幾乎所有的數學家都認為數學是美的。著名數學家巴拿赫說“數學是最美的，也是最有力的人類創造。”

再給大家看一些圖片感受一下；

數學的一個美是比例。數學中有很多漂亮的比例。為大家所熟知的就是黃金分割。

著名的畫家達芬奇在畫畫的時候，大量用到這個比例。比如《蒙娜麗莎》

眼睛到下巴的高度比上整個頭的高度正好是黃金分割比例。如果把眼睛到下巴當作整個距離，嘴巴也剛好在黃金分割點。

還有一個是勾股定理，著名的天文學家開普勒(Johannes Kepler, 1571–1630)曾認為幾何中有兩大美女，一個就是黃金分割，另外一個是大家都知道的勾股定理。

數學的另外一個美是體現在它非常簡潔。他們看上去都非常簡潔，卻都刻畫了非常深刻的數學原理。

比如尤拉公式，尤拉公式就像尤拉純粹的內心一樣簡明。它用最簡明的方式，溝通了世界上幾乎全部的數學元素。無理數e，它是自然對數的底，隱藏於飛船的速度和蝸牛的螺線。無理數π，隱藏於世界上最完美的平面對稱圖形——圓。還有+，-，1，0...

另外一個數學的美，也就是非常神奇。首先是勾股定理。如下圖所示，正整數的勾股對有無窮多對。

但是費馬大定理告訴我們，當大於2時，沒有正整數解。費馬是一個非常神奇的人。他並不是職業數學家，他本職是個律師。他30歲就當議員，47歲就是地方議會的終生議員。他也一直是業餘研究數學，卻提出了偉大的費馬大定理。

另外，在大自然中也蘊含著神奇的數學。比如，

蛇的正弦曲線，蛇在前行的時候有四種行進方式，其中兩種分別是蜿蜒式和側行式，以這兩種方式行進時，行進軌跡類似於正弦曲線。

蜘蛛編織出來的“八卦網”非常精緻勻稱，裡面有豐富的幾何學概念，像半徑、弦、平行線段、三角形、全等對應角、對數螺線、懸鏈線和超越線等等，蜘蛛用輻線將網分成幾個部分，相鄰輻線的圓周角大致相等，而蜘蛛網從外圈繞向中心點的螺旋線是對數螺旋線。

還有自相似的羅馬花椰菜，雪花，閃電等等。

數學的另外一個美麗就是它的乾淨。數學證明必須堅實、乾乾淨淨，沒有任何瑕疵。

英國一位著名的哲學家和思想家，把數學的證明說成是像鑽石一樣的美，所謂的美麗就是又堅固、又漂亮，又幹乾淨淨。

早在二千多年前，古希臘哲學家、數學家畢達哥拉斯就極度讚賞整數的和諧美，圓和球體的對稱美，稱宇宙是數的和諧體系。第五世紀著名數學評論家普洛克拉斯進而斷言：“哪裡有數，哪裡就有美”。近現代許多著名的數學家對數學中的美更是讚歎不已。英國著名數理邏輯學家羅素指出:“數學,如果正常地看它,不但擁有真理,而且也具有至高的美”。英國著名數學家哈代認為：不美的數學在世界上是找不到永久容身之地的。

中國著名數學家華羅庚教授說過：“就數學本身而言，是壯麗多彩、千姿百態、引人入勝的……認為數學枯燥乏味的人，只是看到了數學的嚴謹性，而沒有體會出數學的內在美。”

這麼多的數學家和先賢們對數學完美的表述難道還不夠說明數學之完美嗎？ 當然不夠！！因為那只是別人說，而不是我們的切身體會。那我現在就帶你們來 親自感受一下完美數學。

什麼才是美呢？有一位美學大師說過：一切美的事物都具有兩個共同的特性： 簡潔、和諧。那數學具有這兩個特性嗎？

一、 簡潔美

簡潔性是美的基本特徵，其實簡潔也是數學的內涵之一。我相信在你們的印象中，數學從來都是複雜的，是將簡單的事變複雜的罪魁禍首！是這樣嗎？我舉幾個例子，大家來一起感受一下：

1. 我們學習數學最早認識的就是阿拉伯數字，其實世界各種語言和文明都有自己的數字表述形式，但是隻有阿拉伯數字是當今世界通用的數字，原因就是它的簡潔。它的簡潔表現在只有有限的 10 個符號，但是卻可以表現出無窮的多的數，我認為這不僅僅可以用簡潔來表述，更可以用奇妙來表述。還有就是加、減、乘、除四個符號，大家再熟悉不過了，就是它們準確描述了客觀世界的四個最基本的數量關係。你說他們簡潔嗎？這與美術中色彩的三原色，音樂中的 7

