說一個最前沿的數學領域—拓撲斯理論，以下是我根據材料整理出來的。
拓撲，也稱“橡皮泥幾何學”，這個稱呼其實很形象。在數學家眼裡，帶距離的叫幾何。不帶距離的，就是拓撲。所以數學家們常常也說幾何的東西有某種“剛性”，而拓撲則相對“軟”一點。
拓撲研究的物體，不關心長度。在拓撲學家眼裡，假如忽略籃球的打氣孔，一個籃球和一個乒乓球其實沒區別，但是籃球和救生圈就很不一樣。我想大家也能感受出它們的區別來，非要描述，可能會說，救生圈中間有個洞，籃球和乒乓球就沒有。
拓撲學家乾的事情其實沒有很高大上，他們只是把簡單的“洞”“不一樣”，用數學的語言描述了出來。
拓撲關心的事情叫做同胚。這其實是個很形象的詞：一塊泥胚，你可以用手把它做成一個甜甜圈，也可以做成一個菸斗。菸斗和甜甜圈都是同一個泥胚在不撕裂的情況下捏出來的，所以叫做同胚，非常形象生動。
拓撲關心所謂的拓撲分類，同胚的東西在拓撲學家眼裡就是一樣的。這也就是那個著名的菸斗和甜甜圈的故事。
拓撲，是十九世紀形成的一門數學分支，它屬於幾何學的範疇。有關拓撲學的一些內容早在十八世紀就出現了。那時候發現一些孤立的問題，後來在拓撲學的形成中佔著重要的地位。在數學上，關於哥尼斯堡七橋問題、多面體的尤拉定理、四色問題等都是拓撲學發展史的重要問題。
哥尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。十八世紀在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個島和河岸聯結起來。人們閒暇時經常在這上邊散步，一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍，最後又回到原來的位置。這個問題看起來很簡單有很有趣的問題吸引了大家，很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰也沒有做到。看來要得到一個明確、理想的答案還不那麼容易。
1736年，有人帶著這個問題找到了當時的大數學家尤拉，尤拉經過一番思考，很快就用一種獨特的方法給出瞭解答。尤拉把這個問題首先簡化，他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個點，而把七座橋看作這四個點之間的連線。那麼這個問題就簡化成，能不能用一筆就把這個圖形畫出來。經過進一步的分析，尤拉得出結論——不可能每座橋都走一遍，最後回到原來的位置。並且給出了所有能夠一筆畫出來的圖形所應具有的條件。這是拓撲學的“先聲”。
在拓撲學的發展歷史中，還有一個著名而且重要的關於多面體的定理也和尤拉有關。這個定理內容是：如果一個凸多面體的頂點數是v、稜數是e、面數是f，那麼它們總有這樣的關係：f+v-e=2。根據多面體的尤拉定理，可以得出這樣一個有趣的事實：只存在五種正多面體。它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。著名的“四色問題”也是與拓撲學發展有關的問題。四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數學難題之一。四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業於倫敦大學的弗南西斯.格思裡來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發現了一種有趣的現象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家都被著上不同的顏色。”
1872年，英國當時最著名的數學家凱利正式向倫敦數學學會提出了這個問題，於是四色猜想成了世界數學界關注的問題。世界上許多一流的數學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰。1878～1880年兩年間，著名律師兼數學家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣佈證明了四色定理。但後來數學家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。於是，人們開始認識到，這個貌似容易的題目，其實是一個可與費馬猜想相媲美的難題。進入20世紀以來，科學家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行。電子計算機問世以後，由於演算速度迅速提高，加之人機對話的出現，大大加快了對四色猜想證明的程序。1976年，美國數學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終於完成了四色定理的證明。不過不少數學家並不滿足於計算機取得的成就，他們認為應該有一種簡捷明快的書面證明方法。
拓撲是個數學概念，它不僅僅只是一個學科的名字。它的數學含義是，拓撲定義了一個空間內所有的開集。
