數學的發展史，其實就是一部悖論史。人們不斷的按照自己的認識編制自己的數學邏輯，然後在現實中發現無法解釋的悖論，導致邏輯崩塌，然後再重新組織邏輯，然後再遇到新的悖論。

在這中間，有人為信仰先出生命，有人中途陷入迷茫，甚至有人徹底癲狂。數學史可能有沒戰爭史的波瀾壯闊，也沒有自然科學史的蕩氣迴腸，可是數學史於無聲處聽驚雷的精彩卻也同樣不熟前者分毫。

數學史上的著名悖論，芝諾的烏龜,產生了很多關於“運動不可分性”的哲學悖論.

芝諾是一位古希臘數學家，其人的具體生平年代已不可考，據說他著作有一本《論自然》，但是也已經失傳。

據公元4世紀的希臘哲學家普羅克洛（Proclus）記述，芝諾的著作包含了40個悖論。可惜其著作早已不存，後世依據的只是柏拉圖、亞里士多德（Aristotle）等人的轉述。

在芝諾的悖論中，有些已失傳，有些早已無悖可論，卻也有少數幾個時至今日仍引起很多人的興趣，甚至仍是哲學家的研究課題，二分悖論和飛矢悖論就是著名的例子——並且都是意在支援巴門尼德關於運動不存在的論斷。

其中二分悖論是這樣的：如果你想從一個點A運動到另一個點B，就必須首先經過運動路徑的中點C1，然而想運動到C1，又必須首先經過從A到C1的運動路徑的中點C2……如此以至無窮。由於中點的數目不可窮盡，因而無論給你多少時間，也不可能走完這些中點，由此可見，運動是不可能的。

二分悖論有一個著名的變種叫做阿基里斯與烏龜悖論。該悖論中的阿基里斯（Achilles）是希臘神話中的勇士，體力過人、長於奔跑，烏龜則是被廣泛視為移動緩慢的動物。阿基里斯與烏龜悖論宣稱，如果阿基里斯與烏龜賽跑，只要讓烏龜先爬一段路，阿基里斯就不可能追上。理由是：每當阿基里斯追到烏龜先前所在的位置時，烏龜總是又往前爬了一段……這個過程無法窮盡，故而阿基里斯不可能追上烏龜。

其實，這個悖論在偷換概念。有限的距離和有限的時間都是無限可分的，但總長仍是有限的；無限可分的有限距離和有限時間並不意味著它們變成無限本身，所以在有限時間內是可以透過有限長度的。

今天所有學過高等數學的讀者也許都能看出二分悖論的誤區，那就是將一個無窮級數的項數無窮與結果無窮混為一談了。在適當的單位下，二分悖論所涉及的無窮級數是1/2＋1/4＋…，項數是無窮的，結果卻並不因項數無窮就成為無窮，而僅僅是1，是有限的。因此無論是那無窮多箇中點，還是兩兩之間那無窮多段路徑，都能在有限時間內走完。

破解芝諾悖論的案例

芝諾約生於公元前490年,卒於公元前425年,是古希臘著名的哲學家和數學家.芝諾悖論至今已經2400多年了,在這兩千多年中,人們無數次地對這些悖論進行了破解,人們也曾經無數次地以為這些悖論已經被破解了,但過後卻發現,根本就不是那麼回事.所謂的已經破解,反而成了這些悖論成立的最有力的證據.

1.亞里士多德幾何圖形法

在歷史上，亞里士多德在《物理學》一書中就給出了一個很漂亮的反駁，要點是指出芝諾只對空間進行了無窮分割，卻忘記了同樣的手法也可用於時間。只要對時間和空間作同樣的無窮分割，走完芝諾分割出的無窮多箇中點（或兩兩之間的無窮多段路徑）就只需有限的時間，因為那實際上是從用有限時間中分割出的無窮多個時間點（或兩兩之間的無窮多段時間）來完成的。