個音符有著異曲同工之妙，有了他們世界才變得豐富多彩。

2. 再說圓周率。我們都知道它是一個無理數，是無限不迴圈小數，如果直接寫出這個數的話，永遠也寫不完，為了解決這個問題，人們用四捨五入的方法， 經常用 3.14 代替這個無理數，雖然比它本身簡單了，但是又不準確了，於是人們發明了用p 這個符號來表示圓周率。其實數學中那麼多的符號都在時刻向人們展示著數學的簡潔美。

二、 和諧美

美是和諧的，和諧性也是數學美的基本特徵之一。沒有那門學科能比數學更為清晰的闡明自然界的和諧性。

著名的黃金分割比 ，即 0.61803398…。在正五邊形中，邊長與對角線長的比是黃金分割比。人們的膝蓋骨是大腿與小腿的黃金分割點，人的肘關節是手臂的黃金分割點，肚臍是人身高的黃金分割點；當氣溫為 23 攝氏度時，人感到最舒服，此時 23:37（體溫）約為 0.618；名畫的主題，大多畫在畫面的 0.618 處， 絃樂器的聲碼放在琴絃的 0.618 處，會使聲音更甜美。等等這些都無不在描述著

0.618 之美。

三、 對稱美

在幾何圖形中，有所謂點對稱，線對稱，面對稱。畢達哥拉斯有句名言：“一切立體圖形中最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓形”。而圓和球形正是幾何中對稱美的傑出體現，圓是關於圓心對稱的，也是關於過圓心的任一條直線對稱的。球形既是點對稱，又是線對稱，還是面對稱的。正是由於幾何圖形中有這些點對稱、線對稱、面對稱，才構成了美麗的圖案，精美的建築，巧奪天工的生活世界，也才給我們帶來豐富的自然美，多彩的生活美。

是不是隻有幾何中才有對稱美呢？ 當然不是。

比如代數中的完全平方公式： ( x + y)2 = x2 + 2xy + y2 、偶函式 f (x) = f (-x)

等，都是數學對稱性的完美體現。

其實數學中的美是千姿百態、豐富多彩的,如美的形式符號、美的公式、美的曲線、美的曲面、美的證明、美的方法、美的理論等。用心體會和觀察你也會發現很多這樣的例子,雖然我們常說:數學想說愛你不容易,但是想放棄和忘掉數學也是不容易的!

數學的美，是一種睿智的美，喜歡數學的人，思考問題縝密,嚴謹，對待生活一絲不苟，踏踏實實；喜歡數學的人，看世界的眼光是全方位的，看人的眼睛是穿透心靈的，因為數學來不得半點虛假和偽裝，所以造就了學習數學之人的性格也是澄澈透明；數學的美，是經過百轉千回，演算論證之後終於眾裡尋他找到答案後欣喜雀躍的成就之美，所以喜歡數學的人，總是胸有成竹，昂首挺胸的，因為自信所以也自豪；我就是一名數學老師，在學生問到我一些課內或者課外的話題時，我能用辯證的思維去回答，能借用學習數學的精神去鼓舞孩子們學習的勁頭，每每幫孩子們解答出他們苦思冥想不知所以的題目後，我的內心是非常充實的，夜深人靜無人打擾時，鋪開紙筆做幾道有難度的數學題目，即使在睡夢中都是美滋滋的！所以，朋友們，學習數學吧，你會愛上它，更會發現無窮的美！

數學難,這是大多數人心中對數學的想法.數學還有美?其實是有的,數學作為所有理工科的基礎學科有其內在的美,今天我們就具體分析一下數學美在哪裡?

這是一個非常簡單的算式,它的結果具體對稱性,左右兩邊相同.

尤拉公式集齊了數學界裡最具代表性的數字,最小的自然數0,最小的正整數1,無理數與超越數,還有最簡單的虛數.這個等式把這些元素組合在一起,非常簡潔卻蘊含深厚的數學原理,充分體現了數學的簡潔美.

它是由斐波那契數列組成的螺旋線,這麼數字的比會接近黃金分割比.

為什麼上面這個等式會成立,相信很多人回答不了.就是這樣的,這樣回答能有說服力嗎?不能,數學上就可以富含邏輯的解釋它.這就是數學的邏輯美吧.

心形線,聽說數學系流行用這個來表白哦,是不是覺得特別有意思.

