Q:簡述計算機三大變換的聯絡和區別 (傅立葉變換 拉普拉斯變換 z變換)
(1) 傅立葉變換定義:
表示能將滿足一定條件的某個函式表示成三角函式(正弦和/或餘弦函式)或者它們的積分的線性組合。傅立葉變換是一種分析訊號的方法,它可分析訊號的成分,也可用這些成分合成訊號。許多波形可作為訊號的成分,比如正弦波、方波、鋸齒波等,傅立葉變換用正弦波作為訊號的成分。
f(t)是t的週期函式,如果t滿足狄裡赫萊條件:在一個以2T為週期內f(X)連續或只有有限個第一類間斷點,附f(x)單調或可劃分成有限個單調區間,則F(x)以2T為週期的傅立葉級數收斂,和函式S(x)也是以2T為週期的週期函式,且在這些間斷點上,函式是有限值;在一個週期內具有有限個極值點;絕對可積。則有下圖①式成立。稱為積分運算f(t)的傅立葉變換,
②式的積分運算叫做F(ω)的傅立葉逆變換。F(ω)叫做f(t)的像函式,f(t)叫做F(ω)的像原函式。F(ω)是f(t)的像。f(t)是F(ω)原像。
①傅立葉變換
②傅立葉逆變換
(2)拉普拉斯變換定義:
拉普拉斯變換是工程數學中常用的一種積分變換,又名拉氏變換。 拉氏變換是一個線性變換,可將一個有引數實數t(t≥ 0)的函式轉換為一個引數為複數s的函式。拉普拉斯變換在許多工程技術和科學研究領域中有著廣泛的應用,特別是在力學系統、電學系統、自動控制系統、可靠性系統以及隨機服務系統等系統科學中都起著重要作用。
拉普拉斯變換的公式:
拉普拉斯變換是對於t>=0函式值不為零的連續時間函式x(t)透過關係式
(式中-st為自然對數底e的指數)變換為復變數s的函式X(s)。它也是時間函式x(t)的“複頻域”表示方式。
(3)Z變換定義:
Z變換(英文:z-transformation)可將時域訊號(即:離散時間序列)變換為在複頻域的表示式。它在離散時間訊號處理中的地位,如同拉普拉斯變換在連續時間訊號處理中的地位。離散時間訊號的Z變換是分析線性時不變離散時間系統問題的重要工具,在數字訊號處理、計算機控制系統等領域有著廣泛的應用。
雙邊Z變換
離散時間序列x[n]的Z變換定義為:
式中 ,σ為實變數,ω為實變數,所以Z是一個幅度為 ,相位為ω的復變數。x[n]和X(Z)構成一個Z變換對。
單邊Z變換
通常意義下的Z變換指雙邊Z變換,單邊Z變換隻對右邊序列(
部分)進行Z變換。單邊Z變換可以看成是雙邊Z變換的一種特例,對於因果序列雙邊Z變換與單邊Z變換相同。
單邊Z變換定義為 :
(4)關係和區別:
傅立葉變換是最基本得變換,由傅立葉級數推匯出。傅立葉級數只適用於週期訊號,把非週期訊號看成周期T趨於無窮的週期訊號,就推匯出傅立葉變換,能很好的處理非週期訊號的頻譜。但是傅立葉變換的弱點是必須原訊號必須絕對可積,因此適用範圍不廣。
拉普拉斯變換是傅立葉變換的推廣,傅立葉變換不適用於指數級增長的函式,而拉氏變換相當於是帶有一個指數收斂因子的傅立葉變換,把頻域推廣到複頻域,能分析的訊號更廣。然而缺點是從拉普拉斯變換的式子中,只能看到變數s,沒有頻率f的概念,要看幅頻響應和相頻響應,還得令s=j2πf
Z變換的本質是離散時間傅立葉變換(DTFT),如果說拉普拉斯變換專門分析模擬訊號,那Z變換就是專門分析數字訊號,Z變換可以把離散卷積變成多項式乘法,對離散數字系統能發揮很好的作用。Z變換看系統頻率響應,就是令Z在複頻域的單位圓上跑一圈,即Z=e^(j2πf),即可得到頻率響應。由於傅立葉變換的特性“時域離散,則頻域週期”,因此離散訊號的頻譜必定是週期的,就是以這個單位圓為週期,Z在單位圓上不停的繞圈,就是週期重複。單位圓0°位置是實際頻率0HZ,單位圓180度的實際頻率就是取樣頻率的一般,fs/2.
