很負責任地告訴你，物理中也有定理，例如動能定理。定律是不能用已有理論推匯出來的，而定理是可以有已有理論推匯出來的結論。

凡是可以判斷正誤的陳述句稱之為命題(proposition)，例如“3比2大”，“兩條邊相等的三角形是兩底角也相等”，“英國的首都是倫敦”都是命題，並且判斷為正確，“平面上三角形內角和是170度”，就是一句判斷為錯誤的命題。

而“身高超過175算是高個子”就不是命題，因為這句話的正誤對不同人而言是不一樣的，“明早8點取一下快遞”就更不是命題了。

正確的命題裡面又區分為公理(axiom)，公設(postulate)，定理(theorem)，定律(law)，定則(rule)和原理(principal)。這幾個概念的含義是不一樣的。

公理指的是大家都認為是正確，但是卻又無法利用已有的結論來證明出的命題，例如“1+1=2”，“兩點之間直線最短”等等(當然，隨著數學不斷地深入發展，上面說的這兩個公理也是可以被其它更基礎的公理所證明的，但我們這裡暫時不談)。

公設指的是大家不知道它是不是正確的，但是為了研究需要，我們就假定它是正確的這樣的命題。比如大名鼎鼎的歐幾里得第五公設：“若兩條直線被一直線截得的一組同側內角之和小於二直角，則適當延長這兩條直線，必在和小於二直角的一側相交”。而經濟學上公社用的更是廣泛，比如最著名的理性人假說(雖然叫假說，但實質是公設)：所有人都是理性的。即在面對同一個問題不同解決方案時，一定會選擇那個使自己收益最大的方案。

定理指的是利用已知結論，透過邏輯推導得到的結論。數學上除了公理外，所有的定理都是這麼來的。定理又分為三種，引理(Lemma)，定理(Theorem)和推論(Corollary)，這三種命題之間沒有嚴格的劃分，一般來說，用途較多，重要性較高的稱之為定理，證明一個重要性較高的定理所需要的不太重要的定理稱之為引理，由重要性較高的定理直接推匯出來的定理稱為推論。比如高等數學裡面利用費馬定理來推拉格朗日中值定理，費馬定理就可以稱為一個小的引理。

定律指的是人們透過對大自然或實驗進行觀察，所得到的一般規律。它不是用已有結論邏輯推匯出來的，而是歸納總結出來的。例如開普勒三定律，它不是經過推理得到的，而是經過對大量天體與行星的運動的觀察，發現他們都遵循一個普遍的規律，於是總結出來開普勒三定律。再比如牛頓運動三定律，萬有引力定律等等。都是經過觀察或做實驗直得到的。定律在物理學上出現的比較多。

定則是人為規定的一種法則。比如計算向量叉乘的右手定則，食指指向被乘向量，中指指向乘向量，那麼我們就規定大拇指指的就是結果向量的方向。當然人們規定這些法則不是盲目規定，而是根據自然界中的物理現象來規定的。

原理有點類似於定律，它與定律之間的界限也不是很清晰，甚至還有一些原理有點類似於定理，因此它是上面所有概念中最模糊的一個。它有時候指依賴自然觀察得到的規律，比如勒夏特列原理；有時候也只經過邏輯推導，比如說測不準原理。

透過上述分析我們發現，一個理科學科裡面都有可能包含上面所有的內容，而定理，當然不是隻有數學中才有。定理的產生靠的是邏輯推導，而數學就是邏輯推導的工具。因此，但凡以數學為研究工具的學科裡邊，肯定都包含大量定理。比如物理學和經濟學，尤其以經濟學最多，比如經濟學上做比較靜態研究，即研究一個經濟過程中引數的變化對最優經濟產出結果的影響，最常用的工具——包絡定理

好問題，如果讀艾薩克·牛頓的《自然哲學的數學原理》的目錄，會發現有太多的——

定義、定律、推論、命題、問題、定理、引理、假設、規則、現象、附註。

——都是形式邏輯框架下的專業術語，具有非常嚴密的義理結構。這樣的科學著作與思維方式與我們國學思維是風馬牛不相及的。

▲這樣的行文格局，會讓華人感到匪夷所思。▲JUDGE AND REASON（斷後證），是科學精神的座右銘。只要有斷言或主張，就得有必要的理據與充分的證據，絕不可以想當然莫須有。