學過一點數學的人可能會問：開集不是都定義好了麼，比如實數軸上的開區間就是開集，閉區間就是閉集。拓撲怎麼還“定義”開集？難道它還能指著閉區間說這是開集？
Exactly，拓撲就是個教你做人的……額不，教你什麼是開集的東西。
數學家最喜歡抽象和推廣，從現實世界的一個兩個抽象出1，2，3，從現實世界的幾何抽象出歐式幾何等等。拓撲就是一般開集概念的推廣。數學家們想，憑什麼我只能管開區間叫開集？我能不能管閉區間也叫開集？我能不能管左開右閉區間也叫開集？然後發現：好像沒人說不可以啊，那我們就這麼叫叫看，結果就叫出了拓撲學。
什麼是開集？開集是用來描述點和點之間的親疏關係的。假如兩個點同時在很多個開集裡，說明它倆離的比較近。就比如實數里的開區間，假如兩個數離的比較近，感覺上有更多的開區間同時包含這兩個數。你就想，長度大於1的開區間很有可能蓋住0和1，但是長度大於10000的才有可能蓋住0和10000，所以感覺上0和1應該更親近一點。
所以知道了拓撲，就知道了這個空間的開集（哲學的說，就知道了這裡麵點的親疏關係）。以前，大家看到的是一片點，不分彼此。現在，我們有了拓撲，你就可以看到親疏、遠近了。是不是結構一下子就豐富起來了？
就像以前我們只有一班的名單，現在我們知道一班裡每個人的之間的關係：張三和李四是好朋友，李四和趙六是死對頭，這樣我們就可以更合理的安排座位，管理班級了。所以有了拓撲，我們就可以幹很多事情了！比如
有了拓撲，我們可以定義閉集、緊集。
有了拓撲，我們可以定義什麼是一個集合的內部，什麼是一個集合的閉包，什麼是一個集合的邊界。
最後說幾個拓撲的例子吧。首先是大家最熟悉的實數集，它上面的開集大家都很熟悉，就是開區間和它們的並們，這些集合組成這個空間的拓撲。這樣的拓撲稱為歐氏拓撲。
第二個是對於任何一個空間，我們定義它的拓撲裡只有兩個元素：全空間和空集。這個意思就是說，這個空間的子集假如是個開集，要麼它是空集，要麼它是全空間。我們可以看到這樣的空間裡，點和點之間都不分彼此，隨便一個點的鄰域（包含這個點的開集）只能是全空間。這樣的拓撲稱為平凡拓撲。
最後一個是對於任何一個空間，我們定義它的拓撲為所有的子集。意思是說，這個空間裡任何一個子集，都是開集（包括全空間和空集）。這個空間裡的點相互之間都很冷漠，因為我們總可以取 某個點本身 這個子集（注意，它是開集），這個子集作為這個點的鄰域，它不含任何其他點。這樣的拓撲稱為離散拓撲。
如果說平凡拓撲是集體宿舍，那離散拓撲就是單身公寓。
說一個最前沿的數學領域—拓撲斯理論，以下是我根據材料整理出來的。
拓撲，也稱“橡皮泥幾何學”，這個稱呼其實很形象。在數學家眼裡，帶距離的叫幾何。不帶距離的，就是拓撲。所以數學家們常常也說幾何的東西有某種“剛性”，而拓撲則相對“軟”一點。
拓撲研究的物體，不關心長度。在拓撲學家眼裡，假如忽略籃球的打氣孔，一個籃球和一個乒乓球其實沒區別，但是籃球和救生圈就很不一樣。我想大家也能感受出它們的區別來，非要描述，可能會說，救生圈中間有個洞，籃球和乒乓球就沒有。
拓撲學家乾的事情其實沒有很高大上，他們只是把簡單的“洞”“不一樣”，用數學的語言描述了出來。
拓撲關心的事情叫做同胚。這其實是個很形象的詞：一塊泥胚，你可以用手把它做成一個甜甜圈，也可以做成一個菸斗。菸斗和甜甜圈都是同一個泥胚在不撕裂的情況下捏出來的，所以叫做同胚，非常形象生動。
拓撲關心所謂的拓撲分類，同胚的東西在拓撲學家眼裡就是一樣的。這也就是那個著名的菸斗和甜甜圈的故事。
1、拓撲斯理論來源拓撲，是十九世紀形成的一門數學分支，它屬於幾何學的範疇。有關拓撲學的一些內容早在十八世紀就出現了。那時候發現一些孤立的問題，後來在拓撲學的形成中佔著重要的地位。在數學上，關於哥尼斯堡七橋問題、多面體的尤拉定理、四色問題等都是拓撲學發展史的重要問題。
哥尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。十八世紀在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個島和河岸聯結起來。人們閒暇時經常在這上邊散步，一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍，最後又回到原來的位置。這個問題看起來很簡單有很有趣的問題吸引了大家，很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰也沒有做到。看來要得到一個明確、理想的答案還不那麼容易。
1736年，有人帶著這個問題找到了當時的大數學家尤拉，尤拉經過一番思考，很快就用一種獨特的方法給出瞭解答。尤拉把這個問題首先簡化，他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個點，而把七座橋看作這四個點之間的連線。那麼這個問題就簡化成，能不能用一筆就把這個圖形畫出來。經過進一步的分析，尤拉得出結論——不可能每座橋都走一遍，最後回到原來的位置。並且給出了所有能夠一筆畫出來的圖形所應具有的條件。這是拓撲學的“先聲”。
