1.Morley三角形（三角形的三等分線交成正三角形）；2.林根超維度三角形（四面體的對稜之積構成一個三角形）。

如果下面這個定理還不能令你驚詫，那麼，數學上就不會再有令人驚詫的定理了——這個E（N）是一個數論函式表示式，關鍵是

1）首先它是一個等式，這在數論函式表示式中是絕無僅有的，因為之前的表示式均為不確定的“～”表示的，例如著名的素數定理Pi（N）～N/lnN等，這首先就是一個奇蹟。

2）它是一個“萬用”的表示式，說它是萬用，因為它不僅能秒殺像哥德巴赫猜想孿生素數猜想這樣的世界難題，類似這樣的命題還有豈止一萬個，代入相關變數均可給出通項公式。

3）其正確性不容置疑——因為確定正確只需兩個資料——這是一個線性關係——兩點可確定一線。

4）這是一個發現，它的創造權是造物主是“上帝”，“上帝”應該不是“民科”。

什麼是無窮？和宇宙中的原子數一樣多算不算無窮？無窮大和無窮大，哪個無窮大更大？在沒有學過數學的人看來，無窮是模糊的，是難以理性感知的。但是數學上，關於“無窮”這個概念，是有一些特別的，可能違反直覺的研究的。其中最有代表性的，莫過於測度論。

從最簡單的一個問題說起：整數和偶數，哪個更多？

整數有無窮多個，偶數也是無窮多個啊！無窮和無窮，哪個比較大？

如果你沒有學過測度論，僅憑直覺，那麼這個問題看似很簡單：偶數只是整數的一半啊！蘋果的一半比蘋果小，這不是很符合常理嗎？但是注意！蘋果是有限大的，是有窮而非無窮的！用有窮的直覺來判斷無窮的命題，是會出問題的啊同學！

事實上，在測度論的定義下解決這個問題，關鍵詞就一個：一一對應！

對於任意一個偶數N，比如2，我們總能寫出一個整數N/2和它對應，比如1。

偶數：0,2,4,6,8,10......

整數：0,1,2,3,4,5......

偶數可以一直寫下去，整數也可以一直寫下去，因為二者總是一一對應的！不論寫出哪一個整數，總能寫出一個偶數與之對應；不論寫出多麼奇奇怪怪，多麼大，多麼正，多麼負，的一個偶數，總有一個整數與之對應。所以說，

整數和偶數一樣多！

整數包括所有偶數，還有偶數中所沒有的奇數，但是整數和偶數一樣多，算不算令人驚詫呢？同理，還會有整數和自然數一樣多，自然數和非負整數一樣多，自然數和個位上是7的整數一樣多，等等。夠不夠令人驚詫呢？

但是還有更加令人驚詫的，那就是，整數和有理數也一樣多！

有理數就是所有可以表示成一個整數a和一個正整數b的比的數。那麼，我就就可以把所有的a和b以特定方式列出來，然後想辦法構建自然數和有理數的對應關係！就像這樣：

這樣，對於任意一個正有理數a/b，我們都可以給他一個唯一的自然數編號，這個編號在a*b 和 (a+1)*(b+1)之間~而對於任意一個自然數，我們也都能給出這個自然數對應的唯一一個有理數。

於是乎！我們在自然數和有理數之間建立了一一對應的關係，所以自然數和有理數一樣多！

那麼實數呢？實數能不能和自然數之間構建這樣一種一一對應的關係呢？

答案是不能的。

我們用反證法，先假設可以，那麼我們就可以寫出一個數列，數列包含了每一個實數

a1 = 0.65935.....

a2 = 0.031946......

a3 = 0.946315.....

.........

但不管我們怎麼寫，我們總可以寫出一個實數，它的第一位和a1的第一位不一樣，第二位和a2的第二位不一樣......這樣，這個實數就會和上面這個數列的每一項都不一樣，也就是說會有實數沒有被列入這個數列！也就是說，我們無法構建這樣一個一一對應的關係，實數比自然數多！

同樣道理，還有，1cm線段上的點，和2cm線段上的點，哪個更多？

我們可以構建一個上圖一樣的一一對應關係，對於任意一個黑線上的點，總能找到一個紅線上的點與之對應；對於任意一個紅線上的點，總能找到一個黑線上的點與之對應！所以，紅線上點的個數和黑線上點的個數，是一樣多的！

這，夠不夠讓人詫異呢？

說道數學領域的定理，最讓人詫異的是那些「無需證明」的定理，那種美妙，幾乎無法用語言形容。

我這裡給你盤點數學中十大無需證明的定理，其美妙讓人目瞪口呆！

*以下節選自網路文章。

當談到複雜數學定理的證明時，很多人常常為之色變，認為這只是一個枯燥的公式堆砌和深奧的數學推導過程。這當然是一個讓筆者感到糾結的誤解。因為數學證明中包含的美麗與精巧實在是一道亮麗的風景線，而這種亮麗甚至不需要用語言來描述。所以我在這裡盤點了數學裡十大不需要語言的證明（proofs without words）。讓讀者在領略數學所包含的無與倫比的精巧之外，更從此愛上數學。

