高深的純幾何學板塊絕對是數學第一難的領域分支！但幾何也很重要！現在宇宙與高維空間這些物理概念的本質就是純幾何學與純幾何拓撲幾何學板塊！純幾何與純幾何拓撲幾何學是數學界唯一需要人類無限思維智商能力的王者巔峰之神板塊！！！（這麼好像是在吹牛似的，但事實確實就是如此！）數學目前有很多前沿領域！其純宇宙非歐黎曼宇宙幾何學、純宇宙空間分形幾何學、純幾何群論、純歐幾里德宇宙空間幾何學，純宇宙空間非歐羅巴切夫斯基雙曲幾何學、跟歐氏宇宙空間幾何學，純宇宙空間非歐羅巴切夫斯基雙曲幾何學一體的純宇宙空間幾何拓撲幾何學應該是最難最難的，需要人類無限思維智商難度巔峰！！（尤其是極限多的高維甚至無限高維！！！）（在這我先解釋一下，這裡“純”的意思是完全不用代數、函式、分析的其它方法去研究！就連最初等的幾何學還有很多難題沒有解決！更不用說高深的了！所以我說以上純粹這方面是第一難的（沒有之一）！雖然用代數、函式、分析和幾何幾何這一板塊結合深入研究是最抽象的，非常難理解，但畢竟它也降低了純幾何學與純幾何拓撲幾何學的思維智商難度，當然，代數幾何、微分拓撲、代數拓撲、微分幾何思維智商難度也很難！僅次於純幾何與純幾何拓撲幾何學。）本人也對這些最難的領域比較感興趣，這些和物理量子場還有高維宇宙學關係密切，我覺得將來可以發展出一門新的最難分支——純幾何物理學！

一角三分本等閒，尺規限制設難關。

幾何頑石橫千載，代數神威越九天。

步步登攀皆是二，層層尋覓杳無三。

黃泉碧落求真諦，加減乘除談笑間。

------李尚志，三等分角與數域擴張

李尚志教授的這首詩惹了很多的麻煩，百度搜索會發現《李尚志對中學生們不負責地寫下了的一首數學詩》一文在網上鋪天蓋地，該文作者還寄送給一些數學名家。

劉培傑先生主編的《數學奧林匹克與數學文化》（哈工大出版社出版）刊發了該文。雖說作者文責自負，但主編既然選用該文，說明從某種程度上認可該文。

李尚志教授寫了一本教材講三等分角，還為此寫了一首詩。就是網上罵我“不負責任”的這首詩。給中學生講三等分角很難，用詩來概括更難。一首詩不可能講清楚這個問題的解答，但前兩句就講清楚了問題的題意：第一句“一角三分本等閒”就是說三等分角的實用作圖很容易實現，根本不難。第二句“尺規限制設難關”，就是加上了限制，按照一定的規則來完成，難度就增加了，成為世界難題。

二千四百年前古希臘人提出的幾何三大作圖問題之一：用圓規與直尺三等分任意角。

尺規三等分任意角問題的難處在於作圖使用工具的限制。古希臘人要求幾何作圖只許使用直尺 （沒有刻度，只能作直線的尺）和圓規。這問題曾吸引著許多人去研究，但都無一成功。

所謂“用圓規與直尺三等分任意角”：是用沒有刻度的直尺和圓規將一個不知道大小的角三等分，在作圖的過程中不允許將直尺上的某個點在圖上滑動。

因為尺規作出來的圖是有一定規律的，而上述這兩件事是不在規律之中的。這是科學史上最早的例子之一。尺規作圖由於其方法的侷限，所能做的事情就一定會有侷限。

早在1830年前後，18歲的法國中學生伽羅華首創的“伽羅華理論”，幾乎證明了三大作圖問題都是尺規作圖不能做到的問題（證明“化圓為方”的不可能時，還必須先證明圓周率π是“超越數”）。1837年凡齊爾（ 1814－1848）運用代數方法證明了，這是一個尺規作圖的不可能問題。1882年，德國數學家林德曼證明了π是超越數，於是“化圓為方”問題獲得解決。