總結一下:拉普拉斯變換是傅立葉變換的擴充套件,傅立葉變換是拉普拉斯變換的特例,z變換是離散的傅立葉變換在複平面上的擴充套件。
用拉普拉斯變換例出有關電路的連續方程,用z 變換把連續方程變成離散方程,然後再用電腦計算離散方程,就這樣去分析電路及電力系統
Q:簡述計算機三大變換的聯絡和區別 (傅立葉變換 拉普拉斯變換 z變換)
(1) 傅立葉變換定義:
表示能將滿足一定條件的某個函式表示成三角函式(正弦和/或餘弦函式)或者它們的積分的線性組合。傅立葉變換是一種分析訊號的方法,它可分析訊號的成分,也可用這些成分合成訊號。許多波形可作為訊號的成分,比如正弦波、方波、鋸齒波等,傅立葉變換用正弦波作為訊號的成分。
f(t)是t的週期函式,如果t滿足狄裡赫萊條件:在一個以2T為週期內f(X)連續或只有有限個第一類間斷點,附f(x)單調或可劃分成有限個單調區間,則F(x)以2T為週期的傅立葉級數收斂,和函式S(x)也是以2T為週期的週期函式,且在這些間斷點上,函式是有限值;在一個週期內具有有限個極值點;絕對可積。則有下圖①式成立。稱為積分運算f(t)的傅立葉變換,
②式的積分運算叫做F(ω)的傅立葉逆變換。F(ω)叫做f(t)的像函式,f(t)叫做F(ω)的像原函式。F(ω)是f(t)的像。f(t)是F(ω)原像。
①傅立葉變換
②傅立葉逆變換
(2)拉普拉斯變換定義:
拉普拉斯變換是工程數學中常用的一種積分變換,又名拉氏變換。 拉氏變換是一個線性變換,可將一個有引數實數t(t≥ 0)的函式轉換為一個引數為複數s的函式。拉普拉斯變換在許多工程技術和科學研究領域中有著廣泛的應用,特別是在力學系統、電學系統、自動控制系統、可靠性系統以及隨機服務系統等系統科學中都起著重要作用。
拉普拉斯變換的公式:
拉普拉斯變換是對於t>=0函式值不為零的連續時間函式x(t)透過關係式
(式中-st為自然對數底e的指數)變換為復變數s的函式X(s)。它也是時間函式x(t)的“複頻域”表示方式。
(3)Z變換定義:
Z變換(英文:z-transformation)可將時域訊號(即:離散時間序列)變換為在複頻域的表示式。它在離散時間訊號處理中的地位,如同拉普拉斯變換在連續時間訊號處理中的地位。離散時間訊號的Z變換是分析線性時不變離散時間系統問題的重要工具,在數字訊號處理、計算機控制系統等領域有著廣泛的應用。
雙邊Z變換
離散時間序列x[n]的Z變換定義為:
式中 ,σ為實變數,ω為實變數,所以Z是一個幅度為 ,相位為ω的復變數。x[n]和X(Z)構成一個Z變換對。
單邊Z變換
通常意義下的Z變換指雙邊Z變換,單邊Z變換隻對右邊序列(
部分)進行Z變換。單邊Z變換可以看成是雙邊Z變換的一種特例,對於因果序列雙邊Z變換與單邊Z變換相同。
單邊Z變換定義為 :
(4)關係和區別:
傅立葉變換是最基本得變換,由傅立葉級數推匯出。傅立葉級數只適用於週期訊號,把非週期訊號看成周期T趨於無窮的週期訊號,就推匯出傅立葉變換,能很好的處理非週期訊號的頻譜。但是傅立葉變換的弱點是必須原訊號必須絕對可積,因此適用範圍不廣。
拉普拉斯變換是傅立葉變換的推廣,傅立葉變換不適用於指數級增長的函式,而拉氏變換相當於是帶有一個指數收斂因子的傅立葉變換,把頻域推廣到複頻域,能分析的訊號更廣。然而缺點是從拉普拉斯變換的式子中,只能看到變數s,沒有頻率f的概念,要看幅頻響應和相頻響應,還得令s=j2πf
Z變換的本質是離散時間傅立葉變換(DTFT),如果說拉普拉斯變換專門分析模擬訊號,那Z變換就是專門分析數字訊號,Z變換可以把離散卷積變成多項式乘法,對離散數字系統能發揮很好的作用。Z變換看系統頻率響應,就是令Z在複頻域的單位圓上跑一圈,即Z=e^(j2πf),即可得到頻率響應。由於傅立葉變換的特性“時域離散,則頻域週期”,因此離散訊號的頻譜必定是週期的,就是以這個單位圓為週期,Z在單位圓上不停的繞圈,就是週期重複。單位圓0°位置是實際頻率0HZ,單位圓180度的實際頻率就是取樣頻率的一般,fs/2.
總結一下:拉普拉斯變換是傅立葉變換的擴充套件,傅立葉變換是拉普拉斯變換的特例,z變換是離散的傅立葉變換在複平面上的擴充套件。