0. 勾股定理

這個大家小學就學過的古老定理，有著無數傳奇故事。我可以很隨意的寫出她的10個不同的證明方法。而路明思（Elisha Scott Loomis）在 《畢達哥拉斯命題》（ Pythagorean Proposition）提到這個定理的證明方式居然有367種之多，實在讓人驚訝。這裡給出一個不需要語言的證明方法。

實際上勾股定理是餘弦定理的一種特殊情況，而餘弦定理的證明，同樣可以不用語言。

1. 關於反正切的恆等式

關於反正切，有如下兩個很精彩的等式：

arctan1/2+arctan1/3=π/4

acrtan1+arctan2+arctan3=π

它們的證明方法也同樣精彩。

2. 幾何平均值小於算術平均值

這是不等式中最重要和基礎的等式：

它也可以透過圖形來證明。

注意到△ABC∽△DBA,可以很輕鬆地得到AB=√ab。剩下的就顯而易見了。

3. 1+3+5+...+(2n-1)=n 2

這是 奇數的求和公式，下圖是當 n=8時的情形

4. 平方數的求和公式

一個很漂亮的公式，證明的過程令人眼前一亮。

5. 立方數的求和公式

立方數的求和證明與平方數的求和證明方法有些相像：

6. 斐波那契數列的恆等式

可謂家喻戶曉的斐波那契數列指的是這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21 ……這個數列從第三項開始，每一項都等於前兩項之和，即F n+1= F n+ F n-1。

它的通項公式是

有趣的是，這樣一個完全是自然數的數列，通項公式居然是用無理數來表達的。

而且當n無窮大時，F n-1 / F n 越來越逼近黃金分割數0.618。正因為它的種種神奇性質，美國數學會甚至從1960年代起出版了《斐波納契數列》季刊。關於斐波那契數列，有一個恆等式是這樣的。

這個等式很漂亮，不需要藉助複雜的數學推導，它有一個很直觀的證明方法。

7. 結果為1/3的一組分子式

下面是一組分子式，他們的結果都等於1/3：

讓我們用若干個小球看待這個公式。

8. 最受數學家喜愛的無字證明

1989 年的《美國數學月刊》（American Mathematical Monthly）上有一個貌似非常困難的數學問題：下圖是由一個個小三角形組成的正六邊形棋盤，現在請你用右邊的三種（僅朝向不同的）菱形把整個棋盤全部擺滿（圖中只擺了其中一部分），證明當你擺滿整個棋盤後，你所使用的每種菱形數量一定相同。

《美國數學月刊》提供了一個非常帥的“證明”。把每種菱形塗上一種顏色，整個圖形瞬間有了立體感，看上去就成了一個個立方體在牆角堆疊起來的樣子。三種菱形分別是從左側、右側、上方觀察整個立體圖形能夠看到的面，它們的數目顯然應該相等。

9. 棋盤上的數學證明

在一個8×8的國際象棋棋盤上，我們可以用32張多米諾骨牌（是兩個相連正方形的長方形牌）覆蓋整個棋盤上的64個方格。如果將對角線上的兩個方格切掉，剩下來的62個格子還能用31張骨牌覆蓋住嗎？

答案是不能的。每一張骨牌在棋盤上必是覆蓋住兩個相鄰方格，一白一黑。所以31張骨牌應該可以蓋住31個黑格和31個白格。而這被切了角的棋盤上的方格有32個是一種顏色，另一種顏色是30個，因此是不能被31張骨牌覆蓋的。

但是如果我們切掉的不是顏色相同的兩個呢？假如我們從棋盤的任何部位切掉兩個顏色不同的方格，那麼剩下來的62格是否一定能被31張骨牌完全蓋住？我可以告訴你這是一定能做到的,並且關於這個結論，存在一個非常漂亮的證明。建議讀者在繼續往下閱讀前，可以先自行思考如何證明這個結論。

上圖就是那個漂亮的證明。不妨對它再贅述兩句。粗黑線條將整個棋盤轉變為一條首尾相連、黑白格相間的封閉路線。從這棋盤上切掉任何兩個顏色不同的方格，會讓這個封閉線路變成兩段線路（如果切掉的方格是相連的，那就是一條線路）。在這兩段（或一段）線路中，兩種顏色的格子數量都是偶數，故分別都可以被若干張骨牌覆蓋。從而證明整個棋盤可以被31張骨牌完全覆蓋。