亞里士多德還指出，無論對空間、時間還是其他連續之物，我們談論它們的“無窮”時必須區分兩種含義：一種是分割意義上的無窮，一種是延伸意義上的無窮，芝諾混淆了兩者故而得出了錯誤結論。亞里士多德的這一表述跟我們透過無窮級數表述的看法有異曲同工之處，“分割意義上的無窮”相當於項數無窮，“延伸意義上的無窮”相當於結果無窮，將兩者混為一談正是二分悖論的誤區。只不過亞里士多德用的是芝諾自己的手法，可謂“以子之矛，攻子之盾”或曰“以毒攻毒”，是論辯的高招。

柏拉圖也曾經如此評價芝諾悖論：“由於追趕者首先應該達到被追者出發之點，此時被追者已經往前走了一段距離。因此被追者總是在追趕者前面。這顯然是錯誤的，但你又覺得它很有道理而無法推翻。”

2.無限拋球機器問題　　

　　最有名的無限機器是拋球機器，它是這樣設計的：一小球從ａ處開始向ｂ處拋動，令小球從ａ處拋到ｂ處時花二分之一分鐘，從ｂ處拋回ａ處花四分之一分鐘，依此類推，來回拋球時間依次是：1/2^1 , 1/2^2 , 1/2^3 , ........... , 1/2^n,................

　　拋球的次數依次為：1，2，3，....................n,.........................

　　很顯然的，這個拋球的次數所組成的集合是一個無限集合，實際上是一個自然數集合，這個集合具有可數性，排序性,無限性，沒有最後一項。

　　如果時間能夠達到一分鐘，則球肯定會停下來的，但球將停在a點還是b點，卻是不可以預先確定的。有些人據此即認為無限拋球機器無解，則是錯誤的。這種見解其實是形而上學的，這裡預先假設了，球如果會停下來的話，那麼，它必須是停在這個點上，而不能停在那個點上。這種觀點不知道世界上還有不確定性這回子事。

　　如果球最後停了下來，那麼，就必然地會有最後一次拋球。這就意味著，拋球的次數所組成的集合是一個有限集合（這個集合具有可數性，排序性,有第一項，也有最後一項）。如果球不能停下來，這個集合才是一個無限集合。但如果球不能停下來,則意味著時間不能到達一分鐘.這樣,也就產生了邏輯矛盾.

　　無限拋球機器問題讓矛盾更尖銳地顯現出來,它讓實無窮思想在最後的終點問題上無所循形,無限拋球機器問題的無解,反證了二分法問題的無解.

3.構造思想求解

我們把物所走過的所有空間點構成一個無窮集合,我們再把物所走過的所有的時間點構成一個無窮集合,這每一個時間點與每一個空間點可以構成一一對應的關係,這樣,我們就可以清楚地看到,物的確是按照時間先後次序一一地走過所有的空間點的.

　　這種觀點似是而非,它其實是首先假設,時間一定能夠從時間起點到達時間終點,建立在這個假設之上,然後得到物體能夠從空間起點走到空間終點.但其實按照二分法悖論,物能否從時間起點到達時間終點,這是需要證明的.我們不能把一個需要證明的東西當成我們的邏輯前提.

　　物要從時間A點到達時間B點，它必須首先到A、B這段距離的中點C，而它要從C點到達B點，必須先到C、B的中點D，如此可以無限地推算下去，那麼,物是如何最後到達終點的呢？物無法到達時間終點。這樣，物在空間中的位移與在時間中的位移就完全地一樣了。而很大一部分的人在反駁這個悖論的時候，想當然地認為時間一定是流逝的，從而得到悖論已經破解的錯誤結論。　

時空的本質是運動,沒有運動就沒有時間.如果運動根本就不存在,那麼,時間也就不存在,也就決不存在著所謂從時間起點到達時間終點.在相對論出現之後,在牛頓的絕對時間觀念被終結之後,要人們理解沒有運動就沒有時間的觀點應該不那麼難了.