在拓撲學的發展歷史中，還有一個著名而且重要的關於多面體的定理也和尤拉有關。這個定理內容是：如果一個凸多面體的頂點數是v、稜數是e、面數是f，那麼它們總有這樣的關係：f+v-e=2。根據多面體的尤拉定理，可以得出這樣一個有趣的事實：只存在五種正多面體。它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。著名的“四色問題”也是與拓撲學發展有關的問題。四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數學難題之一。四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業於倫敦大學的弗南西斯.格思裡來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發現了一種有趣的現象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家都被著上不同的顏色。”
1872年，英國當時最著名的數學家凱利正式向倫敦數學學會提出了這個問題，於是四色猜想成了世界數學界關注的問題。世界上許多一流的數學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰。1878～1880年兩年間，著名律師兼數學家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣佈證明了四色定理。但後來數學家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。於是，人們開始認識到，這個貌似容易的題目，其實是一個可與費馬猜想相媲美的難題。進入20世紀以來，科學家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行。電子計算機問世以後，由於演算速度迅速提高，加之人機對話的出現，大大加快了對四色猜想證明的程序。1976年，美國數學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終於完成了四色定理的證明。不過不少數學家並不滿足於計算機取得的成就，他們認為應該有一種簡捷明快的書面證明方法。
1、什麼是拓撲？拓撲是個數學概念，它不僅僅只是一個學科的名字。它的數學含義是，拓撲定義了一個空間內所有的開集。
學過一點數學的人可能會問：開集不是都定義好了麼，比如實數軸上的開區間就是開集，閉區間就是閉集。拓撲怎麼還“定義”開集？難道它還能指著閉區間說這是開集？
Exactly，拓撲就是個教你做人的……額不，教你什麼是開集的東西。
數學家最喜歡抽象和推廣，從現實世界的一個兩個抽象出1，2，3，從現實世界的幾何抽象出歐式幾何等等。拓撲就是一般開集概念的推廣。數學家們想，憑什麼我只能管開區間叫開集？我能不能管閉區間也叫開集？我能不能管左開右閉區間也叫開集？然後發現：好像沒人說不可以啊，那我們就這麼叫叫看，結果就叫出了拓撲學。
什麼是開集？開集是用來描述點和點之間的親疏關係的。假如兩個點同時在很多個開集裡，說明它倆離的比較近。就比如實數里的開區間，假如兩個數離的比較近，感覺上有更多的開區間同時包含這兩個數。你就想，長度大於1的開區間很有可能蓋住0和1，但是長度大於10000的才有可能蓋住0和10000，所以感覺上0和1應該更親近一點。
所以知道了拓撲，就知道了這個空間的開集（哲學的說，就知道了這裡麵點的親疏關係）。以前，大家看到的是一片點，不分彼此。現在，我們有了拓撲，你就可以看到親疏、遠近了。是不是結構一下子就豐富起來了？
就像以前我們只有一班的名單，現在我們知道一班裡每個人的之間的關係：張三和李四是好朋友，李四和趙六是死對頭，這樣我們就可以更合理的安排座位，管理班級了。所以有了拓撲，我們就可以幹很多事情了！比如
有了拓撲，我們可以定義閉集、緊集。
有了拓撲，我們可以定義什麼是一個集合的內部，什麼是一個集合的閉包，什麼是一個集合的邊界。
最後說幾個拓撲的例子吧。首先是大家最熟悉的實數集，它上面的開集大家都很熟悉，就是開區間和它們的並們，這些集合組成這個空間的拓撲。這樣的拓撲稱為歐氏拓撲。
第二個是對於任何一個空間，我們定義它的拓撲裡只有兩個元素：全空間和空集。這個意思就是說，這個空間的子集假如是個開集，要麼它是空集，要麼它是全空間。我們可以看到這樣的空間裡，點和點之間都不分彼此，隨便一個點的鄰域（包含這個點的開集）只能是全空間。這樣的拓撲稱為平凡拓撲。
最後一個是對於任何一個空間，我們定義它的拓撲為所有的子集。意思是說，這個空間裡任何一個子集，都是開集（包括全空間和空集）。這個空間裡的點相互之間都很冷漠，因為我們總可以取 某個點本身 這個子集（注意，它是開集），這個子集作為這個點的鄰域，它不含任何其他點。這樣的拓撲稱為離散拓撲。
如果說平凡拓撲是集體宿舍，那離散拓撲就是單身公寓。