這個著名的棋盤問題是數學遊戲大師馬丁•加德納提出的，而上述精妙絕倫的證明則是數學家哥莫瑞（Ralph Gomory）找到的。它們後來被收錄在《意料之外的絞刑和其他數學娛樂》這本書裡。

十大美妙的數學定理，你有沒有被她迷倒？！！

1、拉馬努金連分數公式

在1913年，哈代收到了一封來自南印度小職員拉馬努金的信，在這封信中共有9頁紙之多，而這9頁信紙上更是附帶有120條拉馬努金自己發現的公式，其中連分數公式便是其120條公式其中之一。這條公式令哈代完全摸不到頭腦，他這輩子都沒見過這樣的公式，連稍微接近點的都沒有！但是哈代確信這個公式是對的，因為沒有人能有這樣的想象力去編造這樣漂亮的公式。雖然不久之後，數學家們就嚴格的證明了這個式子，但是它和諧而又氣勢磅礴的形式令每一個初次見到它的人都會為之悸動！這個絕美的公式不僅像尤拉公式一樣聯絡起了圓周率和e，同時它還將黃金分割數也包含在內！

2、說不可以思議，怎麼可以少掉大神之作：尤拉公式

尤拉公式一經出世，就被所有的人奉為數學裡最令人著迷的公式。

它將數學裡最重要的幾個數字聯絡到了一起，兩個超越數——自然對數的底e，圓周率π，兩個單位——虛數單位i和自然數的單位1，以及被稱為人類偉大發現之一的0。數學家們評價它是“上帝創造的公式”、“最美數學公式”。

尤拉公式不僅得到數學家的喜愛，就連物理學家也愛不釋手，理論物理學家理查德·費曼就非常喜愛這個公式，他將其稱之為“寶石”和“無與倫比”的公式，現代人則將它稱之為“最美的公式”。

3、不知名的公式

想必大家都知道勾三股四玄五的勾股定理，但你應該都沒怎麼聽說過這個並不出名的公式，這個簡單的式子出現在英國分析學大師G·H·哈代的《數論導引》中，它是一類三次不定方程最簡單的特解。

也正因為他的特殊性，並不存在對應規律，也自然而然被人選擇遺忘。

可能是一個新定理，數學家是最浪漫的人。浪漫是指可以超脫現實的感受人生之美，並能隨意進入自己夢幻般完美世界。數學家就是這麼一群人，他們心中的完美世界的完美追求，隨時可以忽視現實自由出入這個世界，哪裡有人比得上。

笑話說完，其實我一直疑惑著1+1=2,雖然說一個男人加一個男人是兩個男人，但一個人加一個人就有無窮解，你想想看，一個男的加一個女的，會是多少人，一箇中國戰士加一個日本皇軍，最後是多少人？一滴水加一滴水，會成為兩滴水嗎？還有不同類的，比如一人加一百萬，數學能算出來嗎？考慮到數學怎麼也算不明白我想算的，我放棄了用數學建立帝國的夢想，於是我發現，我再也浪漫不起來了。哎，你還是留在數學裡面吧，外面的世界其實也沒那麼好。

音樂家說

數學是世界上最和諧的音符。

植物學家說

世界上沒有比數學更美的花朵。

美學家說

哪裡有數學，哪裡才有真正的美。

哲學家說

你可以不相信上帝，

但是你必須相信數學，

世界什麼都在變，

唯有數學是永恆的。

當我們談論數學時，你第一時間想到的也許是被數學老師的作業壓抑的喘不過氣來，被數學壓軸題選修課難的只想放棄。其實這是你並沒有真正的走進數學的殿堂。

今天，請你暫且放下心中對教育制度的憤恨，讓我們來一次偉大的數學公式巡禮。如果你在上學的時候老師告訴了你數學公式背後有這麼多有趣的故事，你會愛上數學嗎？

NO.1 世上最簡單的公式

稍有數學閱歷的人都會發現，越是"簡潔"的公式，越是充滿美感。而 1+1=2，這是所有公式中最簡單明瞭的一個了，數學愛好者將其發明歸功於上帝。

公式背後的故事

儘管從遠古起人們都心照不宣地知道 1＋1＝2，但直到1557年的某一天，這一等式才寫成類似於我們今天的形式。也就是說等號這個每個等式中都有的成分直到16世紀才第一次出場亮相。

NO.2 畢達哥拉斯定理

即勾股定理"勾三股四弦五"，這一定理是如此地深入每一個地球人的心靈。它是人類早期發現並證明的重要數學定理之一，也是用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一。勾股定理（畢達哥拉斯定理）約有400種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。