準確的說是數字的。“3”有多美？幾千年來沒有沒有那個科學家看上他，可他確實、決定了人類的一切。3肺(中醫)形容人體內的真氣象肺呼吸一樣。地球12時辰=3是365天中一粒子，死了的，活著的科學家們，你們忽視3。就是白玩

展現數學之美的病態函式

試想一個場景：

有一根細線，

它是無限長的，或者說要多長有多長，

這根線，自始至終都是連續的，從左到右不曾間斷。

比如這根弧線：

弧線底部的水平直線，就是弧線的切線。

所謂切線，就是恰好與弧線在切點附近，有且僅有切點這一個交點。

有切線的地方，說明弧線在這附近是光滑的，是沒有尖刺的。

如果弧線每一點都有切線（可導），說明弧線處處都光滑。

如上圖，如果“弧線”變成尖銳的“折線”，那麼，“折點”處就有很多根直線與其只有一個交點，從數學上來說，折點的切線的斜率左右極限是不同的，因此這一點也沒有“切線”。

即，折點不是光滑的，它是“尖銳的”，曲線在這一點是不可導的。

當然，如果麵條在某處斷了，在斷點處，也是沒有切線的，也是“尖銳粗糙的”。

那麼，有沒有一種既連續、不曾間斷，卻每一點都尖銳的線呢？

用數學語言描述即：

直覺上來說，一根連續曲線的尖銳點至多是可數的，有限的。

因為一根連續的線，再怎麼折，尖銳的部分也應該是有限的，而光滑的、平直的部分是佔大多數的。

在尖刺的旁邊，我們總是應該可以找到哪怕一小段平滑的部分。

在數學發展史上，數學家們也一直猜測：連續的函式必然是近乎可導的（即：起碼有一些光滑的部分），所謂不可導的點也必然只佔整體的一小部分。連續函式在其定義域中，應該是除去有限個點外都是可導的。

一根線不可能處處都尖銳吧？

1872年，德國數學家魏爾斯特拉斯（集合論大師康托爾的導師）利用函式項級數構造出了一個病態函式，為上述猜測做了一個終結，函式數學描述如下：

這個函式逆天在於，

簡而言之，它的尖刺折點是如此之多，以至於無論你放多大，在多細微的尺度觀察任何一段，函式影象都不會顯得更加光滑，它處處都是尖銳的。

這怎麼可能？

它的證明首次出現在魏爾斯特拉斯於1872在普魯士科學院出版的一篇論文中，我們現在稱它為魏爾斯特拉斯函式。

說它病態，是因為它是一種不可測函式。

你無法用筆畫出任何一部分影象的函式，因為每一點的導數都不存在，畫的人將無法知道每一點該朝哪個方向畫。

透過計算機逐點描繪，函式影象是這樣的：

該反例構造出來後，在數學界引起極大的震動。

因為對於此類病態函式，傳統的數學方法已無能為力。這個發現以及後來許多病態函式的例子，充分說明了直觀及幾何的思考不可靠，而必須訴諸嚴格的概念及推理。

隨後，這個例子促成了一門新的學科“分形幾何”的產生。所謂“分形”，就是指某圖案的區域性與整體具有相似性。這種性質又稱為“自相似”。

分析學的成果表明，儘管它們“反常”，但病態函式事實上不在“少數”，甚至比那些“健康”的函式“多得多”。

例如：

狄利克雷函式——定義在整個連續實數域(-∞, +∞)，卻處處不連續；

爆米花函式（Thomae"s function）——處處極限為0，但在任意小區間中，都包含著無數個值不為0的點。

必須要指出，類似魏爾斯特拉斯函式的例子歷史上並不是老魏第一個提出的。

在他之前，數學分析嚴謹化的另一位推動者——捷克數學家波爾查諾，在他1834年撰寫但未完成的著作《函式論》中，首次給出了一個處處連續但處處不可導函式的例子，但他並未給出函式的解析表示式，且遺憾的是，他的貢獻多半被他的同時代的人所忽視，許多成果若干年後才被發現，但功勞已被搶佔或只能與別人分享了。

諾諾心裡苦啊！

你看，經過幾千年的進化，人類自身還是傾向於相信直覺，“所見即所得”在大多數情況下依然相當有說服力。比如下面這些看起來都像是天然正確、不容置疑的：

光線永遠是沿直線傳播的；

任何地方的時間是同步的；

只要不斷加速，物體的速度是沒有限制的。

幸好，我們還有數學。

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著名數學家華羅庚教授曾說過：“就數學本身而言，是壯麗多彩、千姿百態、引人入勝的…，認為數學是枯燥乏味的人，只看到了數學的嚴謹性，而沒有體會到數學的內在美”。本人拙見，數學能給人帶來趣味，也是一種美。就象遊戲一樣，讓人陶醉，感受美一樣的享受。復旦大學錢文忠教授曾在一次以“不能再對孩子讓步”為題的演講中說過：如果孩子能在學習中感到快樂，那他將來將會成為大師級的人物。這話說得太過絕對。只要我們能夠呈現知識的趣味和美妙，即便是一般學生，也是能感受到學習的快樂的，當然這其中並不排除學習的辛勞。