英國的基礎教育體系，非常重視邏輯思維與數學思維，《邏輯》課程是小學階段的必修課。難怪英國是科學強國、數理強國。

定理在邏輯思維體系中的位置

就實證主義語境而言，邏輯思維體系可以有下面的四個子系統，定理屬於一種邏輯依據。

實證主義的思維體系總表

① 認知主張：命題·問題·課題·主題

當人們有了認知動機，就會以“命題·問題·課題·主題”四種方式提出自己的主張。

② 客觀依據：現象·效應·事件·資料

為了求證與驗證某主張，首先尋求諸如“現象·效應·事件·資料”等客觀依據，作為例證。

例證因有感性干擾而不可靠，需要先判斷是否滿足起碼的“公理·公設·定義·定理”。

④ 物理依據：原理·機制·法則·定律

滿足邏輯依據，未必可靠。最終還要看是否滿足“原理·機制·法則·定律”等物理依據。

定理的意思

●定理，是理論上對特定參量關係的依據，是邏輯操作必須遵守的規則，英文的theorum，=theory(理論/學說)+um(事項)。例如：

基於平面三角形的內角和定理，可以計算平面多邊形的內角和。

基於畢達哥拉斯定理a²+b²=c²，推出直角三角函式的定義與關係：sinA=a/c，cosA=b/c，tgA=a/b，sinA=cosB，sin²A+cos²A=1

基於動能定理Ek=½mv²，可寫出熱力學第一定律與溫度的定義T=mv²/3k。

基於動量定理p=mv，可以寫出動量守恆與轉換定律：△Σp=0。

邏輯依據：公理·公設·定義·定理

定理、公理、定義、公設——這四個術語之間的關係比較密切。其中，定理不再解釋。

●公理，是若干定理所依據的總定理，公理是定理的定理。例如，基於“不共線三點確定一個平面”之公理，進而有平面三角形之定義，進而有平面三角形內角和之定理。

英文axiom, =axis(軸)+om(事項)，字面意思：公理是處於軸心地位的定理。

●定義，是對概念的外延(或結構性)與內涵(功能性)的預設。定義是公理與定理的邏輯基礎。

英文定義definition，=de(下來)+fin(限定)+ ition(事項)，即：在特定範圍所規定的意思。

凳子(的定義)，是有四條腿一塊板(外延/結構)用來就坐(內涵/功能)的傢俱。

參量(的定義)，是以參照系為測量基準(外延)用來構建解析方程(內涵)的變數。

溫度(的定義)，是實介質量子的平均動能(外延/結構)所規定的絕對溫標(內涵/功能)。

●公設，是在特定範圍內基於大量具體事實歸納出來的抽象性設定。有時，公設≈公理。

英文公設postulate，=post(後援/支撐)+ulate (相關的)，即：支撐若干定理的定義或規定。

公設，通常特指數學公設，尤其是幾何公設。但是，根據公設的定義，其它學科也有公設。

數學公設如：直線(公設)是兩點之間最短連線。距離是兩點之間的直線長度。

物理公設如：質點(公設)是比參照系遠的多或小的多的物系可看成沒有體積的點。

化學公設如：摩爾質量(公設)是基於阿伏伽德羅常數之粒子個數所對應的質量[kg/mol]。

物理依據：原理·機制·定律·法則

定理，歸根結底，來自物理科學原理，來自人類對客觀世界的科學發現或正確認知。

●原理，是對特定物質的基本存在形式與共有運動方式的解釋，是基本科學發現。英文原理principle, =prin(primary基本)+ciple(把持)，字面意思：原理是基本原則。

解釋，是理性與本性(自然性)之間的對應關係。解釋方式：對映、拓撲、函式、方程，是可靠的。否則，就可能缺乏說服力與執行力。

常用基本原理，如：槓桿原理、超對稱原理、最近原理、最小作用量原理、濃度擴散原理、泡利不相容原理、同斥異吸原理、人擇原理、社會節約勞動原理。

●機制，即機動性工作制度，也叫工作原理。機制涉及因果鏈、過程鏈、發生鏈。

重要機制如：光的發生機制、波的傳播機制、希格斯機制、電磁感應機制、光電效應機制。

工作原理如：計算機工作原理、電冰箱工作原理、光電管工作原理、霍爾元件工作原理、二極體單向導電原理、原電池工作原理。

●定律，是適用範圍較窄的原理。

例如，牛頓三定律、萬有引力定律、庫侖定律、法拉第電磁感應定律、楞次定律、質量守恆定律、能量守恆定律。

●法則，顧名思義，是方法論上的基本規則。分為自然法則、社會法則、思維法則。

自然法則，如：適者生存法則、優勝劣汰法則、食物鏈法則、新陳代謝法則、拉格朗日平衡點法則、氧化還原法則。

社會法則，如：協作共贏法則、市場力法則、盈虧平衡點法則、社會契約法則、設身處地法則、因地制宜法則、因勢利導法則。

思維法則，如：邏輯思維法則、對立統一法則、伯努利大數法則、實事求是法則、超對稱思維法則、色空亦空法則。

認知任務：命題·問題·課題·主題

●問題 (question)，是對模糊事項所提出的任務。諸如：何作者(who)，何物件(what)、何因(why)、何過程(how)，何時(when)、何處(where)。

