我先簡單介紹一下阿克琉斯追老龜的故事。阿喀琉斯是古希臘神話裡的大英雄，有一個阿克琉斯之踵，說的就是阿喀琉斯雖然全身刀槍不入但是存在唯一的弱點——他的腳後跟。由此可想而知，這傢伙得多厲害。阿喀琉斯除了身體強悍，而且擅長跑步。但是有一隻烏龜卻笑了，它聲稱，阿喀琉斯再厲害也追不上它。這就是古希臘哲學家芝諾提出的著名的芝諾悖論之一的“阿喀琉斯悖論”。烏龜說，讓它先走一段距離，這裡設定為1千米，阿喀琉斯在它後面和賽跑。假設阿喀琉斯的速度是烏龜速度的十倍，那麼阿喀琉斯跑了一千米，用時為t，而烏龜則跑了100米，相距100米；接著，阿喀琉斯又跑了100米，用時t1，烏龜則跑了10米，相距10米。烏龜斷言，無論多長時間以後，它和阿喀琉斯總會有距離，而不是我們想象的“阿喀琉斯追上並超過烏龜”。
數學家會說，這裡面存在一個極限，那就是一定時間以後，阿喀琉斯跑完烏龜前一個時間所跑的路程所用的時間是趨於0的，而且這些時間加起來是有上限的。我們來看看阿喀琉斯和烏龜跑步用時：
最開始的一千米，阿喀琉斯用時為t，烏龜跑了100米；
第二段時間應該是t/10，這樣阿喀琉斯跑了100米，烏龜跑了10米；
第三段時間為t/100，阿喀琉斯跑了10米，烏龜跑了1米
……
第n段時間為t/10^(n-1)，阿喀琉斯跑了10^(4-n)米，烏龜為10^(3-n)米。
我們求和所有的時間段，得到一個總時間，並把阿喀琉斯和烏龜之間的距離表示成這個時間的函式，
很明顯，當T=10t/9的時候，阿喀琉斯和烏龜的距離為0，再往後，阿喀琉斯超過烏龜。這裡面用到的極限就是
這就是極限理論給出的解釋。
其實，芝諾早就注意到上面的解釋了(否則他不會說“無限接近”這樣的詞語，只是那個時代極限的數學嚴格表述還沒有被提出來)。但他仍然認為悖論是存在的。為什麼呢？因為芝諾認為，我們只有令n趨於無窮大才能使阿喀琉斯追上烏龜，在他看來，這裡面有一個發散困難。現在假設我們可以做這樣的計時：阿喀琉斯每走過烏龜再上段時間內走過的路程時，我們增加一個單位時間。那麼，可以發現，這種發散就會被這種奇怪的計時方法表徵出來。雖然芝諾沒有說過這樣的話，但是如果我們要去理解芝諾所說的悖論，用這種方法會比較清楚明白。現在，我們用這種方法重新來描述阿喀琉斯追烏龜的過程。
在第一個單位時間裡，阿喀琉斯走過了1千米，烏龜走100米；
第二個單位時間裡，阿克琉斯走過了100米，烏龜則是10米；
第n個單位時間裡，阿喀琉斯走過了阿喀琉斯跑了10^(4-n)米，烏龜為10^(3-n)米。
再次計算總時間為
那麼有
這時候我們發現，如果令D=0，T=∞。芝諾的這個悖論其實是在問，我們能不能做下面的時間變換
如果我們假設T‘和T一樣是無界的，那麼答案是不允許！因為這個變換其實默認了T"是有界的，這就是芝諾偷換概念的地方。也就是說，對於有界的時間，芝諾悖論或許有道理但是對於無界時間，芝諾悖論一定是毫無道理的。
這裡，我想強調一下，許多人認為只有用量子力學才能解釋芝諾悖論。其論調是，由於量子力學，時空不可以無限分割。而我要說的是這是根本不懂量子力學的胡說八道。在量子力學的路徑積分量子化裡，對時空進行無窮的分割是十分必要的。而所謂的存在最小時間——普朗克時間，這是廣義相對論和量子力學結合起來的並帶有很大無奈的做法——因為沒有量子引力；而且普朗克時間不是什麼情況都能討論的，它的前提是能標必須十分高，忽略這個前提就說普朗克時間，那基本是無可救藥了。物理不需要什麼高深理論，只要一個實驗就可以了。因為無論理論多麼複雜神奇，都必須經得住實驗的檢驗。這就是為什麼芝諾悖論對物理而言，影響並不大。因為實驗證明，烏龜不僅會被阿喀琉斯甩到老遠，而且還會遇到兔子，然後贏了兔子。（玩笑而已。）