本文將呈現幾何圖形的內在結構美、數學證明的直觀美、特殊到一般數學思想的直觀自然美、知識呈現的邏輯美和分類思想的嚴謹美。

本文附圖（一）、（二）、（三）中，三個圖形從整體上來看，都是等邊三角形。美妙的是，這三個等邊三角形，都是由全等的含30度銳角的直角三角形拼接而成。我們可以想象，象這樣的等邊三角形，用同樣的方法，還可以拼出無窮多個。圖形內在結構的美妙，在這裡能夠得到呈現。

木文附圖（二）中，由特殊的三角形即等邊三角形，直觀形象地呈現出等邊三角形三邊中線及其交點的性質：1，把該三角形面積分成相等的六部分；2，交點把中線分成2：1的兩段。當然，從附圖（二）中，還可以直觀地看出圖形的好多幾何性質（因為交點是正三角形的中心），但因為不是本文要討論的內容，因而略去不述。

這一特殊三角形所具有的上述性質，能夠推廣到一般的即任意的三角形中去嗎？當然，在任意三角形中，上述性質仍然成立。這就是從特殊到一般的數學思想的直觀體現。如本文圖（四），可以利用三角形面積公式、中線和邊中點的性質，很容易推理出前述兩點性質。且已有他人證明，故在此不再贅述。因為此處重點在於直觀呈現從特殊到一般的數學思想，故不必讓其它內容在此浪費讀者時間。

本文附圖（三）中，直接了當地呈現出正三角形的中位線平行於第三邊且等於第三邊的一半這一性質。如前所述，這是特例。在任意三角形中，這一性質仍然成立嗎？這樣推而廣之地思考，也是從特殊到一般數學思想的體現。這樣呈現數學知識，符合認知規律，學習者易於理解接受。能讓數學知識、方法、思想具象化，就不會產生枯燥乏味之感。三角形中位線定理，這是初中教學教材幾何章節的內容之一。然而需要特別指出的是，在初中教學教材中，把這一三角形的知識，卻安排到四邊形中的平行四邊形中來證明介紹，從分類思想的角度來講，這種處理並不嚴謹。有關三角形的知識，應該歸入三角形章節中來講。此乃本人一家之言，僅供讀者評判參考。

按照歐幾里得的幾何邏輯，這一有關三角形的性質定理，完全可以在三角形章節中來證明介紹。如本文附圖（五）。

這裡需要用到平行線間距離的概念和平行線之間的距離處處相等這一定理。該定理，在學完全等三角形章節後就可呈現證明，不知為什麼初中教學教材卻安排在相似三角形中來呈現。此定理證明很簡單，在此不再羅列。

如本文附圖（五）中，作△ABC底邊BC上的高AH，交BC點H。過AH的中點D，作EFllBC（即EF上AH），分別交另兩邊於點E、F。分別過點E、F作EP⊥BC交BC於點P、FQ上BC交BC於點Q。根據平行線間距離摡念及平行線間的距離處處相等這一定理，易知EP=DH=FQ。又因D是AH的中點，易知EP=DH=FQ=AD。又因EP丄BC，AH⊥BC，易知角EAD=角BEP，從而易證△ADE≌△EPB，因而有ED=BP，AE=EB，角EBP=角AED，易得EDllBP，即EFllBC。同理，易證△ADF≌△FQC，易得AF=FC，DF=QC，所以有EF是△ABC的中位線，亦有BP+QC=ED+DF，即EF=1/2BC。命題得證。

數學的美是一種自然的美，而且還蘊藏著很深的哲理！比如本文五邊形的圖片中，五邊形的底邊與對角線的比是黃金比例1.618。圖中自然形成一個由五個三角形交織成威武的五星！五星對應中華民族傳統文中的五行氣。從而自然構成傳統文化中的三五之道的蘊意！每個三角形輪流運動72天（三角形底角72度），一個五星運動週期則自然形成為360天，外加先天存在的5形數乃生成為陽曆的一年週期。

另外五星中蘊藏的1.618比例在人體上也非常完美的體現了它美的價值！

當然這只是數學之中以自然現象存在的一個例子，實質上數學是大自然運動規律的反映，相信真正懂得數學的人（而不是懂得西方數理）一定會舉出許多類似的例子來驗證數學之美！