　 物體運動到第一個中點的時候,進行了一次位移,我們把這個位移次數用自然數標誌為１,然後物體執行到第二個中點的時候,進行了二次位移,我們把這個位移的次數用自然數標誌為２,運動到每一箇中點,都有著一個唯一的與之對應的位移次數,我們把這些位移次陣列成一個無窮集合:　{１,２,３,...................}，　很顯然的是,這是一個自然數集合,在這個集合中,沒有最大的數.

　　然後,我們看物體按照上述的記數方式,它位移到終點需要多少次位移,我們可以說,它是無限次.但是,對於這樣的說法,我們是不能滿意的.但是,我們可以與物體運動到任意中點的位移次數進行比較,我們就會發現,物體運動到終點所需要的位移次數,一定大於運動到任意中點所需要的位移次數,因而可以得到,物體運動到終點所需要的位移次數,大於任意給定的自然數,於是我們得到了一個最大的自然數,因為它大於任意給定的自然數.但是,最大的自然數是不存在的.因而這樣就形成了邏輯矛盾,據此可以斷定,物體不能到達終點.

我們假設,無窮箇中點可以走完,物體走過了無窮箇中點,但是,終點還沒有走到,也就是說,走到終點是在走過無窮箇中點之外,但是,如果終點還沒有走到,則意味著,在物與終點之間一定還存在著一箇中點,因而無窮箇中點還沒有走完.據此我們所能得到的結論是,如果物能夠走到終點,那麼,走到終點一定是在走完無窮箇中點之內,而不是在之外.

在物體走到每一箇中點中,都不包含走到終點,因而物體在走過所有的中點中,也不包含走到終點,這就意味著,走到終點只能在走完無窮箇中點之外.然則這兩個方面形成了邏輯矛盾,因而終點不能走到.

芝諾悖論帶給我們驚喜，為極限的誕生莫定了基礎

1.數是不是可以無限分割。

現在我們當然知道，一個數無論多小，只要確定，我們就一個可以找到比它更小的數。

但是，在當年，這個概念是沒有的。很多人可能聽說過“以太”這個詞，古代西方學者認為，宇宙間存在一種基本粒子，叫做“以太”，萬事萬物都是由基礎粒子“以太”構成的，而“以太”本身是不可分割的。與“以太”概念對應的，在數學上就存在一個所謂的最小單位數，是不能再除的，因為它就是最小單位。

亞里士多德認為芝諾的烏龜是一種詭辯，就是因為他認為最小單位數是不可分割的，所以芝諾的無限分割時間和距離的做法是一種詭辯。十七世紀，牛頓和萊布茲尼共同奠定了微積分理論之後，直到十九世紀，數學界關於極限的研究越來越多，芝諾的烏龜才開始重新引起人們的重視。

根據積分，我們很容易得出結論，無論怎樣無限分割，烏龜在被追上之前，它所使用的時間總和和距離總和是有極限的，這個極限並不是無窮大，所以，烏龜是一定會被神明在有限的時間和距離內追上的。具體的公式就不羅列了，有興趣的看官可以差一下，或者自己推演一下，還是挺有趣的。

2.量子躍遷解開芝諾悖論

芝諾悖論的核心觀點就是運動不可分，實質上是說：空間、時間和物質都是連續的，你可以無限分割下去，卻永遠都分不完。不可分，就是分不完的意思。

阿基里斯之所以一直追不上烏龜，是因為他一直在糾結時間和空間是否無限可分的問題！

芝諾悖論的邏輯並沒有錯，錯就錯在認為微觀世界的時空，依然像宏觀世界的時空那樣，是連續的，無限可分的。時空如果無限可分，則“芝諾悖論”成立，且毫無邏輯破綻。

時空是連續的，還是離散的？ 中國古代哲人莊子曾斷言：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”物質無限可分的觀念根深蒂固。

極限時空，恰似珍珠斷線，各不相連，從A點到達C點，只需“量子躍遷”，瞬時即達，不經過中間任何一點，不需要一丁點兒時間。

量子躍遷，就是微觀狀態發生跳躍式變化的過程。微觀粒子的狀態是分立的，從一個狀態到另一個狀態的變化，通常採取跳躍的方式。例如，電子在光的照射下從高能態釋放一個光子而躍遷到低能態就是一種量子躍遷過程。

