要用到高等數學中的無窮級數。你大學上數學專業就會知道怎麼回事了。

簡單的說，

有理數都可以表示成m/n的分數形式(m,n為整數)

而無理數則不能，設它=m/n必會推出矛盾

所以一個實數要麼是有理數，要麼是無理數

從小數的角度講，有理數是有限小數或者是無限迴圈小數；而無理數是無限不迴圈小數。

圓周率的無理性是1761年Lambert證明的,1882年Lindemann證明了圓周率是超越數，有興趣可以去看看相關文章

另外，圓周率甚至不是一個代數數，也就是說，不能由1-9經過有限次的加減乘除乘方開方運算表示出來（這樣的數叫超越數，超越數都是無理數），所以到目前為止只能寫成π=3.14159265358979……

今後你還會學到一個很常用的數e=2.71828…也是一個超越數。

並且，無理數遠不止這兩個，事實上，有理數的個數相對於無理數的個數來講，等於沒有。

數學是很有趣的，要帶著問題去學:)

當然能！

比如，一個周長為 2 的圓。圓周率乘以 2 再乘以這個圓的半徑等於 2 ：

π × ( 2 r ) = 2

結果，圓周率乘以“周長為 2 的圓的半徑的 2 倍”，等於 2 ( 有理數 )。

能！π×0=0，π×1/π=1，π×1/2π=1/2，π×1/3π=1/3……

其中0，1/π，1/2π，1/3π……都是實數；0，1，1/2，1/3……都是有理數。

當然能！

比如：π * （1/π）=1

你總不能說（1/π）不是一個數吧！

不過，如果要求與之相乘的數必須是非零的有理數的話，那就真的沒有了。π本身是無理數，無理數乘以一個非零的有理數，它的積肯定不是一個有理數。

另外，如果要求與之相乘的數可以是無理數，但它的表示式裡面不允許出現π本身，也不允許出現任何一個與π相關的衍生數（即：以π為基礎來進行定義和表達的數），這樣的話，我感覺答案很可能同樣是：沒有這樣的數。除非你把某些被證明與π存在數學聯絡的事件機率定義為數。

補充：

還有一個絕對沒有爭議的答案，就是零！

最常見的解答反而最容易被人遺漏！暈

圓周率是圓與直徑的比值，它乘以任何一個數，都沒有任何意義，因為圓周率本身不是數，而是值，值與數相乘，不會出現結果，更談不上結果是不是一個有理數。

例如，圓周率乘以7，你說，這能意味著什麼呢？難道說結果是7個圓周率嗎？世界上有這種東西存在嗎？

圓周率本身是個無理數，如果硬要說它與其他數相乘，不管其它數是有理數或無理數（0除外），結果只能是無理數，而且，只是一個沒有任何意義的無理數，這個結論，至於證明嘛，如同證明哥德巴赫猜想，我也是有口難言，沒辦法。

有人說，兀乘以兀分之一，結果等於一，是個有理數。實際上，兀分之一也是個無理數，兀乘以一個無理數，結果只能還是無理數，不存在等於1，要說它等於1，只能說是人類數學還未發展到高階階段。要真等於1了，那就是個有理數了。

由以上分析，圓周率不存在能與其他數相乘！

在回答之前先介紹一下圓周率，圓周率名稱來自於圓周長與直徑之比，一般用π表示，它是一個無理數，所謂無理數就是沒有規律的數，比如它是個小數，但是它的位數是無限的，又是不迴圈的。所有無理數是寫不成n/m的分數形式的，其中m和n均為不為零的有理數。圓周率π還是個超越數，由於與本題無關，這裡不作介紹，有興趣的可以查閱有關資料。好了下面進入正題。

先說答案：當然能了。舉幾個例子可以說明。比如說圓周率π乘以0就變成0了，0就是個有理數。再比如圓周率π乘以1/π就變成1了，1也是有理數。當然1/π並不是分數，它也是個無理數，咱們再從幾何圖形上舉個例子，我們知道圓周率π來自於圓周長C與直徑D之比，即C=πD，由上面可知，C和D不可能都是有理數，其中至少有一個是無理數，如果直徑D取大小為n/π的無理數（n為有理數），那圓周率π乘以直徑n/π，得到的圓周長C就為有理數n。當然反過來直徑D如果為有理數，那圓周長C就是無理數了。