1、透過尺規作圖能得到什麼？

如果我們在平面上建立直角座標系，選定兩個點 和 。從這兩個點出發，透過有限次尺規作圖我們能夠確定哪些形式的點？

尺規作圖中只有三種類型的交點，直線與直線相交，直線與圓相交，圓與圓相交。

直線與直線相交：解一次方程。

直線與圓相交：解二次方程。

圓與圓相交：解二次方程。

2、什麼樣的角不能被三等分？

直角可以被三等分。我們可以畫正三角形，也能找出三十度的角。

除去這類特殊的角，其他的角都不可以被三等分。我們可以以 為例，說明 不能透過尺規作圖被構造出來。

這裡大家可能感覺到問題出在什麼地方了，一個是2的冪次多項式，一個是在有理數範圍內不可約的奇數次多項式。

3、有趣的數學原理

當然我們不止只有有理係數的二次方程，還有以這類根為係數的二次方程，等等。但是至少我們有了個好的開始。

4、域的擴張

（如果大家對域和向量空間有了解的話，那麼以下的解釋就會更容易接受。）

亞歷山大城郊有一座圓形的別墅，裡面住著一位公主。圓形別墅中間有一條河（即經過圓心的直線），公主的居室正好建立在圓心處。別墅南北圍牆各開了一個門，河上建了一座橋，橋的位置和南北門位置恰好在一條直線上。國王每天賞賜的物品，從北門運進，先放到南門處的倉庫，然後公主再派人從南門取回居室。

一天，公主問侍從：“從北門到我的臥室，和從北門到橋，哪一段路更遠？”侍從不知道，趕緊去測量，結果是兩段路一樣遠的。

過了幾年，公主的妹妹小公主長大了，國王也要為她修建一座別墅。小公主提出她的別墅要修的像姐姐的別墅那樣，有河，有橋，有南北門。國王滿口答應，小公主的別墅很快就動工了，當把南門建立好，要確定橋和北門的位置時，卻出現了一個問題：怎樣才能使得北門到臥室和北門到橋的距離一樣遠呢？（當時技術條件之下，河的位置不能移動）

工匠們試圖用尺規作圖法確定出橋的位置，可是他們用了很長的時間也沒有解決。於是他們去請教阿基米德。

阿基米德用在直尺上做固定標記的方法，解決了三等分一角的問題，從而確定了北門的位置。正當大家稱讚阿基米德了不起時，阿基米德卻說：“這個確定北門位置的方法固然可行，但只是權宜之計，它是有破綻的。”阿基米德所謂的破綻就是在尺上做了標記，等於是做了刻度，這在尺規作圖法中則是不允許的。

可以說是放寬限制阿基米德“解決”了這一問題。作圖步驟如下：

1、給定一個角x，向左延長該角的底邊；

2、在角頂點O為圓心，以任意長r為半徑，畫一個半圓；

3、在直尺上標出G、F兩點，使其長度GF=r；

4、讓F點保持在半圓上，滑動直尺使G落在角x的底邊延長線上，同時要讓直尺透過角x的終邊與以O為圓心的半圓的交點；

5、用直尺在這個位置畫一直線，它和原來的角x的底邊形成一個角y。

6、角y即是角x的三等分角。下面的動圖展示了這一過程：從上面動畫可以看出，為了調整直尺，需要考慮到這條直尺上三個點的位置，這種動態移動的方法，在傳統的尺規作圖中是不允許的。，這是要在直尺上做出的標記，然後利用直線的特性去尋找點G、點F、點E三點重合的位置。最終的位置圖如下：

三等分角在民科中很氾濫的問題，時至今日，還有不少中學生和其他人（很有象徵性的是：其中沒有大學生研究生），聲稱他們解決了用尺規三等分任意角的問題（不過他們沒有一個去申報專利之類的東西），這隻說明他們不懂得什麼是數學，什麼是一定的數學體系和數學證明。事實上，他們對命題的前提都沒有搞清楚。

筆者認為試圖完成一件事，首先要站在一定的高度，不妨先看看要做的事有沒有可能，然後再決定是否要做這件事。

初中的時候老師在講尺規作圖，並且告訴我們用尺規三等分一個角在數學上已經被證明是不可能的，年少的我當時不信邪，冥思苦想了一個星期，終於找到了一個方法，然後興奮地飛奔到我的數學老師辦公室告訴他“我解決這個問題了！”那一天我隱約感覺自己可能要成為一個數學神童了，然而現實是殘酷的——老師三言兩語就告訴我的方法至少有四個漏洞，我的數學神童夢從此破滅了，老師語重心長地告訴我：“xx，你必須理解數學上的嚴格證明到底意味著什麼”然後花了兩個半小時給我詳細地講解了尺規三等分角為什麼是不可能的，嗯，我也是曾經造過永動機的人。

參考文獻：

1.李尚志，別把我吹捧成伽羅瓦;

2.章瑞,為什麼尺規作圖不能三等分角

尺規作圖嚴格地講三等分任意角（未知）是由於直線段和曲線段的區別而不能作出，但對特殊角無效，30、90、120、180、周角等無效，無限制。