量子躍遷是微觀粒子的運動方式。量子躍遷現象在微觀世界普遍存在，如原子核和基本粒子的衰變過程、聚變過程和裂變過程等。

時空流逝，如同電影播放，一幀一幀圖片疊加，呈現連續不斷的假象。既然時空不能無限分割，阿基里斯追趕烏龜的“步驟”，也不是無限多。到達最小時空極限，阿基里斯就會“量子躍遷”。“量子躍遷”，維護了阿基里斯“善跑健將”的尊嚴。

芝諾悖論引發了人們對“動和靜的關係、無限和有限的關係、連續和離散的關係”的深思。黑格爾指出：“芝諾主要是客觀地、辨證地考察了運動。”

一點想法

2500多年的科學史告訴我們，人們在解決芝諾悖論上的工作思路是錯誤的：沒有深入研究造成悖論的傳統無窮觀及相關數量體系的缺陷，沒有從構造新的無窮觀及相對應的數量體系下手。所以，不管如何努力，只能是徒勞。

掙脫現有的傳統有窮--無窮理論體系缺陷的束縛，構造科學的、新的有窮--無窮理論體系及與之相對應的數量體系，才是徹底解決芝諾悖論、徹底解決所有芝諾悖論翻版，徹底解決第二、第三次數學危機的唯一途徑

對於芝諾悖論,如果我們假設在它的邏輯體系裡面是無矛盾的,但是,它與現實不相符合,結論就只能是它的邏輯前提有問題.也就是說,它的錯,或者是邏輯前提有問題,或者是邏輯過程有問題.

　　但是,在時空無限可分的範圍內,兩分法至今依然無解.我們能不能建立在這個邏輯前提下,也得到一個無矛盾性的邏輯結構?

　　辯證法主張時空無限可分,而形而上學主張時空有限可分,如果在時空有限可分的範圍內,這個問題得到解決,那麼,形而上學在這個問題上面就佔到了上峰,辯證法因而就面臨難局.如果辯證法不能解決這個問題,辯證法就很難說能站得住腳.

　　但是,我以為,必然可以找到一種邏輯結構,使得時空無限可分的邏輯前提下也能解決掉芝諾悖論.

參考文獻：盧昌海，芝諾的悖論：你永遠追不上烏龜？

我覺得是，因為有個普朗克時間，這就是時間的最小刻度，如果將人速度看做常量，那麼人和龜在追上和剛未追上這個臨界點處，給一個時間，這個時間是普朗克時間的整數倍，要麼就是超過了，要麼就是還沒有，這個是不連續的，離散！跳躍式！這個和純數學邏輯還是有出入的！

追不上和追得上都能自圓其說。

追不上是說阿基里斯用了無窮步數都追不上烏龜，因為他每走了一步，烏龜也往前走了一步。但是芝諾偷換了概念，無窮步數追不上不等於無窮時間追不上。無窮步數一直下去，我們隨便說個數，1000步以後，每一次走的距離都逼近0了，也就是雖然說追了無窮步，但走過的距離之和極小，基本約等於0，還不如普通螞蟻爬一步遠呢，那怎麼追得上，追得上才怪了。

普通人你能走出個0.00000001奈米的距離嗎？沒人走得出來的，但阿基里斯就能走出來，所以他追不上烏龜就很正常了。阿基里斯也被芝諾偷換了概念，他已經不是正常人了。錯誤的人，竟然能走出極微小的距離，所以得出了追不上烏龜的結果。總而言之，芝諾的證明無效。