實際上，①，無理數乖以任何不為0的有理數，其乘積仍然是無理數。

②，除0之外，無理數只有乘以無理數才有可能成為有理數，比如乖以1/π，形象地說就叫“以毒攻毒”。

圓周率變成有理數

這個問題的腦洞確實不小，要了解這個問題，我們必須要從圓周率的π的根本說起，

π是圓中周長與直徑的比值。若要用計算公式來表示它，恐怕隨便一找成百上千個是不成問題的。

首先π不是有理數，這個證明比較早，π不可以用任何一個分數來表示。那麼π肯定就是個無理數了，它究竟是一個什麼樣子的無理數呢？它不是任何一個有理係數的多項式方程的根，這句話怎麼理解？我們見過很多的三次，五次方程的根，假設你可以找到這個方程的根式解，那麼我們一定會發現，這個根是由許多個不同次方根組合而成的。比如根號3，三次根號5等等，我們通常把這些數成為代數數。1882年，數學家林德曼證明了，π不會是任何有理係數多項式方程的根。也就是說，π已經超過了代數數的範疇了，於是我們給π起了一個更高大上的名字——超越數。

很明顯，超越數的段位要比無理數，有理數要高得多。回到這個問題的本質上來，讓π成一個數，使得這個數變成有理數？其實這個問題關鍵就在於怎麼構造這個乘數，那乾脆我們就×1/π好了，兩個數字互為倒數，當然乘出來就是有理數了。

好了，如果我們拋棄上面的小伎倆，用一種嚴肅的方式來考慮這個問題，你很容易也就發現，除了那些刻意構造的數之外，任何數和π相乘都不會是有理數。π雖然如此實實在在地存在，但是它彷彿就是不合群，不願意與那些普普通通的數字為伍，我是超越數，無論你怎麼操作，我還是超越數。。。

圓周率乘以一個數能夠變成有理數嗎？

能，並且有無窮多個這樣的數。舉個例子就能說明。最簡單的是0、1/π。0就是一個有理數，任何數乘以0都是0。一個數和其倒數相乘結果為1，1也是有理數。

為什麼說有無窮多個？因為有理數的個數有無窮多，π的倒數乘以有理數倍，就能構建出無窮多個無理數。如1/2π，1/3π等。

圓周率是圓的周長與直徑之比，它是一個無理數。無理數是一個無限不迴圈小數，不能表示成兩個整數之比m/n（其中m和n都為整數，n不能為0）。

無理數和任何非0有理數相乘，其運算結果還是無理數，而無理數和無理數相乘，其結果就不一定是無理數了。 不管是有理數還是無理數，他們的個數都有無窮多，但是無理數的個數卻比有理數多。

圓周率除了是無理數之外，還是無理數中的超越數。超越數是指不滿足任何整係數多項式方程的實數，定義與代數數相反。

下圖為整係數多項式方程的一般形式：

除了圓周率以外，自然對數的底e，也是一個超越數。所有的超越數都是無理數。超越數雖然有無窮多個，但要構造一個超越數或論證某個數是超越數就極為困難。現今只有少量的數如π和e等的超越性得到了證明。

下圖為人為構造的超越數：

實數域內兩個數相加或相乘的結果依然在實數域內，每個非零元素的逆也在域內。有理數域也有同樣性質。實數域與有理數域的零元都是0，單位元都是1。所以，對任何無理數，選擇無理數的逆與有理數的乘積，兩者相乘就是有理數了。當然，無理數乘零元也還是零元，也是有理數。

總之，兩個無理數相乘是有可能得到有理數的。無理數與非零有理數相乘依然是無理數。圓周率的逆與任何有理數的乘積，和圓周率相乘也就成了有理數。

圓周率=圓周長÷直徑：π=c/d...(1)，：圓周率是圓周曲線與直徑直線的超對稱係數。

將(1)改寫成：π/2=½c/d...(2)，表明：2維半圓的投影=1維直徑，其投影係數π/2。

其一：π是純二維的，不是多維的；

π不是三維曲線，不像撓曲的螺線管；

其二：π是可封閉的，不是開放的；π不像e螺線具有發散性或收斂性。

螺線有連續變化的曲率半徑。π是光滑的，不是曲折的；π沒有拐角那樣的急轉彎；

其三：π與方根無關；π與方根的運算不可能是有理數。方根無理數只存在於直角三角形。

但直角三角形總可以有外接圓與內切圓。

其四：π有固定的曲率半徑，不像其它的圓錐曲線，有連續變化的曲率半徑。

拋物線、橢圓、雙曲線，其足夠小的區域性，是若干圓周曲線。

必須有兩個規定或例外，即：

規定1：凡基於“絕對零(0)”的零(0)、無窮小(1/∞)與無窮大(∞)的偽數值，皆無意義。

因為：絕對零≡虛無，而虛無在物理世界中不存在，否則會導致神邏輯。這本該在數學公理集中作為一個公理或公設的。

規定2：乘以一個數(k)，不包括乘以一個數的倒數(1/k)，否則就不是“乘以”而是“除以”而違背同一律，或偷換概念。

求證：πk≠R(有理數)，已知或公設：①π=無理數，②k≠{0,1/∞, ∞, 1/k}，

證明如下：

①當k=複數值，顯然πk≠R。∵複數含虛數，而虛數≠有理數。

②當k=有理數，用歸謬法。若πk=R，而π=R/k，而R/k是有理數，則有π是有理數，不成立。

綜合上述三種情況，題設可能乘以的數，不外乎複數與實數(有理數與無理數)，而已證πk皆不是有理數。根據排中律(排除法)，證畢。

很有意思的想法。

可以很明確的說一下答案：有！而且是無數多個！

1，0*π=0，0肯定是滿足答案的

2，π*1/π=1，1/π肯定也是滿足答案的，容易得到這樣的數還有無數多個，比如2/π,3/π....