公式背後的故事

畢達哥拉斯是古希臘傳統數學和哲學的創始人。以他的名字命名的學派是一個個人崇拜的秘密組織，鼓吹節慾、尊長和一夫一妻制。

他認為，世界萬物都是由數字統治的，他用數字推斷人的命運，如奇數被認為與男性有關，而偶數與女性有關。他發現了稱之為"完全數"的數字，也就是那些等於自己全部真因子之和的數字。比如：6（6＝1＋2＋3）和 28（28＝1＋2＋4＋7＋14）。已知的完全數共有47個，隨著計算機發展速度的日益加快，每隔幾年就會發現新的完全數。

NO.3 圓周率的發現

圓周率已經被人們算到10萬億位精度了。傳言說如果用某一種算數來說，每個人的生日包括其一生的故事都可以在圓周率中找到。雖是傳言，其實這也是事實，圓周率就是有這種神奇的魅力。

公式背後的故事——布豐投針實驗

在地板上畫一系列間距為2釐米的平行線，然後把一根長度為1釐米的針扔在地板上。那麼，這根針與地板上的線條相交的機率是多少呢？1733年，法國博物學家布豐第一次提出了這個問題。1777年，布豐自己解決了這個問題——這個機率值是1/π。

看到這個事實，阿基米德會目瞪口呆、劉徽會無語凝眸。所以，如果上帝創造了整數，而且他也創造了π，那或許上帝其實是一臺計算機。

NO.4 費馬最後的定理

1637年的某一天，法國律師兼業餘數學家費馬，在一本書的空白處寫下了下面一段話：

任何立方數都不可能寫為兩個立方數之和的形式，也沒有任何四次方數可以寫成另外兩個四次方數的形式。普遍地說，任何二次以上的冪都不可能寫成另外兩個同次冪的形式。

即，當指數n大於2時，上述方程沒有整數解。

在寫下上面的猜想後，這個天生羞澀、沉默寡言的人卻跟世界玩了一個惡作劇，他又寫道：

對此我已經找到了一個真正絕妙的證明，但這裡空白處太小，寫不下。

然而，他怎料到，他隨意寫下的兩句手記，卻讓350年間的無數數學家耗盡一生，也沒能找到那個證明。直到1994年，英華人安德魯·懷爾斯才證明了費馬最後定理。

公式背後的故事

德國數學家沃爾夫斯凱爾因追求一位漂亮女性被拒絕，遂決定在午夜鐘聲響起時開槍自殺。他認真地安排好後事，寫下遺囑。他的高效率使得所有的事情略早於午夜的時限就辦完了。為了消磨最後的幾個小時，他到圖書室翻閱數學書籍：一篇關於費馬大定理證明的論文……他不知不覺拿起了筆，一行一行進行計算……

然後，天亮了。

沃爾夫斯凱爾為自己發現並改正了論文中的一個漏洞感到無比驕傲，原來的絕望和悲傷消失了，數學將他從死神身邊喚回。

1908年，得享天年的沃爾夫斯凱爾寫下了他新的遺囑：他財產中的一大部分作為一個獎，規定獎給任何能證明費馬大定理的人，獎金是10萬馬克，按現在的幣值超過100萬英鎊。

這是他對那個挽救過其生命的蓋世難題的報恩方式。

NO.5 微積分基本定理

微積分是微分和積分的總稱，"無限細分"就是微分，"無限求和"就是積分。

微積分的誕生是數學史上最有影響的創舉，從此數學家和科學家在討論連續變化的數量時便有了科學依據。化學、生物學、地理學、現代資訊科技等學科運用微積分的方法推導演繹出各種新的公式、定理，促成了後來一切科學和技術領域的革命。離開微積分，人類將停止前進的步伐。

恩格斯曾說："在一切理論成就中，未必再有什麼像17世紀下半葉微積分的發現那樣被看作人類精神的最高勝利了。"

公式背後的故事

牛頓和萊布尼茨幾乎是同時獨立地發明了微積分，萊布尼茨稍晚幾年。在1673到1675年之間的某個時刻，萊布尼茨曾與牛頓聯絡，想知道牛頓到底已經知道了些什麼，並提出了某種交換資訊的建議：你告訴我這個，我就告訴你那個。

牛頓在回信中透露了微積分基本定理，但把它隱藏在一個難以破解的字母易位字謎中。牛頓顯然並不想與萊布尼茨分享他的發現。他只是要留下伏筆，一旦萊布尼茨以後說這一定理是他自己的，牛頓就可以此證明他才是第一個發明人。敢情偉大的科學家也這麼小心眼兒呢！

阿基米德、開普勒、高斯、牛頓、麥克斯韋、愛因斯坦……他們用代表著人類的智慧，向宇宙提問、與宇宙對話，將關於宇宙的秘密翻譯成我們能懂的語言，這種語言就是如上這些光耀後世的"數學公式"。

每一個偉大公式都是人類文明的集中體現，每一個偉大公式見證的，都是科學的美麗與人類的尊嚴，每一個偉大的公式背後，都有一段值得回味的故事。