x-e^-x)/2
其實上式不只是自然數的冪次為2時有這種關係，只要冪次為偶數時就會有類似的關係。這麼一說，是不是你就更加相信e和π只是自然數與正負號之間組合不同而產生的，其實它們本質都是自然數間的組合罷了。
π和e是數學中最為人所知的兩個常數，但是當把它們加起來時，卻成了一個難倒眾人的問題。
這個謎題與實代數數有關。一個實數如果是某個係數為整數的多項式的根，那麼我們可以說這個實數是代數數。例如x²-6是有著整數係數的多項式，因為1和-6都是整數。x²-6 = 0的根是x = ±√6，這意味著√6和-√6都是代數數。
所有有理數，以及有理數的根，都是代數數的。因此你可能會覺得，“大多數”實數都是代數數。然而結果卻恰恰相反，“代數數”的反義詞是“超越數”，事實證明幾乎所有實數都是超越數。在這裡，“幾乎所有”是有數學含義的，那麼哪些是代數數，哪些又是超越數？
π是一個已經存在了很久的實數，e大約在17世紀才為人所知。對於這樣兩個熟悉的數字，你可能會以為我們知曉與它們有關的任何基本問題。
事實是，我們知道π和e都是超越數的，但卻不知道π + e是代數數還是超越數。同樣，我們不知道πe、π/e以及其他這兩個數之間的簡單組合是什麼數。所以在數學中，還有著這樣一些我們已經知曉了數百年甚至上千年的數字，蘊含著一些令人難以捉摸的基本問題。
π和e究竟存在怎樣的關係？相信許多數學愛好者都對這個問題感興趣，從科學的角度來審視這個問題。那就先從下面這個公式開始說明下吧。
上面推匯出來的一個恆等式，證明過程非常嚴謹，用到了一些分析學和數論的知識，重點是要考察π與e之間的關係，這一公式左式和右式之間的差別，一個很明顯的差別是左邊是級數，而右邊是一個常數，而仔細觀察就會發現，左式的下半部分其實可以寫成1-（nπi）^2，對比右式的e^2-1，可以推測e和πi間其實存在內蘊的關係。
聯想尤拉公式;
這個公式是e和π透過虛數i來進行聯絡的，而虛數i的作用是對於冪級數來說就是控制每一項前面的正負號的。這也解釋了為什麼e和π為什麼會在許多以自然數倒數為項數的恆等式裡面出現，它們其實都是自然數的一些組合，只是每個數字前面的正負號有所區別而已。
這就不難解釋為什麼e和π會有以下這種聯絡了：
sinhπ/π=(1+1/1^2)(1+1/2^2)...(1+1/n^2)...，n趨於無窮，其中sinhx=(e^x-e^-x)/2
其實上式不只是自然數的冪次為2時有這種關係，只要冪次為偶數時就會有類似的關係。這麼一說，是不是你就更加相信e和π只是自然數與正負號之間組合不同而產生的，其實它們本質都是自然數間的組合罷了。