也許題主是想問的是，π乘以一個非零的有理數能得到一個有理數麼？

答案是不存在，下面給出一個簡單的證明：

假設存在一個非零的有理數 M，使得M*π=N ,N為有理數。

因有理數都可以表示成m/n的分數形式(m,n為整數)

設M=m/n ， N=p/q

很容易得到

π=N/M=pn/mq，得到π為有理數

結論與事實不符，所以不存在這樣的有理數。

題設沒有明確說圓周率所乘的這個數是實數？有理數？如果是實數x，πx=4,則x=4/π。如果是有理數，也就是說4/π必須是有理數，這是不可能的，因此答案一目瞭然。

圓是黃金比例構成的，圓周長與半徑的比是6.18：1，而黃金數是無理數，這決定了π必為無理數。另外，圓周率是圓周長與直徑的比值，自然規律告訴我們，直徑和圓周長這兩條線段，其中必有一個不可公度，就是說，當直徑為有理數時，圓周長必為無理數，反之，若圓周長為有理數，直徑則必為無理數。圓周率為無理數，不是進位制原因，是自然選擇。圓周率乘什麼數，是不能如題主所想，變為有理數的。

當然可以變成有理數，最簡單的π乘以0不就可以了，相信很多人都想到這點了。除了零之外，還有很多數與π相乘可以變成有理數，比如說1/π，2/π......可以說有無數個這樣的數！很明顯，π是一個數，它是無理數，那麼1/π當然也是一個數，也是無理數。

那麼有人可能會問π乘以一個有理數能變成有理數嗎？不能，仍舊是無理數。這點並不難證明，證明方式與“證明π是無理數”是一個模式。這裡強調一點，π是無理數，這點早已經得到證明，並不是我們猜測π是無理數，而且證明的方式有很多種，最簡單的是反證法，也就是假設π是有理數，結果得出一個矛盾的結論。具體證明方法不再詳述，想了解的可以上網查詢，並不難。

關於π，網路上有各種方式的質疑和不解，其中一個最大的誤解和質疑就是：既然圓的周長和直徑都是固定的，周長與直徑的比值也應該是固定的，但為何π會是無理數呢？

這種質疑的言外之意就是：π不是固定的數！這是對π最大的最直接的誤解。π是一個固定的數就像1是一個固定的數一樣，π就是π正如1就是1一樣，都是非常固定的數。如果π一會是3.14一會是3.15才能說明它不是固定的數。

而圓的周長和直徑長度數值必須至少有一個是無理數，不可能兩個都是有理數。也就是說，你隨意畫一條線段，這條線段的長度數值可能是有理數也可能是無理數，但是無理數的可能性更大，因為無理數比有理數多得多！

圓周率π並不單純是一個數，而是閉合曲線與直線之間的內在關係的反應。

圓周率的原始定義是：圓的周長與直徑的比值。

這個比值就是π。如果π是有理數，那就證明了圓的周長與直徑是可通約的，也就證明了曲線與直線在有理數的基礎上是等價的；如果證明了π是無理數，那就證明了圓的周長與直徑在無理數的基礎上等價，也就是當π能夠表達為幾何數或代數數時，就能得到圓周與直徑等價的近似點；因此，最終的證明π不僅是無理數還是個超越數。也就是說，曲線與直線等價的條件是超越數是可通約的，但超越數根本不存在可通約性，這也說明了曲線與直線的比值是超越性的且永遠不可能等價。

因此，π作為超越數，只與角度等價，可以用π來表示角度。這又說明了π具有描述週期的作用，同時也是許多無窮級數的極限；因此，任何一個數與π相乘，相當於給π增加一個係數，無法改變π的超越性。

不能把π當做一個純粹的數字來看。π本質上是曲線與直線本質不同的反應，也是聯絡角度與弧長的橋樑，不是透過與算數數、幾何數、代數數的運算就能改變性質的。

圓周率π乘以一個數，能變成有理數嗎？

這個問題可以理解為：從體育老師那裡學來的數學知識又還給音樂老師了。

任何有理數除以π，都會得到一個商。這個商，算不算是“一個數”？只要把π乘以這個商，不就得到一個有理數嗎？

可以的。0是有理數，0乘以任何數都為零！

1/π是個無理數，π與其相乘等於1！

π的0次方等於1！

還有很多的！

可以。

這是著名的尤拉公式：e＾πi＝-1。

e是自然對數的底，i是虛數單位，i＾2＝-1。