我先簡單介紹一下阿克琉斯追老龜的故事。阿喀琉斯是古希臘神話裡的大英雄，有一個阿克琉斯之踵，說的就是阿喀琉斯雖然全身刀槍不入但是存在唯一的弱點——他的腳後跟。由此可想而知，這傢伙得多厲害。阿喀琉斯除了身體強悍，而且擅長跑步。但是有一隻烏龜卻笑了，它聲稱，阿喀琉斯再厲害也追不上它。這就是古希臘哲學家芝諾提出的著名的芝諾悖論之一的“阿喀琉斯悖論”。烏龜說，讓它先走一段距離，這裡設定為1千米，阿喀琉斯在它後面和賽跑。假設阿喀琉斯的速度是烏龜速度的十倍，那麼阿喀琉斯跑了一千米，用時為t，而烏龜則跑了100米，相距100米；接著，阿喀琉斯又跑了100米，用時t1，烏龜則跑了10米，相距10米。烏龜斷言，無論多長時間以後，它和阿喀琉斯總會有距離，而不是我們想象的“阿喀琉斯追上並超過烏龜”。
數學家會說，這裡面存在一個極限，那就是一定時間以後，阿喀琉斯跑完烏龜前一個時間所跑的路程所用的時間是趨於0的，而且這些時間加起來是有上限的。我們來看看阿喀琉斯和烏龜跑步用時：
最開始的一千米，阿喀琉斯用時為t，烏龜跑了100米；
第二段時間應該是t/10，這樣阿喀琉斯跑了100米，烏龜跑了10米；
第三段時間為t/100，阿喀琉斯跑了10米，烏龜跑了1米
……
第n段時間為t/10^(n-1)，阿喀琉斯跑了10^(4-n)米，烏龜為10^(3-n)米。
我們求和所有的時間段，得到一個總時間，並把阿喀琉斯和烏龜之間的距離表示成這個時間的函式，
很明顯，當T=10t/9的時候，阿喀琉斯和烏龜的距離為0，再往後，阿喀琉斯超過烏龜。這裡面用到的極限就是
這就是極限理論給出的解釋。
其實，芝諾早就注意到上面的解釋了(否則他不會說“無限接近”這樣的詞語，只是那個時代極限的數學嚴格表述還沒有被提出來)。但他仍然認為悖論是存在的。為什麼呢？因為芝諾認為，我們只有令n趨於無窮大才能使阿喀琉斯追上烏龜，在他看來，這裡面有一個發散困難。現在假設我們可以做這樣的計時：阿喀琉斯每走過烏龜再上段時間內走過的路程時，我們增加一個單位時間。那麼，可以發現，這種發散就會被這種奇怪的計時方法表徵出來。雖然芝諾沒有說過這樣的話，但是如果我們要去理解芝諾所說的悖論，用這種方法會比較清楚明白。現在，我們用這種方法重新來描述阿喀琉斯追烏龜的過程。
在第一個單位時間裡，阿喀琉斯走過了1千米，烏龜走100米；
第二個單位時間裡，阿克琉斯走過了100米，烏龜則是10米；
……
第n個單位時間裡，阿喀琉斯走過了阿喀琉斯跑了10^(4-n)米，烏龜為10^(3-n)米。
再次計算總時間為
那麼有
這時候我們發現，如果令D=0，T=∞。芝諾的這個悖論其實是在問，我們能不能做下面的時間變換
如果我們假設T‘和T一樣是無界的，那麼答案是不允許！因為這個變換其實默認了T"是有界的，這就是芝諾偷換概念的地方。也就是說，對於有界的時間，芝諾悖論或許有道理但是對於無界時間，芝諾悖論一定是毫無道理的。
這裡，我想強調一下，許多人認為只有用量子力學才能解釋芝諾悖論。其論調是，由於量子力學，時空不可以無限分割。而我要說的是這是根本不懂量子力學的胡說八道。在量子力學的路徑積分量子化裡，對時空進行無窮的分割是十分必要的。而所謂的存在最小時間——普朗克時間，這是廣義相對論和量子力學結合起來的並帶有很大無奈的做法——因為沒有量子引力；而且普朗克時間不是什麼情況都能討論的，它的前提是能標必須十分高，忽略這個前提就說普朗克時間，那基本是無可救藥了。物理不需要什麼高深理論，只要一個實驗就可以了。因為無論理論多麼複雜神奇，都必須經得住實驗的檢驗。這就是為什麼芝諾悖論對物理而言，影響並不大。因為實驗證明，烏龜不僅會被阿喀琉斯甩到老遠，而且還會遇到兔子，然後贏了兔子。（玩笑而已。）