這個問題有意思。你的想法是對的，圓錐的體積，是可以看成一個直角三角形繞固定軸旋轉一圈而來，當然也可以用這種方式來求出圓錐的公式。所用的方法，就是積分計算。

底面是半徑為R的圓，高度為H

下面來嘗試一下，怎麼透過以上的想法，最後求出圓錐的公式。設圓錐的高度為H,半徑為R，並切出一個直角三角形，則這個三角形如下

並將這個直角三角形放進直角座標系。高度H和半徑R分別為y與x軸，交點為原點。容易得到斜邊直線方程為

根據圓的面積公式，容易得到圓錐體積公式為面積的積分

接著變化

容易得到圓錐的體積為

這個公式與中學學習的圓錐公式體積是一致的。

所以，當你掌握了微積分以後，所有的幾何圖形面積，都可以輕鬆推匯出來。

應該可以吧？如下圖：

紅色直角三角形繞一週，將圓錐分成無數小塊，每個小塊的體積近似於三角錐 σᵢ。σᵢ 的底面三角形 的 底邊 近似等於 圓弧弧長 RΔψᵢ ，高是半徑 R，於是 σᵢ 的底面積是近似等於 R² Δψᵢ/2，進而 σᵢ 的體積近似為：

(1/3)(R² Δψᵢ/2)h = (1/6)R²h Δψᵢ

令，Δψ = max {Δψᵢ, i = 0, 1, ..., n}，則 根據黎曼積分，圓錐的體積為：

（注：上面計算中，σᵢ 的底面三角形的底邊可近似等於圓弧弧長，是因為 lim_{x → 0} sin x / x = 1。)

經緯尺寸溶積相同；

你要不怕運算麻煩；

可以互相合理推導；

個人認為僅供參考。

可以。要應用如下知識：①若一個物體可由一個圖形經過平移、旋轉等變換形成，那麼該物體的體積等於該圖形的面積與該圖形重心移動距離的乘積。②三角形重心將中線分為兩段，長度比長：短=2:1。

假定該圓錐高為h，底面圓半徑為r。

可以認為該圓錐由直角三角形旋轉一週形成。在直角三角形ABC中，假定AB=h， BC=r， D為BC中點，E為△ABC重心，EF∥BC。

三角形ABC面積:S=1/2rh

∵EF∥BC∴△AEF∽△ADB

∵AE：ED=2：1∴EF：BD=2：3，故EF=1/3r

故重心移動距離L=2π*1/3r=2/3πr

圓錐體積V=S*L=1/3πr²h

可以啊，為什麼不可以？用積分可以輕易推出三分之一等底同高圓柱體積公式，涉及複雜數學符號，輸入不易，我就不推了，你自己試試。

知道你的意思……圓錐切成一個個圓，微積分簡單就出來了！

但切成一個個直角三角形，微積分照樣可以推匯出來……但比較麻煩了，大神們都給出答案了！造成這個問題的原因在於：你用1億個直角三角形切圓錐，邊長那部分還是1米間隔，但圓心邊上呢？！

積分現在已經忘記了，但是從提問的角度來思考肯定是可以的，但是我覺得用直角座標描述不合適了，因為旋轉的一個微小偏移量是一個角度，應該用極座標系描述比較合適，就跟計算園的周長類似，實在是忘了，想想都覺用在極座標系下來積分很簡單。

是可以的，最近學專升本高數就有積分算旋轉體積，當時老師直接拆分出來一個三角形計算錐體積，我用積分的方法算了一下，答案是一樣的

可以繞。但不是三角形繞，是以一個角度很小的扇形為底的一個三稜錐繞一週。因為是繞圈，需要跟角度(說白了就是需要出現dθ)產生關係才能積分。但三角形的面積裡沒出現θ。具體是：

底,是扇形,面積=½θr²=A

則高h的三稜錐體積=⅓Ah=r²hθ/6=B

當扇形的角度θ變得很小就成了dθ

然後再把B旋轉一週,就是定積分：

∫[0,2π] r²h/6 dθ = πr²h/3

這就是圓錐體積公式。

當然可以啦。不過你得搞清楚積分的微元是什麼。必須注意微元的底面是“扇形”而不是長方形。這樣才可以對弧度積分。

之所以不常見這種方法的原因之一是：你依然需要先得到扇形錐的體積公式，還是需要做截面積分。然而既然都已經用了截面積分，何不直接應用在圓錐體上？還更加普適，斜的椎體（沒法簡單旋轉繞圈）也能算。