這不算真正悖論，而是一種詭辯。

題解如下：

烏龜速度為1米/秒，阿基里斯速度為10米/秒，烏龜先行100米，二者同時同向出發，問阿基里斯多久追上烏龜？

設：阿基里斯x秒追上烏龜，列方程如下

100+x=10x

x=100/9

可見，阿基里斯將在100/9秒後追上烏龜。

這個悖論要害在於，將100/9秒的有限時間，無限分割出無限多的1/10n次方——

1/9+1/10+1/100+1/100+……

也就是說只要阿基里斯用時達到100/9秒，自然追上烏龜了。

中國古代也有類似命題：

一尺之棰， 日取其半，萬世不竭。《莊子·天下篇》

就是利用物質無限可分的道理，與阿基里斯悖論相去不遠。就好比阿基里斯悖論只能在100/9秒內做文章，“一尺之棰”無論怎麼分法，並不會加長一星半點。

事實上莊子是將此作為一個詭辯惡例記錄下來的。

桓團、公孫 龍辯者之徒，飾人之心，易人之意，能勝人之口，不能服人之心，辯 者之囿也。

能解開的悖論就不是真正悖論。真正悖論應該是形式沒有問題，但邏輯上就是無法解釋。比如：

我的話都是謊言。

你覺得我在說謊嗎？

在無限分割可以成立的條件下，龜什麼確定時刻被追上是無解的。有理數系統下龜超越時刻無法精確。

作為數學問題其實可以看做被解決了

阿基里斯悖論與應用數學的關係：

一分鐘看懂古希臘悖論，專家為你解釋為什麼人永遠跑不過烏龜

其實我們用最簡單的數學方法就能推翻阿基里斯“追不上烏龜”這個悖論了

阿基里斯永遠也追不上烏龜是古希臘哲學家芝諾四大著名悖論之一，影響還特別深遠，叫做“阿基里斯悖論”。

話說阿基里斯號稱希臘第一勇士，而且非常能跑。芝諾悖論就說，阿基里斯再能跑，也永遠追不上一隻烏龜！

所以我們先來看看它是怎樣追不上烏龜的：

這個悖論就是這樣的，阿基里斯讓烏龜先跑一百米。阿基里斯再追這隻烏龜，當阿基里斯追上烏龜原來的位置的時候，烏龜又已經跑出一段距離了。然後阿基里斯又開始追，他又追到烏龜原來的距離的時候，烏龜又向前跑了一小段距離。阿基里斯再去追烏龜········就這樣，以此類推，阿基里斯永遠也追不上烏龜。

因為阿基里斯每一次追上烏龜原來的位置的時候，烏龜就已經又往前面，跑了一段位置了。

當然了，按照我們常識來說，小孩子都知道，阿基里斯一定能追上烏龜，因為小孩子都能追上烏龜，是嗎？

如果我們根據之諾的邏輯，又好像沒有什麼地方是錯的，那你知道問題出在哪裡嗎？

我們先假設，人的速度是十米每秒，烏龜的速度是一米每秒。

第一次能追到烏龜的位置的時候，他就花了十秒鐘。

十秒鐘之內烏龜又跑出了十米，阿基里斯又追上這十米，又會花掉一秒中。

烏龜在這一秒鐘之內又前進了一米，然後又花了0.1秒鐘，再追到烏龜現在的位置，烏龜又向前跑了0.1米，以此類推。。。。

如果要解釋阿基里斯悖論的話，根本連微積分都不用。因為之諾給出的結論是：“阿基里斯永遠也追不上烏龜”。

這句話意思就是，永遠追不上，實際上就隱含著追的時間“t”趨近於無窮大。

所以我們計算一下就好了，阿基里斯第一段追上的時間是10秒鐘

第二段最長的時間是1秒鐘

第三段剩0.1秒

四段是0.01秒

以此類推

所以我們把所有的數字加起來。也就是t=10+1+0.1+0.01+0.001+············=11.11111·········

無窮多的1，所以這樣看來，12秒鐘就夠用了，所以，當分12秒的時候，就已經追上了烏龜。根本就用不上永遠

在中文裡有個詞叫做宇宙“宇”無限的空間，“宙”無限的時間，在空間上你追上了烏龜但是在時間上你永遠追不上烏龜。這不是悖論也是悖論。

人正常走路是以正整數步數為基本單位，烏龜走路也是以龜步的正整數步數為基本單位的。所以按人龜時間比例細化走路長度的說法是不成立的。