數學的點和線段不矛盾

♦數學的點

數學的點，任何定義都系無處著力而無效。它是無法被定義的。定義它，會陷入重複定義、反邏輯定義深淵。點相當於原始概念，具有原始概念性質。

科學系統對概念總要下定義，也定會用些已知概念來定義新概念，但概念有限。又由第二條規則可知，下定義必須遵循科學規律，不能惡性迴圈，總有概念不能引用別的概念來定義，這就叫科學體系中的原始概念。

♦6G世界由通道藍光點聯線成片

定義平行四邊形為兩組對邊分別平行的四邊形，必須先對四邊形、平行以及對邊進行定義。定義四邊形時，應先對多邊形及邊進行定義，又必須先定義折線，故必須先對點和直線下定義。

但一般初等幾何中，點和直線都無法再用已被定義過的概念進行定義，它們都是原始概念。在數學中，點、直線、平面、集合，空間、數、量等都是原始概念。其中有些還是透過公理來直接描述的，雖然有些概念在中學課本中也有解釋，但這種解釋不算定義。

♦水墨畫暈點染

所以要看如何定義點。如果以宇宙為基地，那麼地球就是一個浮塵那麼微觀的點，但是地球平均半徑6500公里，1.3萬公里大小恰如一粒奈米浮塵，這就是宇宙基地的點的定義。同理，量子相對分子原子而粒子點，螞蟻相對人而粒子點，人相對地球而粒子點。

所以客觀實在的點，是有長度的，而且還可大可小，但抽象數學形而上的點，卻無長度，但理論上又規定無數的點，可以構成有長度量的線段和直線。所以你是怎麼看？數學抽象世界真能囊括客觀存在的現實嗎？

點是很特殊的存在，他在數學的規定中沒有長度，而線段是由無數多個點組成的，他就有長度了，無數多個點積少成多，構成了具有一定長度的線段，這是數學中的硬性規定。這是不矛盾的。

（小石頭嘗試著回答這個問題）

回答：這並不矛盾！ 下面是詳細分析。

在幾何中，任何直線的性質都是一樣的。於是，任取一根直線，為了區分其上的點，我們將每一個點和一個實數對應起來，這樣就形成了（實）數軸。進而，自然而然，數軸上的一個線段，就對應 一個實數區間。

如此以來，題主問題裡，所謂沒有長度的點，翻譯成數學語言就是：

在數軸中任取一個點 x 對其長度進行測量，得到的長度 為 0；

所謂 有長度的線段，翻譯成數學語言就是：

在數軸中任取一個區間 [a, b] 對其長度進行測量，得到的長度不為零；

以上的關鍵，是我們有一個可以測量 點 和 區間 長度 的 工具，記為 μ。一個點 x 其實是一種特殊的區間 [x, x]，於是 μ 其實只要可以測量 區間的長度就行，即，任意給定 數軸上的 一個 區間 [a, b]，透過 μ 會可以得到 一個 長度，顯然 μ 是一個以為區間為引數的 函式，可以定義如下：

μ([a, b]) = b - a

對於，任意一個點 x，有：

μ(x) = μ([x, x]) = x - x = 0

這符合一個點長度為 0 的要求。

另外，只有稍微對 μ 進行升級，我們也可以對 多段 獨立的區間進行 測量：

μ([a₁, b₁] + [a₂, b₂] + ... ) = b₁ - a₁ + b₂ - a₂ + ...

其中 區間 [a₁, b₁]， [a₂, d₂]， ... 兩兩不相交。 升級後的 μ 稱為 測度。

接下來，仔細觀察 測度 μ ，就會發現它有兩個特性：

μ 的值 總是 大於等於 0；

對於任意一列 相互獨立的 區間 [a₁, b₁]， [a₂, d₂]， ...，有：μ([a₁, b₁] + [a₂, b₂] + ...) = b₁ - a₁ + b₂ - a₂ + ... = μ([a₁, b₁]) + μ([a₂, b₂]) + ...

實際上，只要符合上面 特性的 函式 都可以稱為 測度。測度不僅僅是測量 區間（線段）長度，也可以是 測量 圖形的面積、幾何體的體積、物體的質量、 等。

測度的第一個特性稱為 非負性，和問題關係不大，而 第二個特性稱為 可列可加性，是問題的關鍵。

所謂“可列可加性”翻譯成白話就是：對於一列的相互獨立的區間，它們加起來的總長度等於各區間長度之和。

現實中，這是我們再熟悉不過的常識了：

將多個線段接起來，匯流排段的長度一定是各個線段長度之和；

將水和鹽混合成鹽水，鹽水的質量 一定 是 水的 質量 加 鹽的 質量；

積木搭建的建築物的總體積，一定是所有積木體積之和；

也正因為題主有了這種常識，所以才提出本問題。問題翻譯成數學語言為：設，非單點區間 [a, b] (a < b) 是由 點 a, x₁, x₂, ..., b 組成，即，

[a, b] = [a, a] + [x₁, x₁] + [x₂, x₂] + ... + [b, b] ①

於是，根據測度的可列可加性有：

μ([a, b]) = μ([a, a] + [x₁, x₁] + [x₂, x₂] + ... + [b, b]) = μ(a) + μ(x₁) + μ(x₂) + ... + μ(b) = 0 + 0 + ... +０ = 0

可以 根據測度的定義又有：

μ([a, b]) = b - a > 0

矛盾。

其實並不矛盾！這裡的關鍵是 等式 ① 是不成立的。雖然 序列 a, x₁, x₂, ..., b 和 區間 [a, b] 都包括了 無窮多個點，但是 無窮多和無窮多 不一定一樣。實際上， 一個區間 中包括的點 比一個序列 還多，多到無將這些點 排成一個列。由於 區間中的點 不能排成一列，於是 可列可加性 對於 區間中的點的組合 就無效了。

康拓兒 最早研究了 無窮集合 元素個數的問題：如果我們 可以找到 兩個集合之間的 一個 一一對應的關係，則 這兩個集合 的 元素個數 就相等。同時，康拓兒也最早證明了 (0, 1) 中點 比 自然數序列 中的點 多。

我們可以將自然數排成一列：

0, 1, 2, ....

於是和自然數一樣多的集合中的元素 也都可以 排成 一列，稱它們為 可列；而像區間這種 比 自然數多的，稱為 不可列。

從另一角度看，我們知道 [a, b] 對應的線段是連續的，也就是說線段中不存在縫隙，我們無法再向 線段中 插入一個新的點。假如 我們可以將 [a, b] 中的點 排成一列，則就意味著我們可以 以 插隊 的方式，向佇列中，插入一個 新的點，這顯然和 線段 不能插入新點的特性 矛盾。

結論：

只有可列個點的組合的長度才是零，不可列個點可以組成任意長度的線段。

估計看到這裡的條朋友，很多依然不能 從直覺上 接受這個數學事實，我想那是因為，日常生活中，根本沒有長度為 0 的點，所有這方面 大家的直覺是失靈的。

數學思想的重大進步就是區別“點集”和“空間”兩個概念：透過定義點與點之間的距離（度規）概念，可以在點集上構造出空間。