●主題 (theme)，通常是需要在很長時間有待解決的主要問題。例如：空間是永恆的主題。場是至少是本世紀的主題。

●課題 (task problem)，是需要專項研究的問題，是科學論文研究的任務(task)。

●命題 (proposition)，是有待證實或驗證的對問題的解決方案，如主意、主張、觀點。

已經被證實的命題，就可以升級為原理、定律、公理、定理。定理是可靠的命題。

客觀依據：現象·效應·事件·資料

實證主義認為，公理、公設、定義與定理，都是有客觀依據的，換言之，都是可證實的。

●現象，是人們利用感官與儀器所觀測或發現或的跡象。簡言之，現象是被發現的跡象。

現象本來是客觀的，但由於感知有誤判，故所謂的“現象”未必是可靠的，需要嚴格甄別。

經過科學甄別的真實現象，可作為理論研究的證據。科學甄別很複雜，不能輕易下結論。

海市蜃樓屬於光學現象，但容易引起其它的解釋性誤判。水變油是假冒的其它化學現象。

哈勃望遠鏡接收的類星體紅移，屬於場效應現象，不能斷言是多普勒退行性紅移。

●效應，是典型的現象或效果，是科學研究的重要依據。但必須清楚，效應都是在特定條件下的區域性現象，不能以偏概全。

濃度擴散效應，是針對開放系統的，環境的溫度、壓強與密度，一定比系統的低。

窪地拉平效應，是針對開放系統的，系統的溫度、壓強與密度，一定比環境的低。

●事件，是可以分析為“原因·歷程·結局”中若干節點組成的因果鏈。

就統計學而言，事發過程的每個節點叫狀態，可定量表示為態參量或態函式。

●資料，是隊樣本事件的若干參量進行測量、統計處理的重要資訊，資料代表客觀事實。

科學精神，就是用可靠的大資料說話。沒有資料的任何旁徵博引，都是不可靠的。

證偽一個命題，只要一個樣本資料即可。證實一個命題，需要大量樣本事件的大資料。

定理的基本性質

定理是基於科學發現的技術發明。定理既源於現實又超出現實，即定理的抽象性，是可證實的。定理是對自然的模擬，定理是超自然的。

1. 定理的抽象性

定理是理想化或抽象化的操作模型。抽象，是對大量類似現象忽略次要差異的近似操作。

雖然，理想化的抽象蘊含在千差萬別的現象之中。但是，抽象模型≠自然真實。

彈道曲線，可以抽象為幾何學的拋物線。但實際截然不同：彈道還夾插如自由落體運動。

地球的繞日軌道可近似為封閉的橢圓，但實際軌跡絕非如此，太陽不可能只在原處。

雜化軌道理論的s軌道，可以近似為球形分佈，但絕不是實際軌跡，至少核子也在震盪。

天體可以抽象為球模型，但是，不能把宇宙空間也抽象為球模型，畢竟，二者沒有可比性。

2. 定理的侷限性

無論是公理公設還是定理，都有前提條件。定理在特定命題下得以成立，不可誇大範圍。

勾股定理，只適合小範圍的理想平面，但絕不適合大範圍。真實世界裡不存在平面。

動能定理，只適合離散性粒子或天體的運動。但絕不適合連續性場介質的波動。

3. 定理的可證性

無論是公理公設定理，還是原理法則定律，都有各自的客觀依據，都不是想當然的莫須有。

卡爾波普爾的證偽主義，主張“科學是可證偽的但是不可證實的”，違背起碼的思維法則。

勾股定理，可以有400多種證明方案。無理數定理，可以用歸謬法來證明。大數定理（或稱定律）可以用拋硬幣足夠多次的發生率大資料來證明。

動能定理，可以用熱力學第一定律的絕對溫標來證明。萬有引力定律（可晉升為定理）可以用卡文迪許扭秤實驗來證明。

結語

對於從事科學研究與工程技術的所有科學工作者而言，必須熟練掌握基於科學實證主義的邏輯思維概念體系。

為了提升全體國民的科學素質，在基礎教育與高等教育，普及科學實證主義的方法論，有關部門如教育部理當列入議事日程上來。